九年级（初三）数学上册同步测试卷，单元练习题、强化训练题，（

一元二次方程

21.1__一元二次方程__[见A本P2]

1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C ) 1

A．x2＋2＝0

x

B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0

【解析】 A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．

2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( C )

A．5，6，－8 B．5，－6，－8 C．5，－6，8 D．6，5，－8

【解析】 5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.

3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则( B ) A．a>0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0

【解析】 一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.

4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( A ) A．1 B．－1 C．2 D．－2

【解析】 因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1.

5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是( C )

图21－1－1

A．x(x＋5)＝25 B．x2＋5x＝25

C．x2＋5x－20＝0 D．x(x＋5)－25＝0

【解析】 大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.

1

6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有( C )

①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】 把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．

7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．

8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．

1

解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打__x－1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__x(x

2111

－1)__．根据题意，可列出方程__x(x－1)＝28__．整理，得__x2－x＝28__．化为一般式，

222得__x2－x－56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__． 1

【解析】 设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x－1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为

2x(x－1)．

1

根据题意，可列出方程x(x－1)＝28.

211

整理，得x2－x＝28，

22

化为一般式为x2－x－56＝0.

二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56. 9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)

如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6.8)尺，根据题意，得__x2＋(x＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x2＋13.6x－53.76＝0__．

1

10．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写

2出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：

1

(1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序

2号)__①②④⑤__．

11

①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤3x2－23x－4322＝0.

2

1

(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项

2之间具有什么关系？

解：(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a、常数项为－4a.

11．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A )

A．2018 B．2008 C．2014 D．2012

【解析】∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根， ∴a·12＋b·1＋5＝0， ∴a＋b＝－5，

∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018. 12．[2013·黔西南]已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是__1__.

【解析】 ∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根， ∴12＋a＋b＝0， ∴a＋b＝－1

∴a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(－1)2＝1.

13．若方程4xk1＋3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为__3__． 【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k－1＝2，∴k＝3.

14．翠湖公园有一块长为32 m，宽为20 m的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为x m，剩下的空地面积为540 m2，请列出关于x的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．

－

图21－1－2

解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形． 依题意得(32－x)(20－x)＝540，

整理，得一般形式为x－52x＋100＝0，

二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100.

2

3

2 013

15．已知m是方程x2－2 013x＋1＝0的一个根，试求代数式m2－2 012m＋2的值．

m＋1解：∵m为方程x2－2 013x＋1＝0的根， ∴m2－2 013m＋1＝0，

即m2－2 013m＝－1，m2＋1＝2 013m，

2 0132 0131

∴m2－2 012m＋2＝m2－2 013m＋m＋＝－1＋m＋.又由m2－2 013m＋1＝0，

2 013mmm＋11

两边同除以m得m＋＝2 013，

m∴原式＝－1＋2 013＝2 012.

解一元二次方程

21．2.1 配方法

第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 [见B本P2]

1．一元二次方程x2－25＝0的解是( D ) A．x1＝5，x2＝0 B．x＝－5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝－5

2．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4

3．若a为一元二次方程(x－17)2＝100的一个根，b为一元二次方程(y－4)2＝17的一个根，且a，b都是正数，则a－b等于( B ) A．5 B．6

C.83 D．10－17

【解析】 (x－17)2＝100的根为x1＝－10＋17，x2＝10＋17，因为a为正数，所以a＝10＋17.(y－4)2＝17的根为y1＝4＋17，y2＝4－17，因为b为正数，所以b＝4＋17，所以a－b＝10＋17－(4＋17)＝6.

4．解关于x的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个解x＝±n

B．当n≥0时，有两个解x＝±n－m

C．当n≥0时，有两个解x＝±n－m D．当n≤0时，无实数解 5．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为( B ) A．1 B．8 C．16 D．61

c±60

【解析】 原方程可化为(3x－c)2＝60，3x－c＝±60，3x＝c±60，x＝.因为两根均

3为正数，所以c＞60＞7，所以整数c的最小值为8.故选B.

4

6．一元二次方程x2－4＝0的解是__x＝±2__．

7．当x＝__－7或－1__时，代数式(x－2)2与(2x＋5)2的值相等． 【解析】 由(x－2)2＝(2x＋5)2，得x－2＝±(2x＋5)，即x－2＝2x＋5或x－2＝－2x－5，所以x1＝－7，x2＝－1.

8．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a 的值为__±7__．

【解析】 把x＝2代入方程x2－x－a2＋5＝0得22－2－a2＋5＝0，即a2＝7，所以a＝±7. 9．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝__±6__．

【解析】 4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x＝72－x2， ∴72－x2＝13.∴x2＝36.∴x＝±6. x2－410．如果分式的值为零，那么x＝__－2__．

x－2【解析】 由题意得x2－4＝0且x－2≠0，∴x＝－2. 11．求下列各式中的x. (1)x2＝36；

(2)x2＋1＝1.01； (3)(4x－1)2＝225； (4)2(x2＋1)＝10.

解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)x1＝0.1，x2＝－0.1； 7

(3)x1＝4，x2＝－；

2(4)x1＝2，x2＝－2.

12．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根．则m的取值范围是( B ) 3

A．m≥－ B．m≥0

4

C．m≥－1 D．m≥2

【解析】 (x＋1)2－m＝0，(x＋1)2＝m，

∵一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根， ∴m≥0.

13．已知等腰三角形的两边长分别是(x－3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( C ) A．2或4 B．8 C．10 D．8或10

【解析】 开方得x－3＝±1，即x＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，则周长为10.故选C.

14．解下列方程：(1)[2012·永州](x－3)2－9＝0； (2)(2x－3)(2x－3)＝x2－6x＋9；

(3)(2x＋3)2－(1－2)2＝0. 解：(1)(x－3)2＝9，x－3＝±3，∴x1＝0，x2＝6； (2)原方程可化为(2x－3)2＝(x－3)2， 两边开平方得2x－3＝±(x－3)，

即2x－3＝x－3或2x－3＝－(x－3)，

5

∴x1＝0，x2＝2；

(3)原方程可化为(2x＋3)2＝(1－2)2， ∴2x＋3＝±(1－2)．

∴2x＋3＝1－2或2x＋3＝－(1－2)． ∴x1＝－1－

22，x2＝－2＋. 22

15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s(单位：米)与标枪出v2

手的速度v(单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s＝＋2，如果抛出48米，

9.8试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒)． v2

解：把s＝48代入s＝＋2，

9.8v2

得48＝＋2，v2＝46×9.8，

9.8

∴v1≈21.2，v2≈－21.2(舍去)．

答：标枪出手时的速度约为21.2米/秒．

23

16．已知＝，求关于x的方程x2－3m＝0的解．

m－1m23解：＝，方程两边同时乘m(m－1)，

m－1m得2m＝3(m－1)，解得m＝3， 经检验m＝3是原方程的解． 将m＝3代入方程x2－3m＝0， 则x2－9＝0，解得x＝±3，

即关于x的方程x2－3m＝0的解为x1＝3， x2＝－3.

17．已知a＋b＝4n＋2，ab＝1，若19a2＋150ab＋19b2的值为2 012，求n.

解：∵19a2＋150ab＋19b2＝19(a＋b)2－38ab＋150ab＝19(a＋b)2＋112ab，且a＋b＝4n＋2，ab＝1，

又19a2＋150ab＋19b2的值为2 012， ∴19×(4n＋2)2＋112×1＝2 012， 即(4n＋2)2＝100，∴4n＋2＝±10， 当4n＋2＝10时，解得n＝2；

当4n＋2＝－10时，解得n＝－3.故n为2或－3.

6

第2课时 用配方法解一元二次方程 [见A本P4]

1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0 C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2

1

2．用配方法解方程x2－x－4＝0时，配方后得( C )

3333939x－?＝ B.?x－?＝－ A.??2??2?44357

x－?＝ D．以上答案都不对 C.??2?4

357

x－?＝. 【解析】 先把方程化为x－3x－12＝0，再移项得x－3x＝12，配方得??2?4

2

2

22

2

2

3．若一元二次方程式x2－2x－3 599＝0的两根为a，b，且a＞b，则2a－b之值为( D )

A．－57 B．63 C．179 D．181 【解析】 x2－2x－3 599＝0，移项得x2－2x＝3 599，x2－2x＋1＝3 599＋1，即(x－1)2＝3 600，x－1＝60，x－1＝－60，解得x＝61或x＝－59.∵一元二次方程式x2－2x－3 599＝0的两根为a，b，且a＞b，

∴a＝61，b＝－59，∴2a－b＝2×61－(－59)＝181.

4．关于x的一元二次方程x2－5x＋p2－2p＋5＝0的一个根为1，则实数p的值是( C ) A．4 B．0或2 C．1 D．－1

【解析】 把x＝1代入原方程有1－5＋p2－2p＋5＝0，即p2－2p＋1＝0，∴(p－1)2＝0，∴p＝1.

5．把下列各式配成完全平方式： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；

1?21?2

(2)x±__x__＋＝?x± 2 ?.

4

6．若方程x2＋6x＝7可化为(x＋m)2＝16，则m＝__3__． 7．当m＝__±12__时，x2＋mx＋36是完全平方式．

【解析】 ∵x2＋mx＋36＝x2＋mx＋62是完全平方式，∴m＝±2×1×6，∴m＝±12. 8．用配方法解一元二次方程： (1)x2－2x＝5；(2)2x2＋1＝3x；

(3)2t2－6t＋3＝0；(4)6x2－x－12＝0； (5)2y2－4y＝4；(6)x2＋3＝23x； (7)x2－2x＝2x＋1.

解：(1)配方，得(x－1)2＝6， ∴x－1＝±6，

∴x1＝1＋6，x2＝1－6； (2)移项得2x2－3x＝－1，

31

二次项系数化为1得x2－x＝－，

22

7

3?3?21?3?2

配方得x－x＋?4?＝－＋?4?，

223?21?即?x－4?＝，

16

2

311∴x－＝±，解得x1＝1，x2＝；

4423(3)移项、系数化为1得t2－3t＝－，

2939

配方得t2－3t＋＝－＋，

42433

t－?＝， 即??2?433开方得t－＝±，

223＋33－3

∴t1＝，t2＝.

22(4)移项，得6x2－x＝12， x

二次项系数化为1，得x2－＝2，

61?2x?1?2?配方，得x－＋?12?＝2＋?12?，

61?2289?即?x－12?＝，

144

2

2

117∴x－＝±，

121234∴x1＝，x2＝－；

23

(5)系数化为1，得y2－2y＝2，

配方，得y2－2y＋1＝2＋1，即(y－1)2＝3， ∴y－1＝±3；

∴y1＝1＋3，y2＝1－3； (6)移项，得x2－23x＝－3，

配方，得x2－23x＋(3)2＝－3＋(3)2， 即(x－3)2＝0， ∴x1＝x2＝3；

(7)移项得x2－4x＝1，

配方得x2－4x＋22＝1＋22， 即(x－2)2＝5，

∴x－2＝±5，

∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

x＋1<3x－3??

9．当x满足条件?1时，求出方程x2－2x－4＝0的根． 1

??2（x－4）<3（x－4）

8

x＋1<3x－3???2

解：由?1求得?， 1

?x<4??2（x－4）<3（x－4）则2

解方程x2－2x－4＝0可得x1＝1＋5，x2＝1－5

2<5<3，而2

10．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B )

A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9

C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5

【解析】 由x2－6x＋q＝0，得x2－6x＋9－9＋q＝0，即(x－3)2－9＋q＝0，∴(x－3)2＝9－q.∴q＝2，p＝3.∴x2－6x＋q＝2即为x2－6x＋2＝2，x2－6x＝0，x2－6x＋9＝9，(x－3)2＝9，即(x－p)2＝9.故选B. 11．用配方法解方程： (1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. (2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．

解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，

4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＝－8， (x－3)2＝1，x－3＝±1， x1＝2，x2＝4.

(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，

整理得：5x2＋85＝6x2＋12x，x2＋12x－85＝0， x2＋12x＝85，x2＋12x＋36＝85＋36， (x＋6)2＝121， x＋6＝±11， x1＝5，x2＝－17.

12．利用配方法比较代数式3x2＋4与代数式2x2＋4x值的大小． 解：∵(3x2＋4)－(2x2＋4x) ＝3x2＋4－2x2－4x ＝x2－4x＋4 ＝(x－2)2≥0， ∴3x2＋4≥2x2＋4x.

ab?ab?1???13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号? ?的意义是? ?＝ad－bc.例如：? ?c?cd??3d?

2??－24?

?＝1×4－2×3＝－2，? ?＝(－2)×5－4×3＝－22. 4?5??3

?56?的值；

(1)按照这个规定请你计算? ?

?78?

?x＋1

(2)按照这个规定请你计算当x－4x＋4＝0时，?

?x－1

2

?

?的值． 2x－3?

2x

9

?56?＝5×8－7×6＝－2；

解：(1)? ?

?78?

(2)由x2－4x＋4＝0得x＝2， ?x＋1

??x－1

??3?＝? 2x－3??1

2x

4?

?＝3×1－4×1＝－1. 1?

14．已知关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，求关于x的方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解． 解：x1＝－4，x2＝－1.

15．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；

②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2＋(22－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋2)2－(4＋22)x；

③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(2x－2)2－x2. 根据上述材料，解决下面问题：

(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值． 解：(1)x2－8x＋4 ＝x2－8x＋16－16＋4 ＝(x－4)2－12； x2－8x＋4

＝(x－2)2＋4x－8x ＝(x－2)2－4x；

(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0， y3

(x＋)2＋(y－2)2＝0，

24y

x＋＝0，y－2＝0， 2x＝－1，y＝2， 则xy＝(－1)2＝1.

公式法

1．方程x2＋x－1＝0的一个根是( D ) 1－5

A．1－5 B. 2－1＋5

C．－1＋5 D.

2

10

【解析】 用公式法解得 x＝－1±5

. 2

2．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．[2012·南昌]已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( B )

A．1 B．－1 11C. D．－ 44

【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－a)＝0，解得a＝－1. 4．[2012·广安]已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( C ) A．a＞2 B．a＜2

C．a＜2且a≠1 D．a＜－2

【解析】 Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1. 5．方程4y2＝5－y化成一般形式后，a＝__4__，b＝__1__，c＝__－5__，则b2－4ac＝__81__，5所以方程的根为__y1＝1，y2＝－__．

416．[2013·滨州]一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为__x1＝1，x2＝__．

217．方程2x2＋5x－3＝0的解是__x1＝－3，x2＝__．

28．如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是__c＞9__．

【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，∴Δ＝(－6)2－4c＜0，即36－4c＜0，c＞9.

9．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x2－2x－1＝0; (2)2x2－x＋1＝0； (3)4x－x2＝x2＋2; (4)3x－1＝2x2.

解：(1)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＜0，方程没有实数根；

(3)Δ＝0，方程有两个相等的实数根； (4)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根． 10．用公式法解方程： (1)x2－5x＋2＝0； (2)x2＝6x＋1； (3)2x2－3x＝0; (4)3x2＋6x－5＝0；

11

(5)0.2x2－0.1＝0.4x; (6)2x－2＝2x2.

5＋175－17

解：(1)x1＝，x2＝；

22(2)x1＝3＋10，x2＝3－10； 3

(3)x1＝0，x2＝；

2(4)x1＝(5)x1＝

－3＋26－3－26

，x2＝； 332＋62－6，x2＝； 22

(6)无解．

11．用两种不同的方法解一元二次方程x2＋4x－2＝0. 解：方法一：由原方程得x2＋4x＋4＝2＋4， 即(x＋2)2＝6，

∴x＋2＝±6， ∴x＝－2±6，

∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6. 方法二：∵a＝1，b＝4，c＝－2， Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0， －4±24∴x ＝＝－2±6，

2

∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6. 12．用适当的方法解一元二次方程：

(1)(3x＋1)2－9＝0； (2)x2＋4x－1＝0； (3)3x2－2＝4x; (4)(y＋2)2＝1＋2y. 24

解：(1)x1＝，x2＝－；

33(2)x1＝－2－5，x2＝－2＋5； (3)x1＝

2＋102－10，x2＝； 33

(4)无解．

3x－4x＋4

13．先化简，再求值：?x＋1－x－1?÷，其中x满足方程x2＋x－6＝0.

??x－13?x－4x＋4?x＋1－解：x－1?÷x－1 ?

2

2

?x－1－3?÷（x－2）

＝??x－1?x－1x－1?

（x＋2）（x－2）x－1＝·

x－1（x－2）2＝x＋2. x－2

12

22

由x2＋x－6＝0可解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝－3， x＋2－3＋21

∴x＝－3.∴原式＝＝＝. x－2－3－25

14．[2012·珠海]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0. (1)当m＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m＝－3时，求方程的根．

解：(1)当m＝3时，b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0， ∴原方程没有实数根；

(2)当m＝－3时，x2＋2x－3＝0， ∵a＝1，b＝2，c＝－3， Δ＝b2－4ac＝4－4×1×(－3)＝16， －2±16－2±4∴x＝＝，

22

∴x1＝－3，x2＝1.

15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＝0有两个实数根，求m的取值范围． 【解析】 由方程根的情况得到关于m的不等式，若二次项中存在字母系数，则系数不为零，从以上两个方面确定字母的取值范围． 解：因为一元二次方程有两个实数根， 所以Δ≥0，即(－2m)2－4(m－1)·m≥0， 所以4m2－4m2＋4m≥0，m≥0. 又因为m－1≠0， 所以m≠1，

所以m的取值范围是m≥0且m≠1.

16．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不等的实根 ∴20－8k>0 5∴k<. 2

(2)∵k为整数，

5

∴0

2∴x1＝－1＋5－2k，x2＝－1－5－2k. ∵方程的根为整数， ∴5－2k为完全平方数． 当k＝1时，5－2k＝3； 当k＝2时，5－2k＝1. ∴k＝2.

13

因式分解法

1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( D ) A．x＝2 B．x＝－3

C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 2．方程x2－5x＝0的解是( C ) A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0

3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( D ) A．－1 B．0

C．1和2 D．－1和2

4．小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( D ) A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0

5．经计算x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则方程x2－3x－4＝0的根为( B ) A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4

6．(1)一元二次方程x2－2x＝0的解是__x1＝0，x2＝2__. (2)方程x(x－2)＝x的根是__x1＝0，x2＝3__．

7．若方程x2－x＝0的两根为x1，x2(x1

【解析】 原方程可化为(x＋2)(x－1－2)＝0，解得x1＝－2，x2＝3.

9．关于x的方程mx2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，那么m＝__4__．

【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以m2－4m＝0，所以m1＝0，m2＝4.又m≠0，所以m＝4.

10．用因式分解法解下列方程：

(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；(2)9x2－4＝0； (3)(3x－1)2－4＝0；

(4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．

22

解：(1)x1＝3，x2＝1；(2)x1＝－，x2＝；

3311

(3)x1＝－，x2＝1；(4)x1＝3，x2＝.

34

11．解方程：2(x－3)＝3x(x－3)(用不同的方法解方程)．

【解析】 可用因式分解法或公式法．

解：解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， 2

x－3＝0或2－3x＝0，所以x1＝3，x2＝. 3

解法二(公式法)：2x－6＝3x2－9x，3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6，b2－4ac＝121－72＝49， 11±492x＝，∴x1＝3，x2＝. 32×3

14

12．用适当的方法解下列方程： (1)4(2x＋1)2－9＝0； (2)x2＋4x－2＝0； (3)2x2－7x＋3＝0；

(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 9

解：(1)原方程可化为(2x＋1)2＝，

43

直接开平方，得2x＋1＝±，

215∴x1＝，x2＝－；

44

(2)移项，得x2＋4x＝2，

配方，得x2＋4x＋22＝2＋22，∴(x＋2)2＝6， ∴x＋2＝±6，∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6； (3)∵a＝2，b＝－7，c＝3， Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝49－24＝25， 7±251∴x＝，∴x1＝3，x2＝；

22×2

(4)原方程可化为x2＋2x－3＝0，(x－1)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝－3.

13．选择适当的方法解一元二次方程：

(1)25(x－2)2＝49; (2)x2－2x－2＝0； (3)4x2－5x－7＝0; (4)(x－2)2＝5(2－x)． 【解析】 (1)用直接开平方法；(2)用配方法； (3)用公式法；(4)用因式分解法． 49

解：(1)原方程可化为(x－2)2＝，

25

7173

直接开平方，得x－2＝±，∴x1＝，x2＝；

555(2)移项，得x2－2x＝2，

配方，得x2－2x＋12＝2＋12，即(x－1)2＝3， ∴x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－3； (3)∵a＝4，b＝－5，c＝－7， Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×(－7)＝137， －（－5）±137∴x＝，

2×45＋1375－137

∴x1＝，x2＝；

88(4)移项，得(x－2)2－5(2－x)＝0，

即(x－2)2＋5(x－2)＝0， ∴(x－2)(x－2＋5)＝0， ∴x－2＝0或x－2＋5＝0， ∴x1＝2，x2＝2－5.

15

14．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2－2x)－5(x－2)＝0的根，求△ABC的周长．

解： 原方程可化为x(x－2)－5(x－2)＝0， ∴(x－5)(x－2)＝0，∴x1＝5，x2＝2.

∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴第三边的长x的取值范围是1

15．已知一直角三角形的三边长为三个连续偶数，试求这个直角三角形的三边长及面积． 解：设三角形的三边长为n－2，n，n＋2， 则由勾股定理，得(n－2)2＋n2＝(n＋2)2， 整理得n2－8n＝0，解得n＝0(舍去)或n＝8. 当n＝8时，n－2＝6，n＋2＝10， 1

三角形的面积为×6×8＝24.

2

答：这个直角三角形的三边长分别为6，8，10，面积为24. 16．阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，

于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，(*) 解得y1＝1，y2＝4.

当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2，

∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.

(1)在由原方程得到方程(*)的过程中，利用__换元__法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想；

(2)解方程：(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.

【解析】 (1)本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程来求解，然后再解这个一元二次方程．

(2)利用题中给出的方法先把x2＋x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． 解：(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y1＝6，y2＝－2. 由x2＋x＝6，得x1＝－3，x2＝2； 由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0， 因为b2－4ac＝1－4×2＝－7＜0， 所以此时方程无解，

所以原方程的解为x1＝－3，x2＝2.

17．已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

解：(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0， Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0， ∴此方程有两个不相等的实数根．

(2)∵ΔABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，

由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，

16

∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解．

将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，25－5(2k＋1) ＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5. 当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，x1＝5，x2＝ 4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形； 当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0，x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．(必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5)． ∴k的值为4或5.

18．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5 050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，① S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1，② ①＋②：有2S＝(1＋100)×100， 解得：S＝5 050.

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，求n. 解：设S＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，① 则S＝(2n＋1)＋…＋7＋5＋3＝168，② ①＋②得2S＝n(2n＋1＋3)＝2×168，

整理得n2＋2n－168＝0，即(n－12)(n＋14)＝0， 解得n1＝12，n2＝－14(舍去)， 所以n＝12.

一元二次方程的根与系数的关系

1已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( B ) A．0 B．2 C．－2 D．4 2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1·x2＝( D ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( C ) A．无实数根

B．两根之和为－2 C．两根之积为－1

D．有一根为－1＋2

4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8

5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D ) A．－7 B．－3 C．7 D．3

【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3. 6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22

17

的值为( A )

A．－3 B．3 C．－6 D．6

【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3. x2x1

7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B )

x1x2

A．5 B．－5 C．1 D．－1

8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x12＋x22＝__3__． 【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2－2×(－1)＝3. 1159．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则＋＝__－__．

mn3【解析】 ∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根， －55311m＋n

∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝

222mnmn

5

＝－. 33－252

x210．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x12＋x22；(2)＋

x1x1； x2

(3)(x1＋1)(x2＋1)．

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3. (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3 ＝36－6＝30；

22

x2x1x2＋x130(2)＋＝＝＝10； x1x2x1x23

(3)(x1＋1)(x2＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 ＝3－6＋1＝－2.

11．已知2－5是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－5＝4，得x1＝2＋5.

12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值． 解： ∵x1＋x2＝2，∴m＝2.

∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0， 解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.

13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是( C ) A．1 B．12 C．13 D．25

【解析】 由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，

18

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2， ∴m2－4m＋2＝7， ∴m2－4m－5＝0， 解得m＝5或m＝－1.

当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根． 当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根， ∴当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.

14．设a，b是方程x2＋x－2 012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( A ) A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014

【解析】 ∵a是方程x2＋x－2 012＝0的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A. 15．已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式m2＋n2＋3mn的值为( C ) A．9 B．4 C．3 D．5

16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，则m＝__－2__．

－444

【解析】 ∵x1＋x2＝－＝，∴－2＝，∴m＝－2.

mmm

17．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．

【解析】 因为α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.

18．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2. (1)求m的取值范围；

(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． 解：(1)∵原方程有两个实数根， 13

∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤. 4

(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1， ∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．

19．已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k的值． 解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0， 所以无论k为何实数，方程总有实数根；

3k－12（k－1）

(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，

kk∵│x1－x2│＝2，

∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，

19

3k－128（k－1）故()－＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.

kk1解得k1＝1，k2＝－. 3

1

经检验，k1＝1，k2＝－都是原分式方程的解，

31

∴k1＝1，k2＝－.

3

实际问题与一元二次方程

第1课时 变化率问题与一元二次方程 [见B本P8]

1．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( B )

A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389

2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C ) A．50(1＋x2)＝196 B．50＋50(1＋x2)＝196

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

3．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，主干、分支、小分支的总数为241，求每个分支长出多少个小分支？若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是( B )

A．1＋x＋x(x＋1)＝241 B．1＋x＋x2＝241

C．1＋(x＋1)＋(x＋1)2＝241 D．1＋(x＋1)＋x2＝241

【解析】 植物有1个主干，1个主干有x个分支，x个分支有x2个小分支，依据题意，得1＋x＋x2＝241. 4．在一个QQ群里有n个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n为( C )

A．10 B．6 C．5 D．4

【解析】 依题意，得n(n－1)＝20，解得n＝5或n＝－4(舍去)． 5．[2013·哈尔滨]某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%__. 6．某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用作购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1 320

20

元(均不计利息税)，设这种存款方式的年利率为x，则可列方程为__[2__000(1＋x)－1__000](1＋x)＝1__320__．

7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人．

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64 解之，得x1＝7，x2＝－9，(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． (2)7×64＝448.

答：又有448人被传染．

8．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100

解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去) 答：捐款的增长率为10%. (2)12 100×(1＋10%)＝13 310

答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13 310元．

9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.

答：平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)， 方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)． ∵14 400元<15 000元，

∴小华选择方案一购买更优惠．

10．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？ 解：因为80×10＝800元＜1 200元，所以小丽买的服装数大于10件． 设她购买了x件这种服装．

21

根据题意得 x[80－2(x－10)]＝1 200. 解得x1＝20，x2＝30. 因为1 200÷50＝24＜30.

所以x2＝30不合题意，舍去． 答：她购买了20件这种服装．

11．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【解析】 (1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2 240元列出方程求解即可； (2)为了让利于顾客因此应降价6元，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售． 解：(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得 x100＋×20?＝2 240， (60－x－40)?2??

化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.

答：每千克核桃应降价4元或6元．

(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应54

降价6元，此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.

60答：该店应按原售价的九折出售．

12．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆。根据销售经验，A型车的销量不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 解：(1)设平均增长率为x，根据题意得：

64(1＋x)2＝100，解得：x＝0.25＝25%或x＝－2.25(不合题意，舍去) 四月份的销量为：100(1＋25%)＝125辆， 答：四月份的销量为125辆．

(2)设购进A型车x辆，根据题意得：

30 000－500x30 000－500x2×≤x≤2.8×，解得：30≤x≤35，

1 0001 000∵B型车的利润大于A型车的利润，

∴当A型车进货量最小时有最大利润，此时B型车进货量为15. 即要获得最大利润，应进A型车30辆，B型车15辆．

22

23

第2课时 几何图形与一元二次方程[见A本P10]

1．小明要在一幅长90 cm，宽40 cm的风景画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为x cm，根据题意列方程为( B ) A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40 B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40 C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40 D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40

2．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( D ) A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200

【解析】 ∵草坪的长比宽多10米，草坪的宽为x米，∴草坪的长为(x＋10)米．∵草坪的面积为200平方米，∴可列方程为x(x＋10)＝200.

3．已知两个连续奇数的积为143，则这两个数为( C ) A．－13和－11 B．11和13

C．11，13或－13，－11 D．以上都不对

【解析】 可设两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1.

4．已知一个两位数等于它的个位数的平方，并且十位上的数比个位上的数小3，则这个两位数是( B )

A．25 B．25或36 C．36 D．－25或－36

5．图21－3－1是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( D )

图21－3－1

A．32 B．126 C．135 D．144

6．若长方形的面积为150 cm2，并且长比宽多5 cm，则长方形的长为__15__cm，宽为__10__cm. 7．已知如图21－3－2所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程：__答案不唯24

一，如(x＋1)2＝25__．

图21－3－2

8．从一块正方形钢板上截去3 cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原来这块钢板的面积是__81__cm2.

【解析】 设正方形钢板边长为x cm，则有x(x－3)＝54，解得x1＝9，x2＝－6(舍去)，所以正方形钢板面积为81 cm2.

9．在一幅长8 dm，宽6 dm的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽．

解：设金色纸边的宽为x dm，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80，解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)．

答：金色纸边的宽为1 dm.

图21－3－3

10．如图21－3－3，某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.

(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？ (2)鸡场的面积能达到200 m2吗？ (3)鸡场的面积能达到250 m2吗？

40－x40－x

解：(1)设鸡场靠墙一边长为x m，则另两边的长均为 m，根据题意，得x·＝180，

22解得x1＝20＋210，x2＝20－210.∵x1＝20＋210>25，即比墙长，∴x1＝20＋210不满

足题意，舍去，而0＜x2＝20－210＜25，满足题意，

∴鸡场的面积可达到180 m2.设计的方案是靠墙的一边长为(20－2 10)m，另外的两边长都为(10＋10)m的矩形．

40－x

(2)同理可得x·＝200，解得x1＝x2＝20.

2

∵x＝20满足题意，∴鸡场的面积可达到200 m2.

设计的方案是靠墙的一边长为20 m，另两边长都为10 m的矩形． (3)鸡场的面积不能达到250 m2. ∵若鸡场的面积为250 m2，

25

40－x

则可列方程x·＝250，

2

整理，得x2－40x＋500＝0， 配方，得(x－20)2＝－100， 由于负数不能开平方，

∴方程x2－40x＋500＝0无实数根， ∴鸡场的面积不能达到250 m2.

11．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”，他的说法对吗？请说明理由．

解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm. 由题意得x2 ＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7. 4×3＝12，4×7＝28.

所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段．

(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0. 因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根． 所以小峰的说法是对的．

12．把一张边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)如图21－3－4，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

图21－3－4

要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9 cm.

(2)如答图所示的一种裁剪方法，设长方体盒子的高为x cm，2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15，∴长方体盒子的高为15 cm，

此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

26

13．要在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，如图21－3－5分别是小明和小颖的设计方案． (1)你认为小明的结果对吗？为什么？ (2)你能帮小颖求出图中的x吗？

图21－3－5

【解析】 (1)按小明的思路列方程求解，考查小路的宽能否为12 m；(2)按小颖的思路列方程求解．

解：(1)小明的结果不正确． 设小路的宽为x m，依题意， 1

有(16－2x)(12－2x)＝×16×12，

2

整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12. 因为荒地的宽为12 m，若小路的宽为12 m，则不符合实际情况，故x2＝12不合题意，舍去， 所以x＝2，即小路的宽为2 m.

(2)由题意知4个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，由其半径为x m，根据题意有πx2196

＝×12×16，即x2＝，所以x≈±5.5. 2π

因为x>0，所以x＝－5.5不合题意，舍去，所以x＝5.5， 所以小颖的设计方案中扇形的半径为5.5 m.

二次函数

22.1__二次函数的图象和性质__ 22．1.1 二次函数 [见B本P12]

1．下列函数是二次函数的是( C )

A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．y＝x－2

2．二次函数y＝3x2－2x－4的二次项系数与常数项的和是( B ) A．1 B．－1 C．7 D．－6

27

1

3．自由落体公式h＝gt2(g为常量)中，h与t之间的关系是( C )

2

A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对

4．已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为( A ) A．4 B．－4 C．3 D．－3

5．如图22－1－1所示，在直径为20 cm的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm的圆，剩余部分的面积为y cm2，则y与x间的函数关系式为( C )

图22－1－1

A．y＝400π－4πx2 B．y＝100π－2πx2 C．y＝100π－4πx2 D．y＝200π－2πx2

20?22

【解析】 S剩余＝S大圆－4S小圆＝π·?－4πx＝100π－4πx，故选C. ?2?

6．二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为( D ) A．2 B．－2 C．－1 D．－4

【解析】 y＝2x(x－3)＝2x2－6x，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.

7．下列函数关系式，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( D ) A．圆的周长与圆的半径之间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系 C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D．正方体的表面积与棱长的关系

【解析】 A中，圆的周长C与圆的半径r是一次函数C＝2πr；B中，若我国原有人口为a，x年后人口数为y＝a(1＋1%)x也不属于二次函数；C中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D中表面积S与棱长a的关系为S＝6a2，符合二次函数关系式． 8．二次函数y＝ax2中，当x＝－1时，y＝8，则a＝__8__． 【解析】 将x＝－1，y＝8代入y＝ax2中，解得a＝8.

2

图22－1－2

9．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为x cm的正方形，高为6 cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝__24x__，长方体的体积为V＝__6x2__，各边长的和L＝__8x＋24__，在上面的三个函数中，__V＝6x2__是关于x的二次函数．

28

【解析】 长方体的侧面展开图的面积S＝4x×6＝24x；长方体的体积为V＝x2×6＝6x2；各边长的和L＝4x×2＋6×4＝8x＋24，其中，V＝6x2是关于x的二次函数． 10．若y＝xm是关于x的二次函数，则(m＋2 011)2＝__2__013__． 【解析】 由y＝xm是关于x的二次函数，得m＝2，所以(m＋2 011)2＝(2 013)2＝2 013. 11．已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是__a≠－2__． 【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a＋2≠0，即a≠－2. 12．已知函数y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3， (1)当k__≠±2__时，它是二次函数； (2)当k__＝2__时，它是一次函数．

【解析】 根据一次函数、二次函数定义求解． (1)k2－4≠0，即k≠±2时，它是二次函数．

?k2－4＝0，?k＝±2，??(2)∵? ∴? ∴k＝2.

??k＋2≠0，k≠－2.??

13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式．

图22－1－3

1

解：半圆面积：πx2，

21

矩形面积：2x××(8－2x－πx)

2＝8x－(2＋π)x2，

1

∴y＝πx2＋8x－(2＋π)x2，

21

π＋2?x2＋8x. 即y＝－??2?

14．若y＝(m－1)xm2＋1＋mx＋3是二次函数，则m的值是( B )

A．1 B．－1 C．±1 D．2

2??1，?m＋1＝2，?m＝±

【解析】 根据题意得?解得?∴m＝－1，故选B.

?m－1≠0，?m≠1，??

15．如果函数y＝(m－3)xm2－3m＋2＋mx＋1是二次函数，求m.

2

??m－3m＋2＝2，

解：依题意得?解得m＝0.

?m－3≠0，?

16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，

AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求(1)重叠部分的面积y (cm2)与时间t(s)之间的函数关系式和自变量

29

的取值范围．(2)当t＝1，t＝2时，重叠部分的面积．

图22－1－4

解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵AN＝2t，

∴AM＝MN－AN＝20－2t， ∴MH＝AM＝20－2t，

1

∴重叠部分的面积为y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200.

2

所以自变量的取值范围为0≤t≤10. (2)当t＝1时，y＝162(cm2) 当t＝2时，y＝128(cm2)．

17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m的矩形养鱼池． (1)如果设矩形的一边长为x m，那么另一边的长为________m；

(2)如果设矩形的面积为y m2，那么用x表示y的表达式为y＝________，化简后为y＝________；

(3)根据上面得到的表达式填写下表： x y 5 10 15 20 25 30 35 (4)请指出上表中边长x为何值时，矩形的面积y最大．

图22－1－5

1

【解析】 S矩形＝长×宽，(1)另一边长为(80－2x)＝(40－x)m.

2解：(1)40－x.

(2)x(40－x)，－x2＋40x.

(3)175，300，375，400，375，300，175. (4)当x＝20时，y最大为400 m2.

18．如图22－1－6，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

30

图22－1－6

第18题答图

解：如图，把△ABC绕A逆时针旋转90°到△ADE，则BC＝DE，AC＝AE. 设BC＝k，则AC＝AE＝4k，DE＝k， 过D作DF⊥AC于F，则AF＝DE＝k， CF＝3k，DF＝4k，

由勾股定理得CF2＋DF2＝CD2， ∴(3k)2＋(4k)2＝x2， x2

∴x＝25k，∴k＝.

25

2

2

2

y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE 11＝(DE＋AC)·AE＝(k＋4k)·4k 22x222＝10k＝10×＝x，

255

2

2

故y与x之间的函数关系式为y＝x2.

5

二次函数y＝ax2的图象和性质

1．关于二次函数y＝8x2的图象，下列说法错误的是( C ) A．它的形状是一条抛物线

B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点

D．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)

【解析】 ∵抛物线y＝8x2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．

31

3

2．对于二次函数y＝－x2，下列说法错误的是( A )

4A．开口向上 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标为(0，0)

D．当x＝0时，y有最大值0

3

【解析】 当a＝－＜0时，二次函数的图象开口向下．

4

3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A ) A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，－2) D．(4，－2)

1212

4．已知二次函数：y＝2 013x2，y＝－2 013x2，y＝x，y＝－x，它们图象的共同

2 0142 014特点为( D )

A．都关于原点对称，开口方向向上 B．都关于x轴对称，y随x增大而增大 C．都关于y轴对称，y随x增大而减小 D．都关于y轴对称，顶点都是原点

【解析】 根据y＝ax2的图象特征判断．D正确．

5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( D ) A．y＝x2 B．y＝x－1 31

C．y＝x D．y＝ 4x

【解析】 A不正确，二次函数y＝x2的对称轴为x＝0，在对称轴右侧y随x的增大而增大；

B、C中y随x的增大而增大，均不正确，D正确．

图22－1－7

1

6．函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛

2物线对应的函数依次是( D ) 1

A．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

B．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

C．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

21

D．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

2

【解析】 |a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．

32

2

7．抛物线y＝－x2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x＝__0__

3时，函数有最大值为__0__．

8．若二次函数y＝(m＋2)xm2－3的图象开口向下，则m＝__－5__．

?m＋2<0，?

【解析】 根据题意知?2 解得m＝－5. ?m－3＝2，?

39．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y＝x2__，

4当x＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x轴对称，那3么另一个函数的解析式为__y＝－x2__，当x＝__0__时，函数y有最__大__值为__0__．

4 图22－1－8

33

【解析】 设y＝ax2，则3＝4a，a＝，∴y＝x2.

44

当x＝0时，y有最小值．关于x轴对称的抛物线的解析式中a值互为相反数． 1

10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝x2，y＝x2，y＝－x2.

2解：列表：

x 1y＝x2 2y＝x2 y＝－x2 … … … … －3 9 －2 2 －1 1 －1 0 0 1 －1 2 2 4 3 －9 … … … … 描点、连线画图象．

(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象； (2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y＝ax2中a的值与它的图象有什么关系？

图22－1－9

33

9119

解：(1)第二行依次填，，，；

2222

第三行依次填4，0，1，9；

第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．

(2)a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小．

11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( C )

【解析】 在同一平面直角坐标系中，a值的正、负情况应保持一致，只有A、C符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C.

12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式；

(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2， 得－8＝a×(－2)2，解出a＝－2， 所求抛物线的函数解析式为y＝－2x2. (2)因为－4≠－2×(－1)2，

所以点B(－1，－4)不在此抛物线上．

(3)由－6＝－2x2，得x2＝3，x＝±3，

所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．

图22－1－10

13．如图22－1－10，已知直线l过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在9

第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为，求a的值．

2解：设点P(x，y)，直线AB的解析式为y＝kx＋b，

34

将A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b， 得k＝－1，b＝4，故y＝－x＋4， 91

∵△AOP的面积为＝×4×y

229∴y＝

4

97

再把y＝代入y＝－x＋4，得x＝，

4479

所以P(，) 44

7936把P(，)代入到y＝ax2中得：a＝. 4449

14．问题情境：

如图22－1－11，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别为yE，yF. 特例探究： 填空：

当m＝1，n＝2时，yE＝________，yF＝________； 当m＝3，n＝5时，yE＝________，yF＝________． 归纳证明：

对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想． 拓展应用：

(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；

(2)连接EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．

图22－1－11

解：2 2 15 15

归纳证明：猜想：yE＝yF.

证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)， ∴C，D的横坐标分别为m，n. ∵C，D在抛物线y＝x2上，

∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．

设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1 m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，

35

∴直线OC的解析式为y＝mx. 直线OD的解析式为y＝nx，

把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得 yE ＝mn，yF ＝mn，∴yE＝yF. 拓展应用：(1)yE＝yF.

(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 [见B本P14]

1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( C ) 11

A．直线x＝ B．直线x＝－ 22

C．y轴 D．直线x＝2

2．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B ) 1

①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；

2

④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3. A．①④ B．②⑤ C．②③⑤ D．①②⑤

【解析】 a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a相同，选B.

3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3 4．[2013·德州]下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( B ) A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1 1

C．y＝ D．y＝－x2＋1

x

5．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__． 【解析】 根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可．

11

6．抛物线y＝x2－4可由抛物线y＝x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的

33开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__

值为__－4__，当__x>0__时，y随x的增大而增大，当__x<0__时，y随x的增大而减小． 111

【解析】 抛物线y＝x2－4与y＝x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝x2－4的图象

333

36

1

可由抛物线y＝x2的图象沿y轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．

37．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__． 8．(1)填表：

x y＝－2x2 y＝－2x2＋1 y＝－2x2－1 … －2 －1 0 1 2 … (2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象； (3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ (4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1? 解：(1)略 (2)略

(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；

(4)抛物线y＝－2x2＋1可由抛物线y＝－2x2向上平移1个单位得到；抛物线y＝－2x2－1可由抛物线y＝－2x2向下平移1个单位得到．

91

－3，?，与x轴交于A，B两点，且A点在B点9．二次函数y＝－x2＋c的图象经过点?2??2左侧．

(1)求c的值；

(2)求A，B两点的坐标．

9

－3，?， 解：(1)∵抛物线经过点?2??19

∴－×(－3)2＋c＝，∴c＝6.

221

(2)∵c＝6，∴抛物线为y＝－x2＋6.

2

1

令y＝0，则－x2＋6＝0，解得x1＝23，x2＝－23，∵A点在B点左侧，∴A(－23，0)，

2B(23，0)．

11

10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－x2＋1、y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，

220)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )

图22－1－12

A．8 B．6 C．10

37

D．4

【解析】 两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8. 11．抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y＝－8x2－6____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的．

【解析】 根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k值，从而可判断平移方向．

∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8. 又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6，

∴y＝－8x2－6，它是由抛物线y＝－8x2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y＝ax2＋c的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；

(3)求这个函数的图象与x轴交点的坐标．

【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a，c的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y＝0时x的值．

解：(1)∵y＝ax2＋c的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，

??4a＋c＝－7，??a＝－3，∴?∴?∴y＝－3x2＋5. ?a＋c＝2.?c＝5.??

(2)列表： x y＝－3x2＋5 描点、连线： －2 －7 1－1 23－1 4－1 2 1－ 214 40 5 1 214 41 2 11 23－1 42 －7 (3)当y＝0时，－3x2＋5＝0， 解得x1＝

1515，x2＝－， 33

15??15?

. ，0和－

?3??3，0?

38

故函数图象与x轴的交点坐标为?

13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB时，水面宽20 m，这时，拱高(O点到AB的距离)为4 m.

图22－1－13

(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？ (2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？ 【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．

解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝11

ax2，把A点或B点坐标代入可得a＝－，所以y＝－x2；

2525

(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4.

又y＝ax2＋4的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A点或B点坐标代入可得0＝100a＋4，解1

得a＝－，

251

所以y＝－x2＋4.

25

因为两抛物线解析式的a相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．

图22－1－14

14．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m. (1)求抛物线的解析式；

(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．

【解析】 (1)抛物线关于y轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a的值；

(2)将x＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y值与4.2比较大小，y值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6， 1

∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－，

41

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6.

4

39

1

(2)当x＝2.4时，y＝－x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．

4

图22－1－15

15．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4. (1)求a的值；

(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．

解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4， ∴B(4，0)，

把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0， 1

解得：a＝；

4

(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F， 1∵a＝，

41

∴y＝x2－4，

4令x＝－1，

115∴m＝×(－1)2－4＝－，

4415∴C(－1，－)，

4

∵C关于原点对称点为D，

1515

∴D的坐标为(1，)，则CE＝DF＝

44

40

11115115

S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OB·DF＋OB·CE＝×4×＋×4×＝15，

222424∴△BCD的面积为15平方米．

41

第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 [见A本P16]

1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是( D ) 1

A．y＝1＋2 B．y＝(2x＋1)2

2x

C．y＝(x－2)2 D．y＝2x2

2．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是( D ) A．是中心对称图形 B．开口向上

C．对称轴是x＝－2 D．最高点是(2，0)

3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是( A ) A．(1，0) B．(－1，0) C．(－2，1) D．(2，－1)

4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是( B ) A．开口向下

B．对称轴为x＝1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标为(－1，0)

335．二次函数y＝2(x－)2图象的对称轴是直线__x＝__. 2212

6．函数：①y＝x－3，②y＝－(x<0)，③y＝(1－x)2(x>1)，其中y随x的增大而增大的有__

2x①②③__(填序号)．

11

解：∵y＝x－3中，k＝>0，

22∴y随x的增大而增大； 2

∵函数y＝－中k＝－2，

x

∴当x<0时，y随x的增大而增大；

∵y＝(1－x)2(x>1)中，开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x>1时，y随x的增大而增大， 故答案为①②③.

7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小．

2

8．抛物线y＝－(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，

3当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__． 9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S△AOB＝__8__．

【解析】 画草图帮助理解题意．

当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝8，

42

11

S△AOB＝×OA×OB＝×2×8＝8.

221

10．已知：抛物线y＝－(x＋1)2.

4(1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表； x y … … －7 －9 －3 1 －1 3 … … (3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．

图22－1－16

解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1. (2)填表如下： x y … … －7 －9 －5 －4 －3 －1 －1 0 1 －1 3 －4 5 －9 … …

(3)描点作图如下：

11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标． (1)y＝2(x＋1)2 (2)y＝－4(x－5)2. 解：(1)由y＝2(x＋1)2

可知，二次项系数为2＞0，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1， 顶点坐标为(－1，0)．

(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5， 顶点坐标为(5，0)．

12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x

43

的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值． 解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2， 知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；

函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5， 故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小； ∵－3＜0，

∴二次函数的开口向下，

当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.

13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)． (1)求a和h的值；

(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式． 解：(1)∵对称轴为x＝－2， ∴h＝－2，

∵与y轴交于点(0，2)， ∴a·22＝2， 1∴a＝；

2

(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)， 1

所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝(x－2)2.

2

14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式．

(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．

解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)， ∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，

∴关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2； (2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，

∵关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变， ∴关于y轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2；

∵关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于x轴对称的抛物线解析式为y＝－a(x－h)2；

∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于原点对称的抛物线解析式为y＝－a(x＋h)2.

15．在直角坐标平面内，已知抛物线y＝a(x－1)2(a＞0)顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC为直角三角形时，求a的值．

44

图22－1－17

解：∵y＝a(x－1)2(a＞0)的顶点为A，所以点A的坐标为(1，0)． 由x＝0，得y＝a，所以点C的坐标为(0，a)， 由x＝3，得y＝4a，所以点B的坐标为(3，4a)， AC＝1＋a??2

2

所以有?AB＝4＋16a

??BC2＝9＋9a2(1)若BC2＝AC2＋AB2得 9＋9a2＝1＋a2＋4＋16a2 12

即a2＝，a＝±，因为a>0，

22∴a＝

2； 2

2

2

(2)若AB2＝AC2＋BC2

得4＋16a2＝1＋a2＋9＋9a2 即a2＝1，a＝±1. ∴a>0， ∴a＝1；

(3)若AC2＝AB2＋BC2

得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2 1

即a2＝－，无解．

2

综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或

2. 2

45

第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 [见B本P16]

1．抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1)

1

2．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x＝1；③

2顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4

1

【解析】 ①∵a＝－<0，

2

∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x＝－1，错误； ③顶点坐标为(－1，3)，正确；

④∵x>－1时，y随x的增大而减小∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C.

3．下列二次函数中，图象以x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3

【解析】 设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k，把点(0，1)代入检验． 4．如图22－1－18，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是( D )

图22－1－18

A．顶点坐标是(1，－2) B．对称轴是直线x＝1 C．开口方向向上

D．当x＞1时，y随x的增大而减小

5．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )

A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3 6．[2013·雅安]将抛物线 y ＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D )

A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2＋6 D．y＝x2

【解析】 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

46

将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；

再向下平移3个单位为：y＝x2＋3－3，即y＝x2. 故选D.

7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A )

图22－1－19

A．m＝n，k>h B．m＝n，kn，k＝h D．m

111

8．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象，并

222列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．

解：列表如下：

x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 1y＝－x2 2 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 1y＝－x2－1 2 －5.5 －3 －1.5 －1 －1.5 －3 －5.5 1y＝－(x＋1)2－1 2－5.5 －3 －1.5 －1 －1.5 －3 －5.5 描点、连线如图：

抛物线 11y＝－x2，即y＝－(x－0)2＋0 22对称轴 x＝0 顶点坐标 (0，0) 47

11y＝－x2－1，即y＝－(x－0)2＋(－1) 2211y＝－(x＋1)2－1，即y＝－[x－(－1)]2＋(－221) x＝0 (0，－1) x＝－1 (－1，－1) 9．已知：抛物线y＝(x－1)2－3.

(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(2)当x____________时，y随x的增大而减小，当x____________时，y随x的增大而增大． 解：(1)抛物线y＝(x－1)2－3， ∵a＞0，

∴抛物线的开口向上，

对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－3)； (2)∵对称轴是x＝1

∴当x<1时，y随x的增大而减小， 当x>1时，y随x的增大而增大．

10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)， ∴可设为y＝a(x－1)2－1， 当x＝0时，y＝0，

∴0＝a(0－1)2－1，a＝1，

所求函数解析式为y＝(x－1)2－1.

11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．

(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；

(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0?

图22－1－20 解：(1)画图略．

依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1， ∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1； (2)当y＝0时，即x2－2x－1＝0， ∴(x－1)2＝2，

∴x－1＝±2，∴x1＝1－2，x2＝1＋2，

∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．

由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝x2－2x－1的函数值大于0.

48

12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A )

图22－1－21

A．h>0，k>0 B．h<0，k>0 C．h<0，k<0 D．h>0，k<0

【解析】 ∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.

13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图22－1－22所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )

【解析】 根据二次函数开口向上知a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过一、二、三象限，故选A.

14．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y＝－(x＋1)2－2__．

【解析】 二次函数y＝(x－1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y＝－(x＋1)2－2.

9

15．二次函数y＝－(x－2)2＋的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是

4整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)．

图22－1－23

1??7?917

【解析】 令－(x－2)2＋＝0，解得x1＝，x2＝，抛物线与x轴的交点坐标为??2，0?，?2，0?，422

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92，?，顶点为?图象与x轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，?4?画出图象，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个．

16．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值；

(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m

(2)解法一：由(1)得a＝－1<0，抛物线的开口向下 在对称轴x ＝ 3的左侧，y随x的增大而增大 ∵m

解法二：由(1)得y＝－(x－3)2＋2 ∴当x＝m时，y1＝－(m－3)2＋2 当x＝n时，y2＝－(n－3)2＋2 y1－y2＝(n－3)2－(m－3)2 ＝(n－m)(m＋n－6) ∵m

∴n－m>0，m＋n<6，即m＋n－6<0 ∴(n－m)(m＋n－6)<0 ∴y1

17．如图22－1－24，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．

图22－1－24

解：(1)由题意，得(1－2)2＋m＝0. 解得m＝－1，

∴二次函数的解析式是y＝(x－2)2－1. 当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3， ∴C(0，3)，

∵点B与C关于x＝2对称， ∴B(4，3)，

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