要点重温之集合、逻辑篇

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要点重温之集合、逻辑

1.集合运算中一定要分清代表元的含义。

2x

[举例]已知集合P={y|y=x，x∈R}， Q={y|y＝2，x∈R}求P∩Q。

2

解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）| y=x，x∈R}才表示函数图象），P=[0，+?)，Q=（0，+?)，P∩Q=Q。

[提高]A={x︳y=3x+1,y∈Z},B={y︳y=3x+1,x∈Z},求A∩B。 2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

[举例]若A={x|x0时，集A=（-a，a），要使A∩B=Φ，则a≤2，得0

3.充要条件可利用集合包含思想判定：若A?B，则A是B充分条件；若A?B，则A是B必要条件；若A?B且A?B即A=B，则A是B充要条件。换言之：由A?B则称A是B的充分条件，此时B是A的必要条件；由B?A则称B是A的充分条件，此时A是B的必要条件。有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。 充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”。

[举例] 若非空集合M?N，则“a?M或a?N”是“a?M?N”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 解析：命题“a?M或a?N”等价于“a∈M?N”，显然M?N是M?N的真子集， ∴“a?M或a?N” 是“a?M?N”的必要不充分条件。

[巩固]已知直线m、n和平面?，则m∥n的一个必要但不充分条件是 （ ） （A）m∥?且n∥? （B）m??且n?? （C）m、n与?成等角 （D）m∥?且n??

4.命题“A或B”真当且仅当“A、B中至少要一个真”； 命题“A或B”假当且仅当“A、B全假”。命题“A且B”真当且仅当“A、B全真”；命题“A且B”假当且仅当“A、B中至少要一个假”。“P真”则“非P假”，“P假”则“非P真”；注意：“非P”和“P的否命题”是不同的，“非P”只否定命题的结论，“P的否命题”则是分别否定命题的条件和结论；如P：两直线平行内错角相等，“非P”：两直线平行内错角不相等，“P的否命题”：两直线不平行内错角不相等。

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[举例] 已知p:函数f(x)=lg(ax2-x+

1a)的定义域为R；q:不等式2x?1<1+ax对一切正16实数均成立。若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围是_____________。

?a?01?解析：f(x) 的定义域为R ? ax2-x+a >0对一切实数x恒成立?? 1216??1?a?0?4??a>2，即命题p：a>2； 不等式2x?1<1+ax对一切正实数均成立?a?2x?1?1对

x一切正实数x恒成立，记g(x)?2x?1?1，则a?gmax(x)，令2x?1?t,(t?1)， x22x?1?12(t?1)??1，可见函数g(x)无最大值，它的极大值为1，∴a≥1，即=2t?1t?1x命题q：a≥1；而p或q为真，p且q为假即 p、q一真一假；若p真 q假，则a>2且a<1,

这不可能，舍去；若p假 q真，则a≤2且a≥1即1≤a≤2；

[巩固1]设p:x??1,或x?1，q:x??2或x?1，则?p是?q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

[巩固2]若“?p或?q”是真命题，则---------------------------------------------------------（ ） （A）“p或q”是真命题 （B）“?p且?q”是真命题 （C）“p或q”是假命题 （D）“p且 q”是假命题

简答

2. [巩固]{-1，1，0}，3. [举例]B，[巩固]C， 4. [巩固1]A，[巩固2]D，

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