勾股定理及作三角形

勾股定理（1）

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 18 个教案 教学目标

1 使学生掌握勾股定理的推导和证明思想，并会运用勾股定理进行有关计算，初步领会数形结合的思想。

[来源:学|科|网]

2 在勾股定理的应用中，能对具体情境中的实际问题从不同的角度寻求解决问题的方法，来体会勾股定理在现实生活中的广泛应用。 教学重点、难点

重点：勾股定理的推导过程和应用 难点：勾股定理的应用 教学过程

一 创设情境，导入新课

1 直角三角形有什么性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？你认为能放得进去吗？

30cm40cm50cm543[来源:学科网ZXXK]

2如图，小亮同学想把一根70cm长的木棒放在长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的盒子里，

[来源:学科网]要解决这个问题需要学习------勾股定理（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 勾股定理的探索 做一做

①作一个直角三角形，使它的两条直角边的长分别为：3cm，4cm,并量出斜边的长。

②分别以直角三角形的三边为边作正方形，计算三个正方形的面积，它们有什么关系？

53?4?5

直角三角形的两条直角边用a,b表示，斜边用C表示，是否有32224a2?b2?c2呢？

③下面请你验证：把你的两个三角板的直角边和斜边分别量出来，再算一算两直角边的平

222和与斜边的平方 ，看看a?b?c吗？

2 勾股定理的证明 观察

如图甲，将四个直角边分别为a,b斜边为c的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到正方形I3,如图乙，将四个直角边分别为a,b斜边为c的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到正方形I1、I2.

aba甲bbCaabbab乙abbaa思考：（1）甲、乙两个正方形的面积除了用?a?b?表示外，还可以怎样表示？

2甲的面积：c?4?2[来源:Z_xx_k.Com]

11ab，乙的面积：a2?b2?4?ab 22（2）由此你发现了什么？

2因为：c?4?11ab=a2?b2?4?ab，所以：a2?b2?c2 22归纳：勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。 即：a2?b2?c2,也可以表达为：c=a2?b2，a=c2?b2，b=c2?a2

这个定理的是我国我们不是最先发现者，早在3000年前，我国周朝数学家商高便提到了“勾3，股4，弦5，”意思是长度为3，4，5的三条线段刚好构成直角三角形。 3 勾股定理的尝试应用说一说：

1 如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米。

（1） 你能算出BC边上的高AD的长吗？ （2） △ABC的面积是多少呢？

2 正方形的边长为a，正方形的面积是______. 三 应用迁移，巩固提高 1 直接用勾股定理计算

例1 如图，小亮同学想把一根70cm的木棒放在长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的盒子里，你认为能放得进去吗？ 2 利用勾股定理，结合方程思想

例2 如图，有一根高为16m电线杆BC在点A 处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部点B处8m远的地方，求电线杆的断裂处点A离地面的距离。

四 反思小结 ，拓展提高 今天你有什么收获？ 五 作业

1、假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米? 2、p97 练习 1,2,3

3、《导学案》 66-67 1、2、

BC50cm30cm40cm[来源:Zxxk.Com]

A B D C A 勾股定理（2）

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 19 个教案 教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 教学程序 一、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。 二、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三 边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。

A D B C 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=三、课堂练习 1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。

2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 课后作业 1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。 ⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。

2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

BAD1AB=3cm，则此题可解。 2ACDBAB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 3．《导学案》 66-67 3、4、5、实践应用 4.p101 习题 1,2，

C

勾股定理（3）

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 20个教案 教学目标

1 会推导勾股定理的逆定理；

2 会用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形。 教学重点、难点

重点：勾股定理的推导和应用 难点：勾股定理的应用 教学过程

一 创设情境，导入新课 1 什么叫勾股定理？

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果∠c=90°,则c2?a2?b2，

[来源:学科网]AcBbC

a常用到：c?a2?b2,a?c2?b2,b?c2?a2

2 一次一队建筑工人上班时只带了一根皮尺，忘记带直角工具了，但是需要需要作一个直角，怎么办呢？有人提出这样作：在皮尺的3米处，7米处12米处打好结，并用木桩固定然后围成一个三角形，就可以得到一个直角了，你认为它这个方法对吗？

222估计学生会认为：这个三角形中三边满足：5?3?4，所

7米以这个三角形是直接三角形。

12米0米3米教师设问：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，反过来，有两条边的平方和等于另一条边的平方这个三角形是直角三角形吗？值得

A怀疑。

下面我们就来研究这个问题。 二 合作交流，探究新知 1 勾股定理的逆定理推到过程

222已知：△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b，且c?a?b，

cbA'BaCb求证：∠C=90°

[来源:Z,xx,k.Com]

B'C'分析：直接证明很困难，但可以作一个直角三角形使它的两条直角边a

分别等于a,b,如果作出的这个直角三角形的斜边等于C，那么这个三角形就与已知三角形全等，已知三角形也就是直角三角形了。 交流讨论：作出的三角形斜边是否等于c?

[来源:学.科.网]

因为△A'B'C'是Rt△，所以A'B'2?a2?b2C'，又c2?a2?b2， 所以，AB=c2，所以，A'B'?c=AB，

又BC=B'C'，AB=AB,所以，△ABC≌△A'B'C'，所以,∠C=∠C'=90°

归纳：如果一个三角形的三条边长a,b,c有下面关系：c2?a2?b2，那么这个三角形是直角三角形。 试试看：

1已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？ （1） a=8,b=15,c=17 , (2) a=10,b=24,c=25 ，

（3）a=10,b=6,c=8 （4）a?3?1,b?3?1,c?22；（5）a?''''27911,b?,c? 222已知三边判断三角形是不是直角三角形的方法：算一算较短的两条边的平方和，看看是否等于斜边的平方。如果是，就是直角三角形，否则就不是直角三角形。 三 应用迁移，巩固提高

A1 几何方面的应用

例1如图，在△ABC中，已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,你能求出DC的长吗？ 练一练

1如图，AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠CＡＢ＝５５°，求∠B的大小．

2如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３， ＤＡ＝１， 且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．五 反思小结，课外作业

1、勾股定理和它的逆定理及其区别 2、教材p99 练习 1 2 3, p101 习题 3,4、5,6，

[来源:学科网]BDC

勾股定理练习（4）

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 21 个教案 一、选择题：（5×5）

1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )

A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形

3.在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）

A、5、4、3、； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. 60cm C.120cm D.13cm

13135

5.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 二、填空题：（4×9）

6.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的 正方形面积是 _________ .

7.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 . 8.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 . 9.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .

10.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 11.在Rt△ABC中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=________；

12.下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)答：A=________，y=________，B=________。

2891536A

400 64 第6题

A64y8B

17三、解答题：（10×4）

13.如图，在⊿ABC中，∠ACB=90，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D, 求：（1）AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。

14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD?90?，∠DBC?90?，AD?3,AB?4,BC?12，求CD.

BACDBAC0

D

15.在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积。利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？

a

cbcab

16.要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）

已知三边作三角形

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第 22 个教案

教学目标：

1．会利用尺规作图：已知三边作三角形，作出一个角等于已知角。

2．在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据. 3．体会数学作图语言和图形的和谐统一. 教学重点：

熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确. 教学用具：直尺，圆规 教学过程：

一、复习知识，引入新课

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．

师：什么是尺规作图？

生：尺规作图就是使用没有刻度的直尺和圆规，根据所给条件，求作几何图形． 二、讲授新课

探究：若已知三边，如何作出一个三角形？

(教师在黑板上画出如图1(1)的三条线段a、b、c，然后请一名学生上黑板作图，布置其他学生在下面做．学生完成作图后，请他口述作图过程．)

生：作一条直线，在直线上截取线段AB=c．分别以A、B为圆心，以线段b、a为半径作弧，两弧相交于点O，连结AC、BC，则△ABO就是所求作的三角形．(教师根据学生作图的情况予以讲评，提醒学生注意作图工具的正确使用和作图语言的准确表达．)

师：每个人按照上面的方法作出的三角形一定全等吗？为什么？ 生：一定全等，SSS.

三．动脑筋：已知：∠? 如何作一个角：∠AOB，使∠AOB=∠?

分析：全等三角形的对应角相等，故在∠α中，取OC=OD, 先构造出△COD,，再作一个△AOB，,使OC=OD=OA=OB，AB=CD 就可以得到所求的角。

由学生说出其作法，教师补充。

想一想：你能不能说明理由？ 学生说理。

练一练：

1.如何作出∠AOB的角平分线呢？

2.已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线.

3.如图，已知?AOB和线段CD，用尺规法求作一点P，使点P到?AOB的两边距离相等，且PC=PD.

A

C D

四、作业

OB?1、课本P104习题1、2、 2、课本P107-108习题1.2 3、导学案p71自主检测1、2、3.

尺规作图同步练习

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第23个教案

一、填空题

1．如图1，已知线段a，b，c．求作△ABC，使BC?a，AC?b，AB?c． 作法为：①作线段BC? ；②在BC的同旁，以C点为圆心，以 为半径作弧，再以 为半径作弧，两弧的相交点即为 点；③连结 与 ，便可得△ABC．

2．如图2，已知∠AOB，求作∠A?O?B?，使得∠A?O?B??∠AOB． 作法为：①作射线O?A?；②以 点为圆心，以任意长为半径作 ，交OA于C点，交OB于D点；③以点O?为圆心，以 长为半径作弧，交O?A?于C?；④再以点C?圆心，

以 长为半径作弧，交前弧于D?；⑤经过点D?作射线 ，那么， 就是所求的角． 二、基础作图题

1．如图3，已知线段a，作一线段等于3a．

2．如图4，已知∠?，∠?且∠??∠?，求作

∠??∠??∠?．

?3．如图5，已知∠A?45，线段AB?m，AC?n．求△ABC．

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

4．如图6，已知线段a，m．求作：等腰三角形ABC，使底边BC?a，底边上的高AD?m．

[来源:Z,xx,k.Com]

?∠?．∠A?∠?，AB?c．5．如图7，已知线段c，求作：直角三角形ABC，使∠C?90，

6．如图8，已知∠AOB和OA边上两点D，C．求作点P，使P在OB上且它到D，C两点的距离相等．

三、应用作图题（每小题10分，共30分）

1如图10，一条主自来水管从A，B两村中间穿过，现准备从主自来水管上开一阀门，分别向两村引去自来水，要求向两村的引水管长度相等，请你确定阀门C点的位置．

2．如图11，是一块工业用模板的图形，如果要在一块长方形铁板上切割下来与图形一致的板块，问应该怎样在铁板上划线确定图形．

[来源:学科网]

已知两边夹角作一个三角形

编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 总序第24个教案 教学目标：1、了解尺规作图的含义及其历史背景。

2、在给出的两边及夹角的条件下，能够利用尺规作三角形。

3、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。

教学重点：基本尺规作图

教学难点：在给出的两边夹角的条件下，能够利用尺规作三角形。 教学准备：圆规、直尺 教学方法：观察、交流、探索. 教学过程：

一、复习知识，引入新课 1、做一条直线等于已知直线。 2、已知：∠?

求作：∠AOB，使∠AOB=∠? 二、讲授新课

探究：作一个三角形与已知三角形全等 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a，c，∠α。

求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。 作法与过程：

（1）作一条线段BC=a，

（2）以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC=∠a； （3）在射线BD上截取线段BA=c；

（4）连接AC，ΔABC就是所求作的三角形。

给出示范和作法,让学生模仿,教师可以在黑板上做一次示范,让学生跟着一起操作,并在画完图后,让学生再自己操作一遍.而在下面的作图中,就让学生小组内讨论、交流，通过集体的力量完成，教师再给以一定的指导。

??三．巩固练习：课内练习（全体学生完成） [动脑筋] 1、作这个三角形的理论依据是什么？

生答：SAS

2、你能用尺规作一个等腰三角形，使它的底边长为a，底边上的高为b吗？

四．知识提高，拓展练习。（针对有学有余力的学生） （1）、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）

A、已知三边 B、已知两边及夹角

C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角 （2）、利用尺规不可作的直角三角形是 （ ）

A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边 C、已知两锐角 D、已知一锐角及一直角边 （3）、以下列线段为边能作三角形的是 （ ）

A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米 C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米 （4）如图,在ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3．5厘米,∠B＝36°, ∠C＝44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图,不写做法,但要从所画的三角形中标出用到的数据)

五．布置作业： 1、P105 练习 1/2

2、《导学案》p73 合作交流 1、2 自主检测 1、2

B

5厘米 3．5厘米 A

3

厘米 C

ab 已知两角及其夹边作三角形

教学目标：1、在给出两角及其夹边的条件下，利用尺规作三角形.

2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.

3、培养学生实际动手能力和合作、自主探究的能力.[来

教学重点：根据题目的条件作三角形 教学难点：探索作图过程. 教学过程：

一、复习知识，引入新课

1、我们已经学习了几种基本作图？

2、如图，已知斜边和直角边分别为c和a，求作一个直角三角形。

二、讲授新课 探究：

已知：∠α、∠β、和线段a，

求作：△ABC使AB=a, ∠A=∠α, ∠B=∠β. 作法：①：作一条线段AB， 使得AB=a

②：在AB的同旁，作∠BAD=∠α，∠ABE=∠β，AD和BE

交于C点。

△ABC是所求作的三角形.

师：1、按上面的要求再作一个三角形。

2、把自己作出的两个三角形比较，这两个三角形全等吗？为

什么？

强调：学习作图要注意以下几点：

a c

（1）要学会正确使用作图工具(这里主要是指直尺、圆规)，作出合乎要求的几何图形；

(2)要学会用几何作图语言来准确表达作图问题； (3)要求勤动手画，多动口说． ⑷理解各种作图的依据是什么。

三、课堂训练

例：已知一直角边和它相邻的一个锐角，如何求作这个直角三角形。 已知：锐角∠α,和线段b

求作：Rt△ABC,使∠C=90°, ∠A=∠α,AC=b. 作法：⑴ 作∠MCN=90°, ⑵ 在射线CM上截取CA=b,

⑶ 在∠C的同侧作∠CAD=∠α,AD交CN于B. △ABC为所求的直角三角形。

（师生按上面的步骤画出图形，说明理由。）

想一想：1、已知等腰三角形的斜边为c,你能作出这个三角形吗？

2、作一个直角三角形，使它的斜边为已知线段a,一个锐角为已知角∠α。

四：布置作业

1、 p108 习题：A 3、4 B 2、《导学案》 p74-75

2 实际应用

例2 某地有A、B、C三个村庄，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1,0),B(4,0)C(1,4),现在要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等，你能在图中根据这一要求确立学校的地址吗？

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