2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预测五套卷

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2018年辽宁大学数学分析；高等代数；常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预

测五套卷（一） ....................................................................................................................... 2 2018年辽宁大学数学分析；高等代数；常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预

测五套卷（二） ....................................................................................................................... 9 2018年辽宁大学数学分析；高等代数；常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预

测五套卷（三） ..................................................................................................................... 16 2018年辽宁大学数学分析；高等代数；常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预

测五套卷（四） ..................................................................................................................... 23 2018年辽宁大学数学分析；高等代数；常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预

测五套卷（五） (29)

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试实战预测五套卷（一）

特别说明：

1-本资料为2018复试学员内部使用，终极模拟预测押题，实战检测复试复习效果。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、分析计算题

1． 设是n 维实线性空间V 的线性变换,

证明,至少有一个维数为1或2的不变子空间. 【答案】时显然.当时,如果有实特征值,则有实特征向量取

则W 是的一维不蛮子空间. 如果的特征值都是虚数,设是的一个特征值,而是属于的特征向量.这里

此时,如则为的1维不变子空间 如则线性无关. 事实上,若不然,不妨设 由于

（1） 所以

所以

从而

矛盾. 取

则

又由（1）得

所以W 是

的不变子空间 2． （1）把矩阵表成形式为与的矩阵的乘积； （2）设为一复数矩阵，

，证明:A 可以表成形式为的矩阵的乘积. 【答案】

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令则故

现作如下乘积

.

故

己表成所要求的形式

.

先用所给定的初等变换把A 化成中所述的形状：

先设则

又由

能表成给定类型矩阵的乘积，故A 也能. 若则则

就化成前一种情形，这时A 也能表成给定类型矩阵的乘积.

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3． （1）设

问：（i ）为何值时，A 为可逆阵；

（ii ）为何值时，A 为正交矩阵；

（2）

是n 阶可逆阵，

是A 的伴随矩阵，即

其中

表示A 的元素

的代数余子式

，试证明

是可逆矩阵，

并且

【答案】 （1）

（i ）当时，

，即A 为可逆矩阵 （ii ）当时，A 为正交矩阵.即当时，A 为正交阵. （2） 已知

，所以

.即

是可逆矩阵.关于

的证明.

4． 用正交线性替换化下列二次型为标准形

:

【答案】（1）二次型

的矩阵为

求得正交矩阵

使为对角矩阵

因此,正交线性替换

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把原二次型化为标准形

（2）正交线性替换

标准形

（3）正交线性替换

标准形为

（4）正交线性替换

标准形为

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