广东省惠州市2014届高三理科数学调研考试（含答案）

广东省惠州市2014届高三调研考试

数 学(理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1． 若复数(a?3a?2)?(a?1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ）

2A.1 B.2 C.1或2 D.?1

2．已知集合S?{y|y?2}，集合T?{x|ln(x?1)?0}，则S?T?（ ） A.? B.(0,2)

C.(0,1)

D. (1,2)

开始 输入p xS3．设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则4?（ ） a2A.2 B.4 C.

15 2 D.

17 2n?1，S?0 S?p? 是 否 4. 执行右边的程序框图，若p?0.8，则输出的n?（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

x2y25. 设椭圆2?2?1(m?0,n?0)的右焦点与抛物线y2?8x

mn的焦点相同，离心率为

S?S?1 2n输出n 结束 1，则此椭圆的方程为（ ） 2n?n?1 广州龙文陈老师提供

1

x2y2x2y2??1 B．??1 A．

16121216x2y2x2y2 C．??1 D．??1

486464486．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售

频率 组距 额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）

A. 6万元 B．8万元

C．10万元

0.40 0.25 0.10 0 9 10 11 12 13 14 时间 D．12万元

7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）

A．9? B．10? C．11?

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

D．12?

328．已知函数f(x)?x?ln(x?1?x),则对于任意实数a,b(a?b?0), 则

f(a)?f(b)的值为（ ）

a?bA．恒正 B.恒等于0 C．恒负 D. 不确定

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．设随机变量?服从正态分布N(3,4)，若P(??2a?3)?P?，则a的值(?a?2)为 ．

????10. 已知向量a?(0,?1,1)，b?(4,1,0)，|?a?b|?29且??0，则?? ．

11. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）

?x?0，?12. 若a?0,b?0，且当?y?0，时，恒有ax?by?1，则以a,b为坐标点P(a,b)所形

?x?y?1?成的平面区域的面积等于 ．

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2

13. 对于n?N*，将n表示为n?ak?2?ak?1?2kk?1?????a1?21?a0?20，当i?k时，

ai?1；当0?i?k?1时，ai为0或1. 定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1,a2,???,ak中等于1的个数为奇数时，bn?1；否则bn?0.则b3?b4?b5?b6? ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆??2cos?的圆心到直线?cos??2的距离是____________．

15.（几何证明选讲选做题）如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,

A D B E是AB延长线上一点,且DF?CF?2，AF:FB:BE?4:2:1,

若CE与圆相切,则线段CE的长为 ．

F E C 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）

在?ABC中，角A为锐角,记角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量

???????m?(cosA,sinA),n?(cosA,?sinA)，且m与n的夹角为．

3???（1）计算m?n的值并求角A的大小；

（2）若a?

17．（本题满分12分）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

7,c?3，求?ABC的面积S．

2221，乙队中3人答对的概率分别为,,，3332且各人回答正确与否相互之间没有影响．用?表示甲队的总得分． （1）求随机变量?的分布列和数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

18.（本小题满分14分）

如图，平行四边形ABCD中，AB?BD，AB?2，BD?2，沿BD将?BCD折

起，使二面角A?BD?C是大小为锐角?的二面角，设C在平面ABD上的射影为O．

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3

（1）求证：OD//AB；

（2）当?为何值时，三棱锥C?OAD的体积最大？最大值为多少？ C

A B

A 222D

C

O D B 19．（本小题满分14分）

正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn?(n?n?1)Sn?(n?n)?0． (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn?

20．（本小题满分14分）

如图，已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F?，动点F?的轨迹为C． （1）求曲线C的方程；

（2）设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q， 证明：直线PQ的斜率为定值．

21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?e?kx,x?R．

（1）若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；

（2）若k?0，且对于任意x?R，f(|x|)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)F(2)???F(n)?(en?1xn?15*{b}T,数列的前项和为，证明:对于任意的,都有． n?NT?nnnn(n?2)2an264?2)(n?N*)．

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数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号 答案 1 B 22 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 1.【解析】1.由a?3a?2?0且a?1?0得a?2，选B； 2.【解析】集合定义域，所以

A??x|?3?2x?1?3???x|?1?x?2?，集合B为函数y?1g(x?1)的

B??x|x?1?，所以A?B?（1，2]。故选D

a1(1?q4)S41?24151?q???故选C 3【解析】解：a2a1q?224.【解析】解：

111???0.8，因此输出n?4.故选B 24825.【解析】抛物线y?8x的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2，

x2y221222∴??m?4，∴n?4?2?12，∴椭圆的方程为??1故选A。

1612m2

6.【解析】设11时到12时的销售额为x万元，依设有

2.50.10??x?10，选C x0.407. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

S?4??12???12?2?2??1?3?12?.故选D

8.【解析】【答案】A

解析:,可知函数f(x)?f(?x)?x?ln(x?1?x)?(?x)?ln(x?1?x)?0所以函数为奇函数,同时，f'(x)?3x?232321x?12?0也是递增函数,注意到

f(a)?f(b)f(a)?f(?b)f(a)?f(b)，所以??0同号,所以,选A

a?ba?(?b)a?b二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做

一题． 9．a?77 10．3 11．14 12．1 13．1 14．1 15．

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9.【解析】因为?＝3，所以

(2a?3)?(a?2)7?3得a?

232210.【解析】由题意?a?b=(4,1??,?)?16?(??1)???29(??0)???3 11.【解析】6人中选4人的方案C6?15种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。

12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由ax?by?1恒成立知，当x?0时，

4by?1恒成立，∴0?b?1；同理0?a?1，∴以a,b为坐标点P(a,b)

所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.

1021013.【解析】依题意有 3?1?2?1?2，b3?0；4?1?2?0?2?0?2，b4?1；

5?1?22?0?21?1?20，b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0.

故b3?b4?b5?b6?1

14.【解析】曲线??2cos?即?x?1??y?1，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，

22直线?cos??2即直线x?2，故圆心到直线的距离为1。

15.【解析】设BE?x，则AF?4x,FB?2x，由AF?FB?DF?FC得x?1。又 2CE2?EB?EA得CE?三、解答题：

7 216. （本小题满分12分）

解：（1）?m?cos2A?sin2A?1,n?cos2A?(?sinA)2?1,

?m?n=m?n?cos?π31 ··········································································· 3分 .·2?m?n=cos2A?sin2A?cos2A，

1································································································ 5分 ?cos2A?. ·2π?0?A?,0?2A?π,

2ππ························································································ 7分 ?2A?,A?. ·

36π222（2）(法一) ?a?7,c?3,A?,及a?b?c?2bccosA,

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6

··································· 10分 ?7?b2?3?3b, 即b??1(舍去)或b?4. ·

1······································································ 12分 bcsinA?3. ·

2πac(法二) ?a?7,c?3,A?,及, ?6sinAsinC故S??sinC?csinA3?. ····································································· 7分 a27?a?c,

5π ?0?C?,cosC?1?sin2A?227π132?sinB?sin(π?A?C)?sin(?C)?cosC?sinC?

6227asinB············································································ 10分 ?b??4. ·

sinA1 故S?bcsinA?3.······································································ 12分

217（本小题满分12分）

解：（1）解法一：由题意知，?的可能取值为0，1，2，3，且 ????1分

12?2?2?2?1P(??0)?C??1???，P(??1)?C3???1???，????3分

3?3?9?3?270332

8?2??2?43?2?P(??2)?C?????1???，P(??3)?C3????．????5分

?3??3?9?3?272323

所以?的分布列为

? P

0 1 2 3 1 272 94 98 27?的数学期望为E??0?

1248?1??2??3??2．????7分 279927??2?3?解法二：根据题设可知，?~B?3，?，????3分

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7

因此?的分布列为

?2??2?P(??k)?C3k?????1???3??3?k3?k2k?C?3k?01，，2，3．????5分

3k3因为?~B?3，?，所以E??3???2?3?2?2．????7分 3（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分

乙得0分”这一事件，所以AB?C?D，且C，D互斥，又????8分

?2??2??211121111?10P(C)?C?????1??????????????4，????10分

?3??3??332332332?3232?111?43?2?P(D)?C3?????????5，????11分

?3??332?3由互斥事件的概率公式得

3P(AB)?P(C)?P(D)?

1043434．????12分 ???343535243解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件， k?01，，2，3．由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有P(AB)?P(A3B0?A2B1)?P(A3B0)?P(A2B1)．

由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，????10分

因此

P(AB)?P(A3B0)?P(A2B1)?P(A3)P(B0)?P(A2)P(B1)

22?1112?34?2??11?21?????2???C3?2???2??C2?2??．????12分

3?2323?243?3??32?18（本小题满分14分）

解: (1)∵CO?平面ABD，CO?BD，?1分 ∵BD?SD，SD?CO?O?3分

3ＳＣＤ?4分 ?BD?面

Ｄ?面COD ∴BD?OD， ??5分 又Ｏ?AB?BD??6分

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8

∴AB//OD. ??7分

（2）由题知OD为CD在平面ABD上的射影， ∵BD?CD，CO?平面ABD，∴BD?OD， ∴?ODC??， ????8分

111VC?AOD?S?AOD?OC???OD?BD?OC ???9分

332?22?OD?OC??CD?sin??CD?cos? ???10分 66?22， ???12分 ?sin2?≤33当且仅当sin2??1，即??45?时取等号， ???13分 ∴当??45?时，三棱锥O?ACD的体积最大，最大值为2． ??14分 3说明：向量法酌情给分 19（本小题满分14分）

2S?(n?n)?(1)解:由Sn?(n?n?1)Sn?(n?n)?0,得?n??(Sn?1)?0. ???2分

222由于?an?是正项数列,所以Sn?0,Sn?n?n. ????3分

2于是a1?S1?2,n?2时,an?Sn?Sn?1?n?n?(n?1)?(n?1)?2n. ???5分 综上,数列?an?的通项an?2n. ???????6分

(2)证明:由于an?2n,bn?22n?1. ????7分 2(n?2)2an则bn?n?11?11???. ????9分 22?4n2(n?2)216?n(n?2)??Tn?1?111111111?1??????…???? ?222222222?16?32435(n?1)(n?1)n(n?2)? ??11分

?1111[1?2??]????13分 22162(n?1)(n?2)9

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?115. ????14分 (1?2)?1626420（本小题满分14分）解：（1）（法1）设F'(x,y)，因为点F(0,1)在圆M上， 且点F关于圆心M的对称点为F'，

所以M(xy?1,)， ????1分 22x2?(y?1)2．????2分

且圆M的直径为|FF'|?由题意，动圆M与y轴相切，

|y?1|?所以2x2?(y?1)22，两边平方整理得：x?4y，

22所以曲线C的方程x?4y． ??????????????6分 （法2）因为动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切，所以动圆M在x轴上方， 连结FF'，因为点F关于圆心M的对称点为F'，所以FF'为圆M的直径． 过点M作MN?x轴，垂足为N，过点F'作F'E?x轴，垂足为E（如图6－1）．

在直角梯形EOFF'中，|F'F|?2|MF|?2|MN|?|F'E|?|FO|?|F'E|?1， 即动点F'到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离1．???????3分

又动点F'位于x轴的上方（包括x轴上），

所以动点F'到定点F(0,1)的距离与到定直线y??1的距离相等．

故动点F'的轨迹是以点F(0,1)为焦点，以直线y??1为准线的抛物线． 所以曲线C的方程x?4y． ?????6分

（2）①（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．

设直线AP的斜率为k（k?0），则直线AQ的斜率为?k． ??????7分 因为A(x0,y0)是曲线C：x?4y上的点，

22x0x0?k(x?x0)． 所以y0?，直线AP的方程为y?4422yPF?'A?M?x2?4y?x?x0?x??x0?4k???2或2由?，解得?x0?(?x0?4k)2， x0?k(x?x0)?y??y??y?4?4?4??FQxO图6?2(?x0?4k)2)，?????9分 所以点P的坐标为(?x0?4k,4(x0?4k)2)． ?????10分 以?k替换k，得点Q的坐标为(?x0?4k,4广州龙文陈老师提供

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