2020上海高三数学松江一模

上海市松江区2020届高三一模数学试卷

2019.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合A?{x|x?1?0}，B?{0,1,2}，则AIB? 2. 若角?的终边过点P(4,?3)，则sin(3. 设z?3???)? 21?i?2i，则|z|? 1?i2x4. (x2?)5的展开式中x4的系数为

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上的点P满足 5. 已知椭圆94|PF1|?2|PF2|，则|PF1|?

?mx?4y?m?2无解，则实数m?

x?my?m?rrrrr7. 已知向量a?(1,2)，b?(m,?3)，若向量(a?2b)∥b，则实数m?

6. 若关于x、y的二元一次方程组?8. 已知函数y?f(x)存在反函数y?f?1(x)，若函数y?f(x)?2x的图像经过点(1,6)， 则函数y?f?1(x)?log2x的图像必经过点 9. 在无穷等比数列{an}中，若lim(a1?a2?????an)?n??1， 3则a1的取值范围是 10. 函数y?ax?b的大致图像如图，若函数图像经过 cx?d(0,?1)和(?4,3)两点，且x??1和y?2是其两条渐近

线，则a:b:c:d?

11. 若实数a,b?0，满足abc?a?b?c，a2?b2?1，则实数c的最小值为 12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合

urrurrrruuuurM?{a|a?AiAj(i,j?1,2,3,4,5,6,i?j)}，在M中任取两个元素m、n，则m?n?0

的概率为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知l是平面?的一条斜线，直线m? ?，则（ ）

A. 存在唯一的一条直线m，使得l?m B. 存在无限多条直线m，使得l?m C. 存在唯一的一条直线m，使得l∥m D. 存在无限多条直线m，使得l∥m

14. 设x,y?R，则“x?y?2”是“x、y中至少有一个数大于1”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

15. 已知b,c?R，若|x2?bx?c|?M对任意的x?[0,4]恒成立，则（ ） A. M的最小值为1 B. M的最小值为2 C. M的最小值为4 D. M的最小值为8

16. 已知集合M?{1,2,3,???,10}，集合A?M，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S10，则S10?（ ） A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，圆锥的底面半径OA?2，高PO?6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

（1）求圆锥的侧面积和体积；

（2）求异面直线CD与AB所成角的大小. （结果用反三角函数表示）

18. 已知函数f(x)?23sinxcosx?2sin2x. （1）求f(x)的最大值；

（2）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)?0，b、a、cuuuruuur成等差数列，且AB?AC?2，求边a的长.

19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0、d1、d2、

d3，当车速为v（米/秒），且v?[0,33,3]时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，k?[0.5,0.9]）.

阶段 时间 距离 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 t0 d0?20米 t1?0.8秒 t2?0.2秒 t3 d1 d2 d3?12v米 20k（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式d(v)，并求k?0.9时， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？

20. 设抛物线?:y2?4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m,0)的直线l交?于不同的两点A和B.

（1）若|FA|?3，求点A的坐标；

（2）若m?2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；

（3）若|FA|?|FM|，且直线l1∥l，l1与?有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

21. 已知数列{an}满足：① an?N（n?N*）；② 当n?2k（k?N*）时，an?③ 当n?2k（k?N*）时，an?an?1，记数列{an}的前n项和为Sn. （1）求a1，a3，a9的值；

（2）若Sn?2020，求n的最小值；

（3）求证：S2n?4Sn?n?2的充要条件是a2n?1?1（n?N*）.

n； 2

参考答案

一. 填空题

1. {1,2} 2. ?7. ?4 3. 1 4. 40 5. 4 6. ?2 51123 8. (4,3) 9. (0,)U(,) 10. 2:?1:1:1

33328 5111. ?22 12.

二. 选择题

13. B 14. A 15. B 16. C

三. 解答题

17.（1）侧面积410?，体积8?；（2）arccos18.（1）f(x)?2sin(2x?14或arctan13. 14?6)?1，最大值为1；（2）A??3，a?2.

d20v20v2??1?2?1?3.1秒； 19.（1）d?20?v?，t??vv181820kv2?80，k?0.5时，v?20米/秒，合72千米/小时. （2）d?20?v?20kuuruuur20.（1）(2,?22)；（2）OA?OB??4?0，证明略；（3）最小值2，M(3,0).

21.（1）a1?0，a3?0或1，a9?0或1；（2）115；（3）略. 20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是F(1,0)，准线方程为x??1，

2设A（x1，y1），由|FA|=3及抛物线定义知，x1=2，代入y?4x得y??22 所以A点的坐标A(2,22)或A(2,?22) ………………………4分 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 设直线AB的方程是：x＝my+2， 联立?分

2y12y2(y1y2)2?y1y2?4?8?0， OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2???y1y2?4416故?AOB恒为钝角，

故原点O总在以线段AB为直径的圆的内部． ………………………10分

?x?my?2?y1?y2?4m2

，消去x得：y﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得，………6?2?y1y2??8?y?4x

（3）设A（x1，y1），则x1y1≠0，

因为|FA|＝|FM|，则|m﹣1|＝x1+1，由m＞0得m＝x1+2，故M（x1+2，0）．故直线AB的斜率KAB＝?y1． 2y1x?b，代入抛物线方程 288b6432b22y??0，由题意??2??0，得b??．……………12分 得y?y1y1y1y1y1因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y??设E（xE，yE），则yE??441，xE?2?

y1x1y1S?OAE01?x121x10y1?4y111y14x11???2 ………………………14分

2x1y11当且仅当

y14x122?，即y1?4x1时等号成立， x1y1?y12?4x122由?2 得4x1?4x1，解得x1?1或x1?0（舍），………………15分 ?y1?4x1所以M点的坐标为M(3,0)，(S?OAE)min?2 ………………………16分 21． 解：（1）因a2?1，a1?a2，且a1是自然数，?a1?0； ………………2分

a4?2，0?a3?a4，且a3,a4都是自然数；?a3?0或a3?1；………………3分

a16?8，0?a9?a10??a16?8，且ai?N(i?N*)，?a9?0或a9?1．……4分

k?1（2）a2k?2k?1(k?N?)，当2?n?2k(n,k?N?)时，

0?a2k?1?1?a2k?1?2?a2k?1?3??a2k?2k?1，由于an?N，

,2k?1?1. ………………………6分

所以a2k?1?m?m?1或m，m?1,2,3, ??S64?max?(0?1)?(1?2)?(1?2?3?4)?(1?2? ?(1?2? ?S128?max?714??8)?(1?2??16)

?32)?1?2?34?58?916?1732?33?????714 2222264?65?2794 2 714?202?02，79?64?n?128 ………………………8分 又2020?714?1306，

1?2?3??50?1275?1306?1?2?3??50?51?1326

所以nmin?64?51?115 ………………………10分

（3）必要性：若S2n?4Sn?n?2

则：S2n?1?4S2n?2n?2 ①

S2n?1?2?4S2n?1?(2n?1)?2 ②

①?②得：

a2n?1?1?a2n?1?2?4a2n?1?1(n?N?) ③ ………………………11分

?a2n?1?1?0?a2n?1?1?1?a2n?1?1?0由于?，且a2n?1?0,或1 ,或?,或?a?1a?2a?2?2n?1?2?2n?1?2?2n?1?2只有当a2n?1?1,a2n?1?1?1,a2n?1?2?2同时成立时，等式③才成立

?a2n?1?1(n?N?) ………………………13分

充分性：若a2n?1?1(n?N?)，由于1?a2n?1?a2n?2?a2n?3?所以a2n?k?k(n?N?,k?N?,k?2n)，

即a2n?1?1，a2n?2?2，a2n?3?3，…，a2n?1?1?2n?1，又a2n?1?2n

?所以对任意的n?N，都有a2n?a2n?1?1…（I） ………………………14分

?a2n?1?2n

另一方面，由a2n?k?k，a2n?1?2k?2k(n?N?,k?N?,k?2n)

?所以对任意的n?N，都有a2n?2an…（II） ………………………15分

?S2n?a1?a2??a2n?(a1?a3??a2n?1)?(a2?a4??a2n)

?2(a2?a4?

?a2n)?n?2a2?4(a2?a3??an)?n

由于a1?0,a2?1?S2n?4(a1?a2??an)?n?2?4Sn?n?2 证毕. ………18分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gx2a.html