基于LMI的单级倒立摆 鲁棒控制器设计 毕业论文

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毕业论文（设计）任务书

论文（设计）题目：基于LMI的单级倒立摆H?鲁棒控制器设计

学号： XX 姓名： XX 专业： 自动化 指导教师： XX 系主任： XX

一、主要内容及基本要求

倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能提供一个从理论到实践的桥梁。

熟悉单级倒立摆系统的组成、工作原理；分析单级倒立摆的工作原理和非线性数学模型，在MATLAB环境下建立单级倒立摆仿真模型；了解鲁棒控制器和线性矩阵不等式，学会解线性矩阵不等式。利用解线性矩阵不等式设计单级倒立摆的鲁棒控制器；在非脆弱情况下，利用线性矩阵不等式设计单级倒立摆的鲁棒控制器。

二、重点研究的问题

（1）熟悉单级倒立摆系统的组成、工作原理；

（2）熟悉软件MATLAB，并会用simulink仿真，同时学会解线性矩阵不等式等一些常用的控制语句进行编程； （3）分析单级倒立摆非线性数学模型，在MATLAB环境下建立单级倒立摆仿真模型； （4）分析单级倒立摆的鲁棒控制曲线； （5）利用解线性矩阵不等式设计单级倒立摆的H?鲁棒控制器。

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三、进度安排

序号 1 2 3 4 5 6 7 8

各阶段完成的内容 查阅有关资料、熟悉MATLAB软件 开题报告、制订设计方案 仿真模型建立 仿真调试、分析等 写出毕业设计说明书初稿 修改，写出毕业设计说明书第二稿 写出毕业设计说明书正式稿 答辩 完成时间 2011.2.17-2011.3.7 2011.3.7-2011.3.17 2011.3.17-2011.3.27 2011.3.27-2011.4.20 2011.4.20-2011.5.10 2011.5.10-2011.5.20 2011.5.20-2011.6.1 2011年5月 四、应收集的资料及主要参考文献

[1] 申铁龙. H?控制理论与应用[M] . 北京:清华大学出版社,1996 :54 – 61 [2] 俞立． 鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M]．北京：清华大学出版社，2002． [3] 林瑞全，杨富文．基于H。控制理论的非脆弱控制的研究[J]．控制与决策，2004，

19(5)：598-600．

[4] 张志涌，杨祖樱 .MATLAB教程R2010a .北京：北京航空航天大学出版社，2010 [5] 赵广元. MATLAB与控制系统仿真实现. 北京：北京航空航天大学出版社,2009

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目 录

摘 要 ................................................................... IV Abstract ................................................................... II 第一章 引言 ................................................................. 3

1.1倒立摆系统及其研究意义 ...................................... 3 1.2倒立摆控制在国内外的研究现状 ................................ 3 1.3 鲁棒控制理论发展概述 ........................................ 3

第二章 基础知识 ............................................................. 5

2.1鲁棒H?控制理论基础 ......................................... 5 2.2线性矩阵不等式基础 .......................................... 6 2.3 MATLAB简介及基础知识 ....................................... 8

第三章 倒立摆的鲁棒控制器设计 ............................................... 10

3.1问题描述 ................................................... 10 3.2基于LMI 的状态反馈控制器的设计 ............................. 10 3.3仿真及其结果 ............................................... 12

第四章 非脆弱性鲁棒控制器设计 ............................................... 18

4.1问题描述 ................................................... 18 4.2非脆弱鲁棒H? 控制问题的求解 ............................... 19 4.3仿真及其结果 ............................................... 20

参考文献 ................................................................... 28 附 录 ..................................................................... 29

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基于LMI的单级倒立摆H?鲁棒控制器设计

摘 要

倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能提供一个从理论到实践的桥梁。

本文利用线性矩阵不等式方法设计状态反馈H?控制器，给出系统具有H?性能的线性矩阵不等式的条件，并用倒立摆系统实例及其仿真来验证设计方法的有效性和优越性。研究了控制器增益在加法式摄动下的非脆弱鲁棒H? 控制问题，基于线性矩阵不等式(LMI)理论。提出了非脆弱鲁棒

H? 控制器存在的充分条件，将具有控制器增益不确定性的非脆弱鲁棒控制器设计问题，化为具有

线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题求解，得到了一种非脆弱鲁棒H? 状态反馈控制器的简化设计方法。在设计状态反馈控制器时，本文采用求解Riccati方程的方法。因而对广义被控对象来说，评价指标的确定就成为系统设计的关键，本文在理论分析和仿真中对它的实现做了分析，得出了比较合理的参数，保证了设计状态反馈控制器的合理和有效性。

关键词：H?控制；倒立摆；状态反馈；非脆弱控制； 增益摄动； LMI方法

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Abstract

Inverted pendulum is a control system, with the feature of high order，instability，

multi—variable，non-Iinearity and tight coupling．Its stable controlling is a typical example of application to control theory．Inverted pendulum have severe uncertainty，there are two factors：uncertainty of system parameter and disturbance of uncertain factors．The control theory issues not only can be solved through the study of inverted pendulum, but the study can give a bridge between theory and practice．

In this paper，the state feedback H。。controller is designed via linear matrix inequality(LMI)ap—proach，A sufficient condition for the given systems with H?properties is presented in

terms of a certain LMI，an inverted pendulum system and simulation are presented to illustrate the effectiveness and superiority of the de—sign method．Research the controller gain and French perturbation in the fragile robust H? control problem, based on linear matrix inequality (LMI) theory. Puts forward the fragile robust H? controller, the sufficient condition of the existence of the controller gain uncertainty has not fragile robust controller design problem with linear matrix inequality constraints as objective function and the linear convex optimization problem, to be a non fragile robusstate-feedback

H? controller to simplify the design method. In a state feedback controller is designed,

this paper Riccati equation method in solving. Thus the generalized controlled object, it becomes the determine evaluation index system design, this paper the key on the theoretical analysis and the simulation of its realization made analysis, obtained more reasonable parameters and assure the design state feedback controllers are reasonable and effective.

Keywords: H?control; Handstand pendulum; State feedback; The fragile control; Gain

perturbation; LMI method

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不确定性系统的鲁捧控制问题研究提供了强有力的工具，但其基本上局限于鲁棒稳定性分析，对于参数不确定性系统的鲁捧镇定问题，没有什么满意的结果。

c)时域方法

在时域鲁棒性分析中，Lyapunov方法得到了广泛应用。但Lyapunov方法对于常实参数摄动来说，所得结果非常保守；此外，由于Lyapunov方法的充分性，所得结果优劣常常取决于Lyapunov函数的选取，但到底用什么方法来确保所选的Lyapunov函数能够满足要求，或者选取什么样的Lyapunov函数最好，至今为止仍不清楚。近来仿射Lyapunov方法、摄动模式形如A+B?C矩阵组(A,B,C)的稳定半径计算、具有参数不确定性离散系统的鲁棒稳定性分析、时域区间矩阵族的鲁棒稳定性等问题均有一定的突破，但仍有待进一步研究。

对于时域鲁棒镇定问题，不确定性系统的可镇定性及相应的鲁棒镇定控制器设计方法、鲁棒二次镇定、同时镇定等问题都得到了深入的研究取得了一系列研究成果，但还有待进一步的完善和发展。

目前，线性系统的鲁棒控制理论已基本形成，但还有许多问题需要继续研究。随着人类活动空间的不断扩大，被控对象种类的增多，控制装置的复杂化，加上实际工程对控制精度要求的不断提高，使得传统的以线性模型来研究非线性对象的方法已不能满足需要。因而，线性系统的鲁棒控制方法正在向非线性系统扩展，并在相对阶与反馈线性化、最小相位与零输出动态、无源性与稳定性、耗散性与L2增益、Lyapunov函数的递推设计、鲁棒镇定、鲁棒H?控制等方面取得了不少成果。

总之，鲁棒控制理论提出了从根本上解决被控对象模型不确定和外界扰动不确定性问题的有效方法。H?控制理论的研究成果已有很多被编入MATLAB等商业软件中，这就为研究倒立摆系统的H?控制提供了强大的技术支持和开发手段。 2.2线性矩阵不等式基础

一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：

L(x)=L0+x1L1. . .+xNLN<0 2.1

其中：L0,L1,...LN 是给定的对称常数矩阵，x1,...xN是未知变量，称为决策变量， x=[x1,...xN]T∈RN是由决策变量构成的向量，称为决策向量。

尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中,线性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：

L(X1,?,Xn)

其中的L(.)和R(.)是矩阵变量X1,?,Xn的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的Lyapunov矩阵不等式

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ATX+XA<0 2.2

也是一个线性矩阵不等式，其中的是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵

??12?A=?? 为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不

0?2???x等式（2），对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵，X=?1?x2?10??01??00? X= x1 ?+ x + x 23?????

001001?????? 将矩阵A和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得

x2??，不等式（2）中的决x3?策变量是矩阵X中的独立元x1、x2、x3。根据对策性，矩阵变量X可以写成

??22??0?3??00? x1 ?+ x + x 3??2???<0 2.3

?20???34??0?4? 这样就将矩阵不等式（2）写成了线性矩阵不等式的表示式（1）。显然，与Lyapunov矩阵不等式（2）相比，表示式（3）缺少了许多控制中的直观意义。另外，（3）式涉及到的矩阵也比（2）式中的多。如果矩阵A是n阶的，则（3）式中的系数矩阵一般有n(n+1)/2个。因此，这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些原因，LMI工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如，Lyapunov矩阵不等式（2）就以矩阵变量X的不等式来表示，而不是用其一般形式（3）来表示。

一般的，一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式，其中每一个块都是矩阵变量的仿射函数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。

考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：

?ATX? NT?CX?BT?XA??IDTB??D?N<0 ??I?? 其中： A、B、C、D是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n和?∈R是问题的变量。 N称为外因子，块矩阵

?ATX? L(X, ?)=?CX?BT?XA??IDTB??D? ??I??

称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。X 和γ

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是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个1×1维的矩阵。内因子L(X, ?) 是一个对称块矩阵。根据对称性，L(X, ?)可以由对角线及其上方的块矩阵完全确定。 L(X, ?) 中的每一块都是矩阵变量X 和γ的仿射函数。这一函数由常数项和变量项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式，例如L(X, ?)中的B和D；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如XA, ??I等。

一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个线性矩阵不等式。 2.3 MATLAB简介及基础知识

MATLAB(矩阵实验室的简称)是一种专业的计算机程序，用于工程科学的矩阵数学运算。但在以后的几年内，它逐渐发展为一种极其灵活的计算体系，用于解决各种重要的技术问题。Matlab 程序执行matlab 语言，并提供了一个极其广泛的预定义函数库，这样就使得技术工作变得简单高效。在解决工程技术问题方面，MATLAB 比其它任何计算机语言（包括FORTAN 和C）都简单高效。

在70年代中期,Cleve Moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序库.EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序库,LINPACK是解线性方程的程序库.在当时,这两个程序库代表矩阵运算的最高水平.

到70年代后期,身为美国New Mexico大学计算机系系主任的Cleve Moler,在给学生讲授线性代数课程时,想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库,但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序.Cleve Moler给这个接口程序取名为MATLAB,该名为矩阵(matrix)和实验室(labotatory)两个英文单词的前三个字母的组合.在以后的数年里,MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用,并作为面向大众的免费软件广为流传. Matlab 程序执行MATLAB 语言，并提供了一个极其广泛的预定义函数库，这样就使得技术工作变得简单高效。MATLAB 是一个庞大的程序，拥有难以置信的各种丰富的函数；即使基本版本的MATLAB 语言拥有的函数也比其他的工程编程语言要丰富的多。基本的MATLAB 语言已经拥有了超过1000 多个函数，而它的工具包带有更多的函数，由此扩展了它在许多专业领域的能力。 1.1 MATLAB 的优点

MATLAB 语言相对于传统的科技编程语言有诸多的优点。主要包括： 1． 易用性

MATLAB 是种解释型语言，就像各种版本的BASIC。和BASIC 一样，它简单易用程序可用作便笺簿求打在命令行处表达式的值

执行预先写好的大型程序。在MATLAB 集成开发环境下，程序可以方便的编写，修改和调试。这是因为这种语言极易使用，对于教育应用和快速建立新程序的原型，它是

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一个理想的工具。许多的编程工具使得MATLAB 十分简单易用。这些工具包括：一个集成的编译/调试器，在线文件手册，工作台和扩展范例。 2． 平台独立性

MATLAB 支持许多的操作系统，提供了大量的平台独立的措施。在本书编写的时侯， windows 98/2000/NT 和许多版本的UNIX 系统都支持它。在一个平台上编写的程序，在其它平台上一样可以正常运行，在一个平台上编写的数据文件在其它平台上一样可以编译。因此用户可以根据需要把MATLAB 编写的程序移植到新平台。 3． 预定义函数

MATLAB 带有一个极大的预定义函数库，它提供了许多已测试和打包过的基本工程问题的函数。例如，假设你正在编写一个程序，这个程序要求你必须计算与输入有关的统计量。在许多的语言中，你需要写出你所编数组的下标和执行计算所需要的函数，这些函数包括其数学意义，中值，标准误差等。像这样成百上千的函数已经在MATLAB 中编写好，所以让编程变得更加简单。

除了植入MATLAB 基本语言中的大量函数，还有许多专用工具箱，以帮助用户解决在具体领域的复杂问题。例如，用户可以购买标准的工具箱以解决在信号处理，控制系统，通信，图象处理，神经网络和其他许多领域的问题。 4． 机制独立的画图

与其他语言不同，MATLAB 有许多的画图和图象处理命令。当MATLAB 运行时，这些绘图和图片将会出现在这台电脑的图象输出设备中。此功能使得MATLAB 成为一个形象化技术数据的卓越工具。

5． 用户图形界面

MATLAB 允许程序员为他们的程序建立一个交互式的用户图形界面。利用MATLAB 的这种功能，程序员可以设计出相对于无经验的用户可以操作的复杂的数据分析程序。 6． MATLAB 编译器

MATLAB 的灵活性和平台独立性是通过将MATLAB 代码编译成设备独立的P 代码，然后在运行时解释P 代码来实现的。这种方法与微软的VB 相类似。不幸的是，由于MATLAB是解释性语言，而不是编译型语言，产生的程序执行速度慢。当我们遇到执行速度慢的程序时，我们将会指出其这一特性。

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第三章 倒立摆的鲁棒控制器设计

3.1问题描述

如图1 所示的线性不变动态连续系统,其状态空间描述为: x=Ax+B1?+B2u 3.1

? z=C1x+D11?+D12u

y= C2x+D21?+D22u

其中，x∈Rn，?∈Rp，z∈Rr, y∈Rq分别为系统状态向量、控制输入信号、受控输出

?信号、量测输出信号; ?为外部输入信号(包括干扰和测量噪声) ,考虑?不确定但能量有限,则? ∈L2; 系统矩阵A ∈ Rn ×n ,其余矩阵B1 、B2 、C1 、C2 、D11 、D12 、D21 、

D22 为适当维数的系数矩阵。

假设系统的状态可以直接测量, 其目的是设计一个状态反馈控制器

??KX 3.2

使得相应的闭环系统

x= (A+ B2K)x+B1?

? z =（C1+ D12K)x+D11? 3.3

图3.1 系统框图 渐近稳定,且使闭环系统传递函数满足

‖T?z(s)∞‖=‖（C1+ D12K)[sI- (A+ B2K)]-1 B1+ D11‖∞< ? 3.4 3.2基于LMI 的状态反馈控制器的设计

引理(有界实引理) 设一传递函数T(s)的实现为T(s)=D+C(sI—A)-1B，则以下两条件是等价的：

（1） 系统渐近稳定，且‖丁(s)‖∞< ? （2） 存在一个正定对称矩阵X，使

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