《点集拓扑学》§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

本节重点:

掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)； 掌握定理6.3.2的证明方法．

定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．

证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明. 充分性:设A,B是X中的两个闭集,f:X?[0,1]是一个连续映射使得当x?A11[0,),(,1]时,f(x)?0,x?B时f(x)?1.由于集合22是[0,1]中两个不相交的开集,因

此.

U?f?1([0,))和V?f?1((,1])是X中两个不相交的开集,并且A?U,B?V,

2211因此X是一个正规空间.

必要性.设X是一个正规空间, A,B是X中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用X的正规性在X中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射f:X?[0,1],使得x?A时,f(x)?0,x?B时f(x)?1.

第一步,设Q1是[0,1]中的全体有理数集合,对r?Q1我们将定义一个与它相对应的开集Ur,使得当r,q?Q1,r?q时,A?Ur?Ur?Uq?X?B,这样,开集族{Ur|r?Q1}在包含关系下是一个有序集,而且随着开集Ur的指标r的增大所对应的开集也就越大.

由于Q1是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族{Ur|r?Q1}.先将Q1排列成一个无限序列,即建立一一映射g:Z??Q1,为了方便,不失一般性,设g(1)?1和g(2)?0是这个序列的前两个元素.首先,A?X?B,令U1?X?B.又由于X是一个正规空间,由定理6.4.2可知存在开集V使得A?V?V?X?B.记U0?V,假设对于n?2,集族{U1,U0,Ug(3),?,Ug(n)}已有定义,而且当g(i)?g(j)时

A?Ug(i)?Ug(i)?Ug(j)?X?B,对于

g(n?1)?Q1,由于集合

{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}是一个有限集,而且有g(2)?0?{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},故这个集合必有最大元,设

p?max{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},又集合{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}是一个有限集合,而且g(1)?1?{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},令

q?min{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}.

由归纳假设知一定有A?Up?Up?Uq?X?B.由于Up?Uq,由定理6.4.2知存在

X中开集V使得Up?V?V?Uq.令Ug(n?1)?V,则集族

也

满

足

:

当

g(i)?g(j){Ug(1),Ug(2),?,Ug(n),Ug(n?1)}时,

A?Ug(i)?Ug(i)?Ug(j)?X?B.这是因为对g(i)?g(j)：

①若i,j?{1,2,?,n}时,由归纳假设知包含关系成立. ②若i?n?1时,由于g(n?1)?g(j),则必有g(j)?q.

即g(j)?min{g(i)|1?i?n,g(n?1)?g(i)},因此由g(n?1)的定义及归纳假设有A?Ug(n?1)?V?V?Ug(j)?X?B.

③若j?n?1,则g(i)?g(n?1),则必有g(i)?p,即g(i)?max{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}.因此由g(n?1)定义及归纳假设有A?Ug(i)?Ug(i)?V?Ug(n?1)?X?B.

因此由归纳原理我们构造了集族{Ur|r?Q1}满足条件：对

p,q?Q1,A?Up?Up?Uq?X?B,而且随着指标r的增加,Ur也随着增大(在包含关系的意义下).

下面,我们令Q1?{1,0,,,,,,,,,?}来说明上面的归纳定义集族

2334555511211234{Ur|r?Q1}的过程.

在定义了U1?X?B,U0之后,定义U1于U0,U1之间使之满足

2U0?U1?U1?U1,再定义U1于U0,U1之间,使之满足U0?U1?U1?U1.接着定

2232332义U2于U1,U1之间使之满足U1?U2?U2?U1,对于r?3223314,由于

ma{0x}??mi{n,,,1},定义U0?U1?U1?U1,…至第九步我们定义U2,由于

4323443111251112132max{0,,,}??min{,,,1},因此使U满足U?U?U?U,….如图

543524325132525126.3.1.

第二步,将第一步定义的集族{Ur|r?Q1}中的指标集扩张成实数空间R中的

??p?0有理数Q,具体作法是令Up??这样,易验证开集族{Ur|r?Q}满足：当

?Xp?1p?q时,Up?Up?Uq.

第三步,对x?X,定义Q(x)?{r|x?Ur},即Q(x)由所有包含x的开集Ur的下标构成.则对任意r?Q(x),必有r?0,(这是因为r?0时,Ur=?，因此x?Ur),且对于r?1,必有r?Q(x),(因为r?1时,Ur=X，因此x?Ur),因此Q(x)有下界,从而Q(x)有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：

f(x)?infQ(x)?inf{r|x?Ur}

第四步,验证第三步中定义的映射f就是满足要求的映射.

(1)设x?A,则对r?Q,r?0,均有x?A?Ur,因此Q(x)?{r|r?0},从而f(x)?infQ(x)?0.

设x?B,由定义有U1?X?B,且r?1时,Ur?U1,因此对于任意r?Q,若x?Ur必有Ur?X,因此必有r?1,因此Q(x)?{r|r?1},从而f(x)?infQ(x)?1.

(2) 先证下面两个结论:

(a)x?Ur?f(x)?r, (b)x?Ur?f(x)?r.

如果x?Ur,由集族{Ur|r?Q}定义有对任意s?r,x?Us,因此

Q(x)?{p|x?Up}?{s|s?r},从而

f(x)?infQ(x)?inf{s|s?r}?r

如果x?Ur,则对任意s?r,x?Us,因此Q(x)?{p|x?Up}?{s|s?r},从而

f(x)?infQ(x)?inf{s|s?r}?r

(3) 证明f:X?[0,1]是一个连续映射.

设x0?X,(c,d)是一个含有f(x0)的R中的开区间,我们只需证明存在x0的邻域U使得f(U)?(c,d).为此,取有理数p?(c,f(x0)),q?(f(x0),d).令

U?Uq?Up,(见图6.3.2).

?. ①U是一个开集,这是因为U?Uq?Up=Uq?Up②x0?U,这是因为f(x0)?q,且f(x0)?q,由第三步易见x0?Uq,x0?Up,因此

x0?Uq?Up.

③f(U)?(c,d),这是因为对x?U?Uq?Up,则x?Uq?Uq,

因此f(x)?q,又x?Up,因此x?Up,从而f(x)?p,从而f(x)?[p,q]?(c,d)(见图6.3.2),从而由习题§3.2.1可知f是一个连续映射.

Urysohn引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射f:X?[0,1]使得f(A)?{0},f(B)?{1},也就是说A,B可用一个连续函数分离,回

想一下正则空间的定义6.4.1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:Urysohn引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点x及其中不包含x的闭集F,是否一定存在连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0,f(F)?1.由定理6.4.1我们可取U1?X?F,U0为满足x?V?V?X?F的开集V,这和Urysohn定理的证明是一致的,但要U1(或对于除0,1之外的一个有理数p)满足条件U0?U0?U1?U1?U1,

222只有X的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集F要用连续映射分离,我们有下面的分离公理：

定义6.5.1 设X是一个拓扑空间,如果对于X中任意点x?X和X中任何一个不包含点x的闭集F,存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0,以及对于任意y?F,f(y)?1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.

定理6.3.2 是一个不可数集． 证明 设C是

空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任

空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn

空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定

意选取，x,y∈X,x≠y,对于

引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．

作业:

P168 1．

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