平面向量作业

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是。

????????????5、已知|AB|=1，|AC|=2，若∠BAC=60°，则|BC|= 。

????????????????6、在四边形ABCD中, AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD是。

????7、设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：KL

?????=NM。

8、某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点。

????????????????(1)作出向量AB、BC、CD (1 cm表示200 m)。 (2)求DA的模。

9、如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D}，求集合Q∈M,且P、Q不重合}。

第9题图

????T={PQ、

向量的加法

1、下列四式不能化简为AD的是（） A、（AB+CD）+BC B、（AD+MB）+（BC+CM） C、MB+AD?BM D、OC?OA+CD

2、M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）

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A、AM+MB+BC B、3AM+AC C、AB+BC+AC D、AM+ BM+CM 3、在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于（） A、BC B、DA C、AB D、AC 4、下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是

① |a|－|b|<|a+b|<|a|+|b|； ② |a|－|b|=|a+b|=|a|+|b|； ③ |a|－|b|=|a+b|<|a|+|b|； ④ |a|－|b|<|a+b|=|a|+|b|。 A、0 B、1 C、2 D、3

5、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角

60?，|F|=10N，求F1和F2的大小。

6、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 7、如图,是半个象棋盘，马从Ａ跳到Ｂ，如果不是从原路跳回，最步可跳回Ａ处？如果不限步数，从Ａ经Ｂ再跳回Ａ，所走步数有特点？

向量的减法

1、在△ABC中, ???BC?=a?, ???CA?=b?,则???AB?等于( )

A、a?+b? B、-a?+(-b?) C、a?-b? D、b?-a? 2、O为平行四边形ABCD平面上的点,设???OA?=a?, ???OB?=b?, ???OC?=c?, ???OD? =d?,则

A、a?+b?+c?+d?=0 B、a?-b?+c?-d?=0 C、a?+b?-c?-d?=0 D、a?-b?-c?+d?=0

3、在下列各题中,正确的命题个数为( )

(1)若向量a?与b?方向相反,且|a?|＞|b?|,则a?+b?与a?方向相同 (2)若向量a?与b?方向相反,且|a?|＞|b?|,则a?-b?与a?+b?方向相同 (3)若向量a?与b?方向相同,且|a?|＜|b?|,则a?-b?与a?方向相反 (4)若向量a?与b?方向相同,且|a?|＜|b?|,则a?-b?与a?+b?方向相反

A、1 B、2 C、3 D、4 4、如图，在四边形ABCD中,根据图示填空：

a?+b?= ,b?+c?= ,c?- d?= ,a?+b?+c?- d?= 。

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是

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5、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为。

????????6、若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为。

????????????????????????????7、在五边形ABCDE中,设AB=a, AE=b, BC=c, ED=d，用a、b、c、d表示CD。

8、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，

确定a、

????????????????cab、、d的方向（用箭头表示）,使+b=AB,c-d=DC,并画??a+d.

??出b-c和

??????????9、已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a, BC=b, ???????试证明:c+a-b=OB.

实数与向量的积

1、下面给出四个命题：

?????OD=c,

① 对于实数m和向量a、b恒有：ma?b?ma?mb；②对于实数m,n和向量a,恒有：③若ma?mb(m∈R)，则有：a?b；④若ma?na(m、n∈R，a?0)，则m=n．其?m?n?a?ma?na；

中正确命题的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

2、设e1和e2为两个不共线向量，则a=2e1－e2与b=e1+λe2（λ∈R）共线的充要条件是 A、λ=0 B、λ=－1 C、λ=－2 D、λ=－3、下列各式或命题中：

① AB?AC?BC ② AB?BA?0 ③ 0?AB?0 ④若两个非零向量a、b 满足 a?kb (k≠0)，则a、b同向．正确的个数为 A、0 B、1 C、2 D、3 4、点G是△ABC的重心，D是AB的中点，则GA+GB?GC等于 A、4GD B、－4GD C、6GD D、－6GD 5、在矩形ABCD中，O为AC中点，若 BC=3a, DC=2b, 则AO等于 A、

?????????????1 211(3a+2b) B、 (3a－2b) 22C、

11 (2b－3a) D、 (3b+2a) 226、若向量方程2x－3(x－2a)=0，则向量x

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A、

66a B、－6a C、6a D、－a 557、已知向量a?2i?3j，b?5i?j，则4a－3b=_____________．

8、在△ABC中，D是BC的中点，AB= a，AC=b，则AD =______ ___． 9、在

ABCD中，AC= a，BD=b，则AB =_____ __，AD =______ ___．

和AB

则

????

???

10、梯形ABCD，AB∥CD，且|AB|?2|CD|，M、N分别是 DC 的中点，如图，若AB=a,AD=b，用a，b表示 BC和MN，

BC= ；MN? ．

11、若

ABCD的中心为O，P为该平面上一点，PO?a，那么PA?PB?PC?PD? ．

12、设a、b为二不共线向量，如果ka+b与a+kb共线，那么k= ． 13、已知M、N是线段AB的三等分点，对平面上任一点O，用OA,OB来表示OM,ON，

OM? ；ON? 。

14、如图所示，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点， F为BC的中点，求证：AB?DC?2EF．

15、ΔABC中，AB=a，AC=b，点D、E分别在线段AB、AC上，AD：DB=AE：EC，证明：DE与BC平行．

16、如图，BN=

DCNABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且 AM1BD，求证：M、N、C三点共线． 3B??????????17、如图，在△ABC中，AB=a, BC=b ，AD为边BC的中线， ????的重心，求向量AG。

Ea GA FC

G为△ABC

?D b

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实数与向量的积

??1、下面向量a、b共线的有（）

??????????(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2

??2???1?????????(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线)

510A、(2)(3) B、(2)(3)(4) C、(1)(3)(4) D、 (1)(2)(3)(4)

????????????????????2、设一直线上三点A、B、P满足AP=λPB(λ≠±1),O是空间一点,则OP用OA 、OB表示式为（）

????????????????????????A、OP=OA+λOB B、OP=λOA+(1-λ) OB

????????????1?????????OA??OB1???OB C、OP= D、OP?OA??1??1????????????????3、若a、b是不共线的两向量,且AB=λ1a+b, AC=a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条

件为（）A、λ1=λ2=-1 B、λ1=λ2=1 C、λ1λ2+1=0 D、λ1λ2-1=0

????????????4、若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是。

??????????5、已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ= 。

????????????????????????6、设平面内有四边形ABCD和点O, OA=a, OB=b, OC=c, OD =d,a+c=b+d,则四边形ABCD

的形状是。

????????????????????7、设OA、OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且OP=(1-t) OA+tOB(t∈R),求证A、B、P三点

共线。

????8、当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件。

???????????9、已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线，向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ，

????使d=λa+μb与c共线?

平面向量的坐标运算

1、下列四组坐标中哪一组能构成平行四边形的四个顶点（）

A．（1，2）（2，3）（3，4）（4，5） B.（1，2）（-2，3）（-5，4）（4，1） C．（0，0）（1，1）（2，2）（3，0） D.（0，0）（1，1）（-1，-1）（1，-1）

2、已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（0，0），B（1，1），C（-1，1），D（0，2），此四边形为（）A．平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3、已知向量AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3),则AD等于 (A) (4－x,y－2) (B)(4+x,y－2)

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(C)(－4－x,－y+2) (D)(4+x,y+2)

4、点M（4，3）关于点N（5，－3）的对称点L的坐标是。

5、已知AB??1,1?，且B点坐标为（-2，1），则A点坐标为。 6、已知A（1，0），B（-2，1），且AC?3AB,AD??1AB，则C、D两点的坐标分别2为，。

7、已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求顶点D及中心O的坐标。

8、已知三个力F1（3，4），F2（2，－5），F3（x,y）的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标 9、已知点O（0，0），A，（1，2），B（4，5）及OP?OA?tAB，求

（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

平面向量的坐标运算

????1、若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（）

 A、x１x２－ｙ１ｙ２＝０ B、ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０ C、ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ D、ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０

??3??12、设a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（）

23A、30° B、60° C、45° D、75°

?3、设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（） A、(k,k) B、(-k,-k)

２２２２

C、(k＋１，ｋ＋１) D、（ｋ－１，ｋ－１） 4、若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= ??????5、已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ ??6、若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= ?1?3??7、设a?(,sin?)，b?(cos?,)，且a//b，则锐角?为（）

23A 30 B 60 C 75 D 45

0000??????8、向量a?(2,3)，b?(?1,2)，若ma?b与a?2b平行，则m等于（）

A ?2 B 2 C

11 D ?

22??????9、已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行?

10、试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和

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线段的定比分点

????1、已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（）

????????1A、点C分AB的比是-B、点C分BA的比是-3

3????????2C、点C分AC的比是-D、点A分CB的比是2

3?????72、已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－，ｙ）分有向线段PP12 所成的比为λ，则λ、

31111ｙ的值为（）A、－，８ B、，－８ C、－，－８  D、４，

44483、△ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标

是（）A、(2，-7) B、(-7，2) C、(-3，-5) D、(-5，-3) 4、已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 。

5、△ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为。

????16、已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ，则M分AB所成的比为。

8?????7、已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分PP12所成的比λ。

?????288、过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数y?x?的图象交于点P，求P分PP12所成的

55比值。

9、已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为 M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标。

10、已知点A（－1，－4），B（5，2），线段AB上的三等分点依次为P1，P2，求P1，P2的坐标以及A，B

? 分P1P2所成的比

11、已知三点A（0，8），B（－4，0），C（5，－3），D点内分AB的比为1：3，E在BC上，且使△BDE

的面积是△ABC面积的一半，求E点的坐标。

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平面向量的数量积及运算律

1、判断下列各题正确与否：

?????1?若a = 0，则对任一向量b，有a?b = 0 ( )

?????2?若a ? 0，则对任一非零向量b，有a?b ? 0 ( )

??????3?若a ? 0，a?b = 0，则b =0 ( )

????4?若a?b = 0，则a 、b至少有一个为零 ( )

????????5?若a ? 0，a?b = a?c，则b = c ( )

????????6?若a?b = a?c，则b = c当且仅当a ? 0时成立 ( )

?????????7?对任意向量a、b、c，有(a?b)?c ? a?(b?c) ( )

???8?对任意向量a，有a2 = |a|2 ( )

2、在四边形ABCD中，AB?a,BC?b,CD?c,DA?d,且a?b?b?c?c?d?d?a，问该四边形ABCD是什么图形？

3、已知向量a、b、c满足a+b+c=0，（1）若a、b、c均为单位向量；（2）若别求出a?b?b?c?c?a的值。 4、已知向量a与b的夹角为

a?3,b?4,c?1,试分

?，且a?2,b?4，求a?2b?a?b。 3平面向量的数量积及运算律

???????????1、已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）

A、60° B、30° C、135° D、４５°

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????????2、已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m＝a-4b的模为（）

3A、2 B、23 C、6 D、12

????????3、已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

?????????4、已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= 。

3??????????5、已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么

??a·b= 。

????????6、已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,| c|=3,

???２

则(a+2b-c)＝______。

??????????b;(2)若a、b的夹角为６０°7、已知|a|=1,|b|=2,(1)若a∥b,求a·，求|a+b|；

?????(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角。

????????8、设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角。

平面向量数量积的坐标表示

一、选择题

1、若a=（-3，4），b=（5，12），则a与b夹角的余弦为（）

A．

63 65 B．

33 65

C．?33 65

D．?63 652、已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与2a-b垂直，则x等于（）

A．2

B．

7 2 C．-2 D．

7或-2 23、已知a=（-1，1），b=（2，y），且2a+2b与a-2b平行，则y等于（）

A．2

B．-2

C．

1 2

D．?1 24、给定两个向量a=（3，4），b=（2，1），且a?xb?a?b，则x等于（）

A．3

B．

????D．?3 2 C．-3

3 2二、填空题

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1、已知a?2,b??23,2，若a?b，则a= ． 2、向量a????3?1,3?1在与a成45?角的单位向量上的投影为．

?3、已知a???,2?,b???2,5?，且a与b的夹角是钝角，则?的取值范围是． 4、在?ABC中，AB??2,3?,AC??1,k?，且角B为直角，则k的值为． 5、正方形OABC的边长为a，D、E分别为AB、BC中点，则∠DOE的余弦值为． 6、已知A（7，5），B（2，3），C（6，-7），那么?ABC的形状为．

三、解答题

1、已知a=（-1，2），b=（3，-1），求满足条件c?a?4,c?b?3的向量c．

2、已知?ABC的三顶点分别为A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和AD的坐标．

3、已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.

4、正方形ABCD中，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形，证明：（1）PA=EF；（2）PA?EF．

平移

一、选择题

1、将点A?0,m?按向量a平移后，得点A'?m,0?，则向量a等于（） A．??m,m? B．??m,?m? C．?m,?m? D．?m,m?

2、已知A（5，7），B（2，3），将AB按a=（4，1）平移后的坐标为（）

A．（－3，－4） B．（－4，－3） C．（1，－3）

D．（－3，1）

???????3、将函数y?2sin?x?? 的图像按向量a??,1? 平移后得到的函数为（）