09数应-王乐-实验四

数学实验—实验报告4

学院： 数学与计算机学院 专 业： 09数应 姓 名： 王乐 学号：____2009431008______ 实验时间：__ 2012.02.26____ 实验地点： 主楼-501

一、实验项目：种群数量的状态转移 二、实验目的和要求

1、本章将对人口变化介绍微分方程（组）的模型建立、数值解和图形解等方法，并用MATLAB几何直观地展示各种求解方法的求解结果。 2、 利用欧拉公式求解方程

3、 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；

三、实验内容

1：求微分方程的解析解，并画出它们的图形，

y’=y+2x, y(0)=1, 0

2：用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程

y’=y-2x/y, y(0)=1的数值解（0≤x ≤1 , h=0.1） 要求编写程序。

3：Rossler微分方程组

当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65]）而方程解的变化情况，

并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ ?x'??y?z?

?y'?x?ay ?z'?b?z(x?c)?4：水的流出时间

一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小

孔流出的速度为v=(2gh)0.5，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。 时间t→高度h。

5：考虑相互竞争模型

两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种事物来源和生存空间而进行生死存亡竞争时，往往是

竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量

假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistics规律。 符号说明：

? x1(t)，x2(t)是两个种群的数量； ? r1，r2是它们的固有增长率； ? n1，n2是它们的最大容量；

? m2(m1)为种群乙（甲）占据甲（乙）的位置的数量，并且m2=αx2；m1=βx1。

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dx1x?m2?r1x1(1?1)dtn1dx2x?m1?r2x2(1?2)dtn2

（a）设r1=r2=1，n1=n2=100，m1=0.5，m2=2，x10=x20=10，计算x(t)，y(t)，画出图形及相图，并解

释器变化过程。

（b）改变r1，r2，n1，n2，x0，y0，而α， β不变，计算并分析结果；若α=1.5，β=0.7，再分析结果。由此能得到什么结论。

四、实验过程

1.用matlab编程： x=0:1;

y=dsolve('Dy=y+2*x')

y=dsolve('Dy=y+2*x', 'y(0)=1', 'x')

输出：y =-2*x+exp(t)*C1 y =-2*x-2+3*exp(x) 画图：x=0:0.01:1;y =-2*x-2+3*exp(x);plot(x,y)

4.543.532.521.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91

2.

解：（1）解析解法得到其精确解： （2） 向前欧拉法：

y =2x?1

yn?1?yn?h(yn?2xn/yn)

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?(h?1)y hx/yn?2nn （3）改进欧拉法：

yn+1=yn+(h/2))n+(yn*[n(yn-2xn+/1y+1+n?(hh/?2)n*[n?2yn-2x2(x/y)]+h)/(y+h)]

n =y n =y+n(h/n2)-2nxh/y))n*[(nyn)]+(yn2xn /y+h-2(x+h)/(y+h)2 =?(h1+h?)hynn?/h2nx/ny(x+h)/(yMatlab编码

x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1; for k=1:10 x1(k+1)=x1(k)+h;

y1(k+1)=(1+h)*y1(k)-2*h*x1(k)/y1(k);

y2(k+1)=(1+h)*y2(k)+(h*h)/2-h*x1(k)/y2(k)-h*(x1(k)+h)/(y2(k)+h); end x=0:0.1:1; y=(2*x+1).^(1/2);

x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),

plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r--') 运行结果：x1 =

Columns 1 through 9

0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000

Columns 10 through 11

0.9000 1.0000 y =

Columns 1 through 9

1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125

Columns 10 through 11

1.6733 1.7321

第3页 / 共11页

y1 =

Columns 1 through 9

1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498

Columns 10 through 11

1.7178 1.7848 y2 =

Columns 1 through 9

1.0000 1.0959 1.1847 1.2679 1.3468 1.4222 1.4948 1.5653 1.6340

Columns 10 through 11

1.7016 1.7683

1.81.71.61.51.41.31.21.1100.10.20.30.40.50.60.70.80.91通过比较结果，说明改进型的欧拉方法比向前欧拉方法的结果精确。 3. matlab编程

function r=rossler(t,x)

第4页 / 共11页

global a; global b; global c;

r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)]; global a; global b; global c; b=2; c=4; t0=[0,200]; for a=0:0.03:0.65

[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]); subplot(1,2,1);

plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x(红),y(绿),z(蓝)随t的变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); pause end

当a=0时，图像如下：

x(红),y(绿),z(蓝)随t的变化情况0.60.40.80.20.60-0.2-0.4-0.6-0.8-1相图z0.40.2000.5-0.5050100t150200y-1-0.50x

当a=0时（x,y,z）收敛于（0,0.5,0.5） 然后让a增大，得到一系列图：

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x(红),y(绿),z(蓝)随t的变化情况0.60.40.80.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.200-0.5-1050100t150200y0.6相图z0.40.210.50-1.5-0.5x

相图x(红),y(绿),z(蓝)随t的变化情况6465240z32-2105-405-50-10-5x10-6050100t150200y第6页 / 共11页

x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况15相图1015105z500505-5-10050100t150200y-10-50x10-5

由一系列图看出，随着 a 的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快。a 增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌的必要条件。

4. 分析：

在Δt时间段内水面下降失水量等于流出的水量，有-AΔh=BΔs ，（Δs是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离），得到：

?Alim?h?sdhdsdh?B?Blim ?A?B ?2gh ?t?0?t?t?0?tdtdtdtA 2BA2H??解得 h ??H?令h=0，得 t?2gt?2ABg??

Matlab编码：

h=dsolve('Dh=-(B*(2*g*h)^1/2)/A','h(0)=H','t') 得结果：

h =H*exp(-B*g/A*t)

5.（a）

matlab编程：

function l=logistic(t,x) r=[1 1];

n=[100 100]; m=[0.5 2];

l=[r(1)*x(1)*(1-(x(1)+m(2))/n(1));r(2)*x(2)*(1-(x(2)+m(1))/n(2))]; x0=[10 10];

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t0=[0 10];

[t x]=ode45('logistic',t0,x0);

plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b');xlabel('时间');ylabel('种群数量'); title('种群数量与时间的关系');

text(t(16),x(16,1),'\\leftarrow种群一的数量');

text(t(18),x(18,2),'种群二的数\\rightarrow','HorizontalAlignment','right'); pause

plot(x(:,1),x(:,2));xlabel('种群1的数量');ylabel('种群2的数量'); title('相图');

种群数量与时间的关系100908070种群二的数??种群一的数量种群数量605040302010012345时间678910

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相图100908070种群2的数量605040302010102030405060种群1的数量708090100

由上图可知，开始阶段，两个种群的数量都随时间而增长；随着时间的推移，种群数量达到饱和。两者数量基本持平，种群二略占优势。当时间足够长时，两者都将接近环境的最大容量。 （b）改变条件：

（1）改变固有增长率 r1=1,r2=0.5

种群数量与时间的关系100908070?种群一的数量种群数量605040302010种群二的数?012345时间678910

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r1=0.5,r2=1,

种群数量与时间的关系100908070种群二的数?种群数量605040302010?种群一的数量012345时间678910

分析：增长率改变，图形也改变，增长率大的种群有优势，总体趋势不变。 （2）.改变环境容量 n1=100,n2=50

种群数量与时间的关系100908070?种群一的数量种群数量6050种群二的数?40302010012345时间678910

第10页 / 共11页

结果表明改变最大容量，随着时间的推移，两者依旧将趋向于各自的最大容量n1,n2。 （3）改变α、β的值

种群数量与时间的关系100908070种群二的数??种群一的数量种群数量605040302010012345时间678910

种群一占优势。

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