中学数学中换元法的应用与常见错误分析

中学数学中换元法的应用与常见错

误分析

目录

第一章 引言 ……………………………………………………… 4 第二章在因式分解中的应用……………………………………… 第三章在化简二次根式中的应用………………………………… 3.1设元代数，化已知为未知………………………………………………… 3.2设元代式，无理变有理…………………………………………………… 第四章在解方程中的应用………………………………………… 4.1分式方程…………………………………………………………………… 4.2一元二次方程……………………………………………………………… 74.3三角有理方程…………………………………………………… 第五章在证明不等式中的应用…………………………………… 5.1三角换元法……………………………………………………… 5.2改变换元后中间变量的范围……………………………………… 第六章换元法常见错误分析……………………………………… 6.1将复合函数与原函数混为一谈…………………………………………… 6.2改变换元后中间变量的范围……………………………………………… 6.3换元的选择不恰当………………………………………………………… 结论…………………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

4 5

5 5

6

6 7

8

8 9

9

9 10 11 12

12

摘要 换元法是中学数学解题中的一种重要方法，应用十分广泛。本文对换元

法在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式中的应用以及应用中的常见错误进行分析和探讨。

关键词 换元法 因式分解 化简二次根式 解方程 证明不等式 错误分析

Middle school mathematics for the use of conversion method and analysis of

the common mistakes

ABSTRACT For middle school conversion method is an important and broad method

in solving mathematic problems. In this paper, we will analyse and discuss the use of conversion method on the Element method, the second radical simplification, solving equations, to prove Inequality and the application of common errors.

Keywords: Conversion method, Element method, the second radical simplification,

solving equations, prove Inequality, the application of common errors

第一章 引言

换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造

原来的式子，使其简化，问题便于解决。

之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。

之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。

同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。

本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。

第二章换元法在因式分解中的应用

因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。

除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。 例1.分解因式： x y 4 x y 4 （济南市 2007）

2

分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。换个角度考虑，可以将x y看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。

解：设x y u 原式 u2 4u 4 u 2

2

x y 2

2

例2.分解因式：43x2 x 1x2 2x 3 4x2 x 4

分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。因此可以尝试用换元法进行因式分解。观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：

4x2 x 4 3x2 x 1 x2 2x 3，将其中两部分设为辅助元，则可以表示

2

出第三部分。

解：设3x2 x 1 A，x2 2x 3 B,则4x2 x 4 A B。

原式 4AB A B A B

2

2

3x2 x 1 x2 2x 3 2x2 3x 2

使用换元法的关键是选择辅助元。在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

2

2

第三章换元法在化简二次根式中的应用

在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。

3.1设元代数，化已知为未知

例3.若x

1 1 2

，求2002 x 1 x的值 2 2002

分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。

1 1 11 1 2

x 1 y y 0 解：设y 2002，则x ，，且y 4yy2 y

2

1 1 1 1 1 1 1 1

y y y y 原式 2 2 4 y2yyy

2

y 2002

3.2设元代式，无理变有理

例4. 化简

aa bba ab

（陕西省 2008）

分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。 解：设a x，b y，

x3 xy2x x y x y 原式 2

xx yx xy x y a

解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

第四章换元法在解方程中的应用

除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。如果方程F x 0的左端F x 是一个复合函数：F x f u ，u x ，而方程f u 0和u x 是比较简单的方程，则可进行换元。令u x ，这样方程就转化为f u 0，方便运算。但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。

4.1分式方程

形如af x

b

c 0 fxb

c 0，即au2 bu c 0 u

令u f x ，原方程化为au

c c2 4ab c c2 4ab

解得u ，原方程化为两个简单方程f x1 ，

2a2a c c2 4ab

，注意检验根。 f x2

2a

xx2 15

例5.解方程2

x2x 1

分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。

x15x2 11

u，则 ，原方程化为u 解：设2

u2x 1xu

解得u1

1

，u2 2 2

1x1

，即x2 2x 1 0，解得x1 x2 1 时，有2

2x 12

x

2，即2x2 x 2 0，无实数解 当u2 2时，有2

x 1

当u1

经检验，x 1是原方程的解。

4.2一元二次方程

形如a f x bf x c 0

2

令u f x ，原方程化为一元二次方程ax2 bx c 0

c c2 4ab c c2 4ab

解得u ，原方程化为两个简单方程f x1 ，

2a2a c c2 4ab

f x2

2a

当f x 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟， 当f x 是分式或无理式时，应进行验根。

例6.解方程6x2 7x 26x2 7x 3（哈尔滨 2007）

分析：则可以将6x2 7x看成整体进行换元，转化为一元二次方程求解。 解：设u 6x2 7x，

原方程化为u2 2u 3 0，解之得u1 3，u2 1

31，x2 23

1

当u2 1时，即6x2 7x 1，x3 1，x4

6

311

经检验x1 ，x2 ，x3 1，x4 是原方程的根

236

2

当u1 3时，即6x2 7x 3，得x1

4.3三角有理方程

形如R sinx,cosx 0

2u1 u2 x

0。需要注意的是，运用万能代换u tan，得代数有理方程R ,22 2 1 u1 u 因u tan

x

的自变量允许值是x 2n 1 ， n z ，缩小了未知量的范围，因2

此用万能代换解三角有理方程时，应注意有失根的可能。 例7.解方程sinx cosx 1

分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。 解：设u tan

x， 2

2u1 u2

1，解之得u 1 原方程化为22

1 u1 u

因此tan

x

1，x 2n n z 22

经检验，x1

2

2n ，x2 2n 1 是原方程的根

从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因此不同的方程就有不同的换元方法。因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当的换元，可以将复杂的方程化简，方便求解。

第五章换元法在证明不等式中的应用

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位。在不等式证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去解决就方便多了。下面列举两种基本的换元方法。

5.1三角换元法

三角换元是常用的一种换元方法，多用于条件不等式的证明。在解类似这些问题时，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。

例8.已知a,b R，且a2 b2 1，求证：a2 2ab b2 2

分析：由条件不难想到公式sin 2 cos 2 1，假设a rsin ， b rcos ，其中r 1， 0,2 ，这样就将代数问题转化为三角问题了。 证明：设a rsin ，b rcos ，其中r 1， 0,2 ，

则a2 2ab b2 r2cos 2 2r2sin cos r2sin 2

r2cos2 r2sin2

2r2sin 2 2

4

当r 1，

2

或

9

时，等号成立。 8

5.2增量换元法

一般的，对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c）的不等式，常用增量法进行换元，换元的目的是通过减元，使问题化难为易，化繁为简。

例9.已知a>2,b>2,求证：a b<ab

分析：因为a,b都在常量2附近变化，运用增量换元法，设a 2 m，b 2 n，其中m>0，n>0，再运算证明。

证明：设a 2 m，b 2 n，其中m>0，n>0

则a b ab 2 m 2 n 2 m 2 n

4 m n 4 2m 2n mn m n mn<0 故a b<ab

不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具体解题时要根据不同的条件和结论进行相应的换元，技巧性很强。

第六章换元法常见错误分析

虽然合理运用换元法能够做到化繁为简，化难为易的作用，但在使用过程中如果不注意等价转化，往往会出现不易察觉的错误。错误常表现为：

6.1将复合函数与原函数混为一谈

函数y F x 经过换元x u 就变为y F u 这种形式的复合函数。常常出现只考虑y F u 的单调性，而不考虑 u 的单调性的情况，最终导致错解。

例10.试讨论函数y

ax x

2

（a<0）的单调性

错解：设x cos , 0, ，则y

acos

acot sin

因为y cot 在 0, 上是减函数，且a<0 所以y

ax x

2

（a<0）是增函数

分析：换元过后，只考虑了y acot 的单调性，没有考虑x cos 的单调性，导致了错解。正确的解答应该在考虑y acot 的单调性的同时，还考虑到

x cos 的单调性，两者结合，最终得出结论。

正确解：设x cos , 0, ，则y

acos

acot sin

因为y acot 在 0, 上是增函数，又因为x cos 在 0, 上是减函

数

所以y

ax x

2

（a<0）是减函数

对于y F u 这种形式的复合函数，在考虑y F u 的单调性的同时，还要考虑 u 的单调性，两者结合，最终得出结论。

6.2改变换元后中间变量的范围

换元后，根据原自变量的范围错误地确定中间变量的取值范围的情况也常常发生。

例11.若log16x logx16 logxy 3，求y的取值范围 错解：设x 16u，则：u

3 3

u 2 4

2

23log16y

3，所以y 16u 3u 3且u 0， uu

y 16 8，又x>0且x 1，即u 0，y 163

所以y 8,163 163,

分析：在用x 1推得y 163时，还包含了u 3的情况，这实际上是错解了u 的范围，造成了非等价转化，从而缩小了y的范围。

正确解：设x 16u，则：u

3 9 u 2 4

2

23log16y

3，所以y 16u 3u 3且u 0 uu

y 16 8

所以y 8,

通过原自变量的范围求解中间变量范围时一定要特别注意，既不能扩大范围，也不能缩小范围，在遇到比较难判断的点时，可以代回原方程进行检验。

6.3换元的选择不恰当

换元的选择不恰当，不仅会使得计算变复杂，很多时候还会导致错解。 例12.设x y2 y x2 1，求x y的最值

y sin ，错解：因为x 1y 1，所以设x cos ，即 0, 0,2 ，

2

, ,

3

2

则cos cos sin sin 1， 两边平方得：sin2 0，

k

k z 2

x y cos sin 2sin

4

k

2sin k z

24 x y的最大值为1，最小值为-1

分析：事实上，由已知可得0 x 1，0 y 1，而上题假设将原函数的定义域扩大了，且条件中没有x2 y2 1，就导致了错解。正确解法是重新换元，再求

x y的最值。

正确解：因为x 1，y 1，又y x2 1 x y2，

所以x 0，同理y 0，即0 x 1，0 y 1

设x cos ，y sin ， , 0,

2

则cos sin sin cos 1，即cos 1

又

2

2

，所以 0，即

，

其

中

x y cos sin cos sin 2sin

4

4

4

3

4

当 当

4

4

时，即 0，x y取最小值为1， 时，即

4

2

4

，x y取最小值为2

运用换元法时要慎重选择中间变量，一旦换元不恰当，就会导致解题错误。快速而又正确地找出中间变量就需要多解题，积累经验。

利用换元法能使问题处理简单快捷，但由于学生概念不清，在代换过程中往往会出现这样那样的错误，并且很难检查出。以上三种最为常见，在解题时更要注意。

结论

换元法的应用非常广泛，本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。通过本文，希望同学对换元法有更深入的了解，对以后的学习有所帮助。

参考文献

1.杨益群 不等式证明方法例谈 数学天地 2002年第6期

2.冯慧云 二次根式化简中的”换元法” 中学数学杂志(初中) 2004年第1期

3.王淑茂，周兴仁 二次函数再学习 数学教学研究 2004年第12期 4.张进礼 分式方程中的解题技巧 数学天地 2004年第9~10期

5.常佩宇，秦雨评，杨强，邹学东 换元法常见错误分析 内江科技 2007年第2期

6.吴付红 换元法在不等式证明中的应用 解题思想方法 2005年第1期 7.殷全 换元法在解方程中的应用 达县师范高等专科学校学报 2006年6月

8.殷明达 不等式证明的若干方法 教学月刊（中学版） 2007年6月上 9.张东晓 巧解因式分解题 西藏科技 2002年12期 10.宫前长 巧用换元法分解因式 中学生 2004年7月

11.于志洪 应用换元法巧解中考数学题 《读写算》（中考版） 2007年7月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gxui.html