崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）

高三数学（理科） 2010.5

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。

3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

（1）“关于x的不等式x2 2ax a 0的解集为R”是“0 a 1”

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件[来源:] （2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于

[来源:学.科.网

[来源:学_科_网]

俯视图

正（主）视图

侧（左）视图

(A) 12

(B) 4 （C）

56 （D3 loga(x 1), (x>0),

（3）设函数f(x) 2若f(3) 2，f( 2) 0，则a b

x ax b, (x 0).

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

(A) 1 (B) 0 （C）1 （D）2 （4）把函数y sinx(x R)的图象上所有的点向左平移

个单位长度，再把所得图象上6

所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 （A）y sin(2x （C）y sin(2

x

1

),x R （B）y sin(x ),x R 326

1

),x R （D）y sin(x ),x R 326

（5）已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点，则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛

物线准线的距离之和的最小值为 （A）3 （B9 （C（D）

2（6）若非零向量a,b满足|a b| |b|，则

(A) |2a| |2a b| (B) |2a| |2a b| （C）|2b| |a 2b| （D）|2b| |a 2b|

（7）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之

间的五位数的个数为

（A）120 （B）72 （C）48 （D）36

（8）已知圆的方程x2 y2 25，过M( 4,3)作直线MA,MB与圆交于点A,B，且

MA,MB关于直线y 3对称，则直线AB的斜率等于

（A）

4354

（B） （C） （D） 3445

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）

高三数学（理科） 2010.5

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）函数y

（10）如图，⊙O中的弦AB与直径点P，M为DC⊙O的切线，N为切点，若PB 6，PD 4，MC 6则MN ．（11）甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表

x1,x2,x3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则x1,x2,x3的大小

关系为 ；s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s1,s2,s3的大小关系为 ．

3 x 1 t, 5

（12）若直线l的参数方程为 （t为参数），则直线l的斜率为 ；

4 y t 5

在极坐标系中，直线m的方程为 sin( 离为 ______． （13）给定下列四个命题：

①若

4

)

7 )到直线m的距，则点A(2,42

11

0，则b2 a

2； ab

②已知直线l，平面 , 为不重合的两个平面．若l ，且 ，则l∥ ； ③若 1,a,b,c, 16成等比数列，则b 4；

④若(x 2)5

a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a 1．1x a0，则a1 a2 a3 a4 a5

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

其中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）

x 0,

(n N*)，所表示的平面区域Dn的整点个数为an，则 （14）设不等式组 y 0,

y nx 4n

1

(a2 a4 a2010) ． 2010

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆交于A,B两点．已知A,B的横坐标分别为（Ⅰ）求tan( )的值； （Ⅱ）求2 的值．

（16）（本小题共14分）

正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E

5

1． 2

A1

D1C1

（Ⅰ）求证：B1D 平面D1AC；

（Ⅱ）求异面直线D1O与A1D所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．

[来源:学_科_网]

（17）（本小题共13分）

A

C

某学校高一年级开设了A,B,C,D,E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期

望．

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

（18）(本小题共14分）

设函数f(x) (a 2)ln( x)

1

2ax（a R）． x

（Ⅰ）当a 0时，求f(x)的极值； （Ⅱ）当a 0时，求f(x)的单调区间.

（19）（本小题共14分）

x2y2

已知椭圆2 2 1 a b 0 和圆O：x2 y2 b2，过椭圆上一点P引圆O的两

ab

条切线，切点分别为A,B．

（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得 APB 90 ，求椭圆离心率e的取值范围； （Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

（20）(本小题共13分)

设集合M 1,2,3,4,5,6 ，对于ai,bi M，记ei 集合设为A e1,e2, ,ek ． （Ⅰ）求k的值；

a2ON

2

b2OM

2

为定值．

ai

且ai bi，由所有ei组成的bi

1

（Ⅱ）设集合B e'i|e'i ,ei A ，对任意ei A,e'j B，试求 ei e'j；

eii j

（Ⅲ）设ei A,e'j B，试求ei e'j Z的概率．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）

高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.5

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（9）(0,] （10）（11）x1 x2 x3；s2 s1 s3 （12）

14

4（13）①，③ （14）3018 3三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）

解：（Ⅰ）由已知得：cos

∵ , 为锐角 ∴sin

．

510

1

． 7

∴ tan 2,tan

1

tan tan 3．--------------------6分 ∴tan( )

1 tan tan 1 2 1

7

2

（Ⅱ）∵tan2

2tan 44

[来源:] 2

1 tan 1 43

41

tan2 tan 37 1． ∴tan(2 )

1 tan2 tan 1 ( 4) 1

37

, 为锐角，

∴0 2 ∴2

3 ， 2

3

． -----------12分 4

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

（16）（共14分）

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz．

则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)[来源:学科网ZXXK] B1(2,2,2)，

∴AD1 ( 2,0,2)，AC

( 2,2,0)，B1D ( 2, 2, 2)．

AD1 B1D 4 0 4 0，

AC B1D 4 4 0 0

又AC与AD1交于A点

AD1 B1D，AC B1D

∴B1D 平面D1AC．------------4（Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为 ．

D1(0,0,2)，O(1,1,0)，A1(2,0,2)．

∴A1D ( 2,0, 2)，

DO (1,1,

2)． 1

|A1D D1O| ∴cos ．

|A1D| |D1O|所求异面直线A1D与D1O（Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为 ．

设平面AEC的法向量为n (x,y,z)．

---------------9分 333

E(2,2,)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，AE (0,2,)，EC ( 2,0, )．

222

3 x z n AE 0 4

n EC 0 y 3z

4

令z 1，则x

33

,y 44

33

n ( , ,1)．

44

|n D1O| ． sin |cos n,D1O |

51|n| |D1O|

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

所求平面AEC与直线D1

O（17）（共13分）

．--------------------14分 解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有5 5 5 125（种）．

3

A512

（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：3 ．

525

∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1 （Ⅲ）由题意：X 0,1,2,3．

1213

． 2525

1C3 42484364

P(X 0) 3 ； P(X

1) ； 3

512551253C32 412C31

P(X 2) 3 ； P(X 3) 3 ．

51255125

的分布列为

数学期望EX 0

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）依题意，知f(x)的定义域为( ,0).

当a 0时，f(x) 2ln( x) 令f'(x) 0，解得x

'

64481213 1 2 3 =．---------------- 13分 1251251251255

1 21 (2x 1)'

2 ，f(x) ． 2

xxxx

1. 2

当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

由上表知：当x 故当x

11

时，f'(x) 0；当x 时，f'(x) 0. 22

1

时， f(x)取得极大值为2ln2 2.-------------------5分 2

2

1

a(2x 1)(x )

(a 2)x 1 2axa 21' 2 2a （Ⅱ）f(x) 2

xxxx2

若a 0，令f'(x) 0，解得：x 若a 0，①当 2 a 0时，

令f'(x) 0，解得：

'

11

；令f'(x) 0，解得： x 0. 22

11 2a

11 x ； a2

令f(x) 0，解得：x

11

或 x 0. a2

(2x 1)211'

0 ②当a 2时， ，f(x) 2

2ax

③当a 2时，

11 2a

11 x ； 2a

11

或 x 0. 2a

12

令f'(x) 0，解得：

令f'(x) 0，解得：x

综上，当a 0时，f(x)的增区间为( , )，减区间为( ,0)；

当 2 a 0时，f(x)的增区间为(, )，减区间为( ,)，( ,0)； 当a 2时，f(x)的减区间为( ,0),无增区间；

当a 2时，f(x)的增区间为(

12

1a121a12

1111

,)，减区间为( , )，(,0). 2a2a

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

-------------14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O过椭圆的焦点，圆O：x2 y2 b2，

∴ b c，

∴ b2 a2 c2 c2， ∴ a2 2c2，

∴e

． 2

（ⅱ）由 APB 90

及圆的性质，可得OP

22

∴OP 2b a,

2

，

∴a2 2c2

2∴e

1 e 1． ---------------- 6分 2（Ⅱ）设P x0,y0 ,A x1,y1 ,B x2,y2 ，则

y0 y1x 1

x0 x1y1

整理得x0x y0y x12 y12

x12 y12 b2

∴PA方程为：x1x y1y b2，

PB方程为：x2x y2y b2．

∴x1x y1y x2x y2y， ∴

xy2 y1

0,

x2 x1y0

x0

x x1 ，即 x0x y0y b2． y0

直线AB方程为 y y1

b2b2

令x 0，得ON y ，令y 0，得OM x ，

y0x0

∴

a2ON

2

b2OM

2

22

a2y0 b2x0a2b2a2 4 2，

b4bb

a2

∴为定值，定值是2． ----------------14分 22

bONOM

a2b2

崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(二) 高三数学(理科

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意知，ai,bi M，ai bi，首先考虑M中的二元子集有

2

1,2 , 1,3, , , 5,6 ，共15个，即C6 15个．

又ai bi，满足

aiaj

的二元子集有： bibj

ai1 ， bi2

1,2 , 2,4 , 3,6 ，此时 1,3 , 2,6 ，此时 2,3 , 4,6 ，此时

ai1 ， bi3

ai2

，共7个二元子集． bi3

故集合A中的元素个数k 15 7 3 11．---------------- 4分

（Ⅱ）列举A {,,,,,,,,,, B {2,3,4,5,6,,,,,,

1111122334523456354556

354556223345

11j

i

j

e e'

ii j

j

i 1,j 111

e e' e e'

i

i j 1

11

i 1

j 1

11

ei e'j 11

115896039 11 ．----------8分 22040

（Ⅲ）由（Ⅱ）列举符合题意的有：

131515243546

2， 3， 2， 2， 2， 2， 222233334455

6

． ----------13分 121

共6对．

所求概率为：p

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gxbe.html