基于矩量法的飞行器天线表面电流及RCS特性分析

学校代码： 11059 学 号：0805070023

Hefei University

毕业论文（设计）

BACHELOR DISSERTATION

论文题目： 基于矩量法的飞行器天线表面电流及

RCS的特性分析（方柱部分）

学位类别： 工学学士学位 学科专业： 通信工程 作者姓名： 戴伟 导师姓名： 李翠花 完成时间： 2012.05.7

基于MOM的导体圆柱表面电流及RCS的特性分析

中文摘要

在电子战与信息战飞速发展的今天，雷达散射截面(RCS)已成为雷达及雷达对抗，特别是“隐身与反隐身技术对抗”的重要研究内容。目标的电磁散射特性研究和隐身飞行器的外形优化设计，迫切需要准确高效的散射电磁场数值模拟，以预测其宽频带范围RCS。

比如，发展宽带雷达和超宽带雷达可以获得目标更多、更丰富的信息，而目标的雷达散射截面会因入射波频率以及入射波角度的改变而改变，所以研究目标的宽频带和宽角度电磁散射具有十分重要的意义。

论文介绍了解析法和矩量法的基本概念，对二维导体圆柱的表面电流及雷达散射截面（RCS）的特性进行了分析，对TE波在解析法和矩量法中的散射问题进行讨论。

解析法中，对于TE波，可以分别计算出入射场和散射场的值。再由微分散射定义可以很方便的求出总散射宽度，而表面电流可通过总场求得。对于二维导体，在导体表面，其表面电场等于零。可进一步根据电场和磁场的关系，经过运算和推导，得出结果。最后在对公式进行编程，形成图形。

矩量法中，当TE波照射，二维导体柱将产生表面电流和散射场，通过脉冲基函数和点匹配法形成矩阵方程，求得电流密度分布，通过电流密度分布可求出雷达散射截面，再进行编程计算得出图形。

关键词：矩量法；解析法；导体圆柱；表面电流；TE

I

The conductor cylindrical surface based on MOM characteristics of

RCS current and analyzed

ABSTRACT

With the development of the electronic and information war, the test of radar cross section (RCS) becomes an important part of \stealth and anti-stealth\optimization of aircraft configuration require accurate and efficient numerical simulation of electromagnetic scattering field to predicate the large range of RCS. For instance ,more information of objects can be obtained from developing the wide-band radar and ultra wide-band radar. The Radar Cross Section would change with the increasing of frequency and altering of angle. So it is important to study the wide-band electromagnetic scattering characteristics of the objects.

In this article, the analytic method and the method of moments are introduced in the thesis, an analysis of in two-dimensional surface currents and RCS. Respectively TE wave in the analytical method and the method of moments in the scattering of issues were discussed.

The analytic method, the TE-wave, can be calculated in respect of market access to radio and scattering values. Scattering by the differential in the definition can be easily calculated the total width of scattering, and surface currents can be obtained through the field. For two-dimensional conductor, conductor surface, the surface of the electric field is equal to zero. According to the electric field and the magnetic field of relations, after computing and deduced that can be derived. In the final formula for programming, graphic form.

In the method of moments, when TE-wave radiation, will produce two-dimensional surface-conductor current and scattering through the pulse-point match function and a matrix of equations to obtain the current density distribution, through the current density distribution can be derived radar RCS, calculated in programming graphics.

Keywords: Method of Moments; analytical method;Conductor cylindrical; Surface current;TE

II

目 录

第一章 绪 论 ............................................................... 1

1.1研究背景 ........................................................................................................................................ 1 1.2国内外研究现状 ............................................................................................................................ 1

第二章 软件环境 ............................................................. 3

2.1基本功能 ........................................................................................................................................ 3 2.2应用 ................................................................................................................................................ 3 2.3发展历程 ........................................................................................................................................ 4 2.4优势 ................................................................................................................................................ 4

第三章 雷达散射截面 ......................................................... 5

3.1雷达散射截面的定义 .................................................................................................................... 5 3.2雷达散射截面的特征 .................................................................................................................... 6 3.3雷达散射截面的分类 .................................................................................................................... 7 3.3.1瑞利散射 ................................................................................................................................. 8 3.3.2谐振散射 ................................................................................................................................. 9 3.3.3高频散射 ................................................................................................................................. 9

第四章 电磁场基本理论 ...................................................... 11

4.1解析法及其相关理论 .................................................................................................................. 11 4.1.1 麦克斯韦方程 ...................................................................................................................... 11 4.1.2 解析法 .................................................................................................................................. 12 4.2矩量法及其相关理论 .................................................................................................................. 14 4.2.1矩量法基本原理 ................................................................................................................... 14 4.2.2基函数与权函数的选取 ....................................................................................................... 16 4.2.3脉冲基、点匹配法 ............................................................................................................... 17 4.2.4横电场 ................................................................................................................................... 17

第五章 二维导体方柱电流分布及RCS .......................................... 19

5.1解析法 .......................................................................................................................................... 19 5.1.1解析法 ................................................................................................................................... 19 5.1.2解析法计算 ........................................................................................................................... 19 5.2矩量法计算 .................................................................................................................................. 21

第六章 软件实现 ............................................................ 23

6.1软件流程 ...................................................................................................................................... 23 6.2编程实现 ...................................................................................................................................... 23 6.3结果分析 ...................................................................................................................................... 26

参考文献.................................................................... 27 致 谢 ..................................................................... 29 附 录 ..................................................................... 30

III

第一章 绪 论

1.1研究背景

军用飞机的隐身性能是其生存力的一个重要指标，外形隐身以及隐身材料的应用时飞机隐身的重要措施。然而，单独应用外形隐身技术和隐身材料不能同时兼顾飞机的飞行性能和周围环境对其的影响，因此采用两者结合的隐身结构便成为解决这个问题的另一种重要途径。自1873年麦克斯韦（Maxwell）建立电磁场基本方程并预言电磁波的存在以来，电磁波得应用已深入到通信、探测、成像等各个领域。作为一种无线探测和测距的工具，雷达（Radio Deyection And Ranging,RADAR）是电磁波在军事工程领域的典型应用[1]。

隐身结构是一种结合隐形飞机的复杂曲面形状和部位，由非金属结构材料与吸波材料、透波材料及其他材料共同构成的承载复合吸波结构。这样就可以使减小飞行器电磁散射的手段扩展到整个机体，在满足外形和结构要求的前提下扩大了隐身材料的应用范围。

现在，隐身结构已应用于飞机的复合材料机翼（尾翼）前缘、翼尖等雷达强反射部位。由于这些部位内部通常都有一定的空间，因此通过优选这些部位内部的结构几何形状以及填充材料的电磁参数，并得到最大限度的消耗。研究结果表明，隐身结构可以大大缩减飞机机翼的雷达散射截面（RCS），具有良好的雷达隐身效果。

1.2国内外研究现状

近年来国内也开始了复杂目标RCS以及复杂环境预估软件的开发，并取得了一些成果。但是在理论研究的深度，系统性，实验手段诸方面，与国际先进水平相比，都还存在着较大差距。RCS预估软件的发展表明，科学计算可视化技术已经将电磁场数值计算推到了一个新阶段，现在已经向真实的电磁三维仿真方向走了很大的一步[2]，相信计算机仿真取代暗室测量的时代不会很久远。

在雷达系统设计中包括空中预警机，远程战场侦查雷达，机载火控雷达和精密制导系统的系统设计和信噪比，都要以RCS的研究为基础。甚至购买国外雷达系统时指定验收标准也必须考虑到目标RCS这一基本共性目标。因此，雷达目标特性研究是武器系统设计和权威评价的基础。

1

各种军用目标在战场上的隐身技术及探测敌方目标的反隐身技术都离不开军用目标RCS分析，单纯用实验方法研究和评估军用目标RCS是不够的。因为我们得不到敌军的军机和导弹，也无从用其进行RCS测试。另外，军用目标RCS测试受测试条件，环境，目标姿态及定位精度等的影响很大，致使测试成本极高，测量误差较大，重复性也不够理想。因此，目标RCS的理论建模和数值分析就成为方便、高效、精确的重要研究工具闸。以减缩目标雷达散射截面为目的的隐身技术主要包括如下四种基本方法,即外形隐身技术、雷达吸波材料隐身技术、无源对消技术和有源对消技术。每种方法各有其优缺点，其中前两种方法是目前最为有效的也是使用最多的方法。外形隐身的目的是修改目标的表面和边缘，使其强散射方向偏离雷达的探测方向，但是雷达散射截面在一个观察角获得减缩时往往伴随着在其它观察角上的增加。外形隐身就是将高RCS的区域移至威胁相对较小的空域中。吸波材料隐身是通过在坛行器表面涂敷雷达吸波材料来减小RCS。但是这种隐身技术往往会导致飞行器体积、重量的增加。美国的F-117型战斗轰炸机即是外形、雷达吸波材料隐身技术成功应用的一个实例，实际生产的F-117型战斗机，其雷达散射截面在雷达屏上只相当于一只小鸟的RCS值。针对隐身武器的出现，反隐身技术的研究越来越引起人们的关注。

2

第二章 软件环境

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分[3]。

2.1基本功能

MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交

互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连 接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

2.2应用

MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作[4]： ● 数值分析 ● 数值和符号计算 ● 工程与科学绘图

3

● 控制系统的设计与仿真 ● 数字图像处理 技术 ● 数字信号处理 技术 ● 通讯系统设计与仿真 ● 财务与金融工程

MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题

2.3发展历程

20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件[5]。

2.4优势

? 友好的工作平台编程环境； ? 简单易用的程序语言；

? 强大的科学计算机数据处理能力； ? 出色的图形处理功能； ? 应用广泛的模块集合工具箱； ? 实用的程序接口和发布平台； ? 应用软件开发（包括用户界面）。

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第三章 雷达散射截面

3.1雷达散射截面的定义

电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。目标识别与成像、隐身与反隐身、遥测遥感、地下目标探测等无不与电磁散射有密切的联系，因此这项研究无论是在军事上还是在民用上都有着较为深远的意义[6]。在通信方面，利用电离层、对流层进行散射通信；在遥感方面，利用电离层、对流层进行散射通信；在遥感方面，需要了解地面植被和海浪波动的随机散射情况，此外地下勘探、干扰和抗干扰等问题都属于散射问题。在军用方面，最明显的例子是雷达利用散射回波来进行搜索与跟踪，现在还可以利用散射回波来识别目标。随着航空、航天技术的发展，雷达技术的进步以及现代战争和国民经济发展的需要，研究目标的电磁散射特性显得越来越重要。

当物体被电磁波照射时，能量将向各个方向散射。散射场与入射场之和构成空间的总场。能量的空间分布依赖于物体的形状、大小、结构以及入射波的频率与特性。能量的这种分布称为散射，可用散射截面来表征，它是物体的一个假想面积。产生电磁散射的物体通常称为目标或散射体。

雷达散射截面（radar cross section缩写RCS）是雷达隐身技术中较为关键的一个概念[7]，它表征目标散射强弱的一种物理量，称为目标对雷达入射波的有效散射面积。RCS定义为：目标在单位立体角内向接收机处散射功率密度与入射波在目标上的功率密度之比的4?倍。

目标电磁散射特性中最重要的是幅度特性，通常用雷达散射截面（RCS）来描述。雷达目标散射的能量可以表示为一个有效面积与入射雷达波功率密度的乘积，这个有效截面积就称为雷达散射截面或雷达截面，用符号?表示，三维?的定义为：

EEsi2??lim4?R2R???lim4?R2R??HHsi2 （3-1）

其中，?的单位为

m2ssiiE和HEH，和分别是入射波电场和磁场;分别是散射

波电场和磁场;R为目标到天线的距离。

散射波功率密度，即单位面积上的散射波功率，表示了散射波在半径为R

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的整个球面上的总散射功率。这里人为地假定了目标在各个方向有相同的散射波强度，且等于在雷达方向的散射强度。由此可见目标雷达截面的意义是:当目标各向同性散射时总散射功率与单位面积入射波功率之比。这个比值具有面积的量纲(m)它的大小表示目标截获了多大面积的入射波功率，并将它均匀散射到各方向而产生了大小为Es、Hs的散射场。中的极限R意味着目标处的入射波和雷达处的散射波都具有平面波的性质，因而消除了距离R对雷达截面的影响。

公式中的R为目标和雷达之间的距离，Es和Hs分别为接受天线处散射波的电场强度和磁场强度。二维情况下的定义如下：

2Es2??lim2?RR??Ei?lim2?RR??HHsi2 （3-2）

此时的?的单位为m。

3.2雷达散射截面的特征 RCS是下列因素的函数：

（1）目标结构，即目标的形状、尺寸和材料的电参数（?' ，?\，?'和?\）； （2）入射波的频率和波形；

（3）入射场和接收天线的极化方式； （4）目标相对于入射和散射方向的姿态角。 因次，?通常可表示为

???ij(?,?) （3-3）

式中，i,j表示入射场和接收天线的极化方向，(?,?)表示球坐标下的视角。

物体的雷达截面也是入射波形的函数。对于脉冲雷达，当脉宽?足够大，即

??2Lc（L是物体尺寸，c是光速），可认为整个目标被同时照射，这种情况大致等效于目标被某个频率f的连续波照射的情况，称为“长脉冲”照射。当用极短的脉冲（??2Lc）照射一个目标时，目标上每个散射部分可能是相互独立地

6

对回波产生影响，这种脉冲雷达常用于诊断和识别复杂目标散射中心的RCS成像系统。

3.3雷达散射截面的分类

RCS的分类方法有多种。例如，按场区来分，有远场RCS与近场RCS，后者是距离的函数；按入射波频谱来分，有点频RCS与宽带RCS；按雷达站接收、发射位置来分，有单站RCS、准单站RCS和双站RCS。如图1所示，在目标坐标系

????s时，中，以?i，i代表入射波方向，?s，?s代表散射接收方向，当?i??s，i称其为单站（也称单基地）散射；如果收、发不是同一天线，但相互很靠近，如

?i??s与

?i??s05均在以内，则称为准单站散射；当收、发分得很开时，称为

双站（即双基地）散射，也称非后向散射，发射入射波与接收散射波之间在目标坐标系中的交角称为双站角?（双基地角）。

图 1 双站RCS表示

波长对目标RCS值的影响很大，因此下面重点叙述按波长对RCS分类的方法。 引入一个表征由波长归一化的目标特征尺寸大小的参数，称为ka值，即

a

ka?2?? （3-4）

式中k?2???2?fc称为波数，a是目标的特征尺寸，通常取目标垂直于

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雷达视线横截面中的最大尺寸的一半。如对球目标，则取球半径为a；对锥体与柱目标，则取底部或柱截面半径为a。目标的电磁散射特性与入射波的频率和目标尺寸有着密切的关系，同一目标对于不同的雷达频率呈现出不同的散射特性，因次可以根据ka分为三种不同的散射方式：瑞利散射、谐振散射和高频散射[8]。 3.3.1瑞利散射

瑞利散射的特点是工作波长大于目标特征波长，一般取ka?0.5的范围。 在这个区域，入射平面波沿散射体的相位变化很小，因而目标上的感应电流的幅度和相位近似为常量。这时目标的外形变化并不重要，例如，小球和小的立方体基本上都是各向同性（与方向无关）的散射模式。这个区域也叫瑞利区。

在低频情况下，可假定入射波沿散射体基本上没有相位变化；在每一给定时刻，散射体各部分可“看见相同的入射场”。除入射场随时间变化缓慢这一点外，这种情况可以等效于静场问题。对于线极化，入射场的矢量方向不随时间变化；对于圆极化或椭圆极化，可将入射场分解为两个正交的线极化分量，它们之间有一定的相位差。

由于瑞利问题基本上是一个静场问题，故可借助于任何静场分析方法严格求解散射场，其中包括积分方程法（解泊松方程）以及偶极子或多极子展开法等。对于低频散射而言，整个物体都参与了散射过程，因此其形状的细节并不重要，只需要一种基本的或粗略的几何描述，而散射体的体积这时才是最重要的。在这个区域内，RCS一般与波长的4次方成反比。对于旋转物体的RCS，当沿旋转轴方向观测的一般方程式为

??

?exp(?y)?k2V2?1???y??? （3-5） 4式（3-5）中，k?2??为波数；V为目标的体积；y为形状指数，等于一个系数乘上目标的长宽比。

目标长度与传播方向目标最大尺寸相联系，其宽度与传播方向目标最大尺寸有关。

对于绝大多数实际应用问题来说，波长通常小于物体尺寸，所以瑞利散射并不太重要。

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3.3.2谐振散射

谐振区的ka值一般在0.5?ka?20范围。在这个区域，沿目标长度上入射场的相位变化就很显著，就像在静场情况下一样，散射体的每一部分都会影响到其它部分。散射体上每一点的场都是入射场和该物体上其余点引起的散射场的叠加，散射体各部分之间的相互影响的总效果决定了最终的电流密度的分布。因此，即使小尺寸的细节不那么重要，总的几何形状也是重要的。

对于这种散射方式，通常采用一些低频数值方法对斯特拉顿一朱兰成积分方程或微分形式的Maxwell方程进行求解，得到感应电流，从而获得散射场解。

矩量法(Method of Moment)是一种积分方程法，其基本思想就是将连续方程离散化成代数方程组，而代数方程组对应着一个矩阵方程，通过求解矩阵方程可以得到我们感兴趣的感应电流。大多数的矩量法公式要求把物体离散化，因而和用在力学和结构工程中的有限元法(Finite Element Methods)是一致的[9]，两者都经常被用在电小尺寸目标的RCS计算中。

有限差分法(Finite Difference Methods)是以差分原理为基础的一种数值计算法，它用各离散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数，把需要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程问题。然后，根据差分方程组(代数方程组)，解出位于各离散点上的待求函数值，便得到所求边值问题的数值解。有限差分法是把电磁场连续场域内的问题变换为离散系统的问题来求解，也就是说，通过网格状离散化模型上各离散点(节点)的数值解来逼近连续场域内的真实解，FD方法分为时域有限差分(FD-TD)和频域有限差分(FD-FD)。

上述数值解法从理论上说是严格的，因为没有强加任何假设和限制，其计算误差主要是由积分和微分方程的数值解所引起的。但是数值解法受到计算机存储量的限制，目标的尺寸不能太大。当目标是电大尺寸物体时，必须来用高频近似方法。 3.3.3高频散射

高频散射，又称光学散射。高频区的ka值一般取ka?20，此时积累的相互作用很小，以致一个散射体可作为若干独立散射中心的集合来处理，因而散射过程中细节的几何结构变得十分重要，此时需要一些不同的高频散射计算方法，在此不做详细说明。

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高频散射是一种局部现象，目标的总散射场可由各个独立散射中心的散射场叠加而得。假定每个散射源上的场都是入射到该散射组合上的场（忽略各部分之间的相互积累作用），并忽略各散射中心相互间的多次散射和遮挡效应，则由N个散射中心组合体产生的RCS可由相对相位求和法给出其相关叠加结果：

?? 式中，分布图。

?n?1N2?nexp(j2kRn) （3-6）

Rn?n表示各散射中心的复数散射场，是从雷达到该散射中心的距离。

由于各散射分量相位的随机性，式（3-6）预示了一个随姿态角急剧起伏的RCS

对于雷达和目标特性的总体设计师而言，他们并不太关心RCS起伏的细节，而更多的是关心RCS的总效果。此时常用随机相位求和法给出其非相关叠加结果，即各散射中心RCS的代数和

????nn?1N （3-7）

以上频段的划分均是基于目标尺寸与波长的比值来定义的，因此这三个频率区是所有目标散射的共同特征。

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第四章 电磁场基本理论

4.1解析法及其相关理论

4.1.1 麦克斯韦方程

麦克斯韦方程是英国科学家麦克斯韦根据法拉第等前人关于电磁现象的实验定律创建的电磁学的基本理论，它反映了宏观的电磁现象的普遍规律，是电磁理论的基本方程。

基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程，是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域麦克斯韦方程[10]。它包含积分形式和微分形式。时域的麦克斯韦方程的积分形式为：

?H?dl???(J?ls???D)?dS?t?B)?dS?t?? （4-1）

?E?dl????(ls? （4-2）

??D?dS?????dVsV （4-3）

??BdS?0S? （4-4）

这组方程描述了任一空间区域的场源与该空间区域的边界上的场的关系。由这组方程容易推出时域上的麦克斯韦方程，其微分形式：

??E?????B?t （4-5） ?D?t （4-6）

??H?J????B?0 （4-7） ??D?? （4-8）

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?

微分形式的麦克斯韦方程描述了空间上任一点上场与场源的时空关系变化。由于这组方程中含有对场量的微分，因此它适合于媒介物理性质不发生突变的区域。 4.1.2 解析法

解析法的应用范围比较小，它主要用于一些规则的图形。运用公式直接推出雷达散射截面。因此，经典解析法求解仅能解决少量的问题。但是对于规则的图形用它还是比较方便的。

在方柱坐标系中，电磁场的解可表达为横电波和横磁波的叠加。因此，对每一种散射体，分两种情况来讨论。在此之前，先谈一下二维场在柱坐标中的一般解[11]。为此，用???,??来表示Ez或Hz，它满足标量Helmholtz方程

1?????1?2?????2?k2??0??2?????????? （4-9）

??这里，关于坐标量z的偏倒数没有出现在方程中，是因为假定了场是二维的。现

在用分离变量法求解这个方程。首先设???,??可以表达为分离变量的形式 ???,???f???g??? (4-10） 将这个表达式代入式（4-9）中，并将所得方程的两边同除以??f???g???，得

1???f?11?2g2?????k?0??22f??????????g?????? (4-11) 12?两边同乘以得

?????f?1?2g22?????k????0???2?f??????????g????? (4-12)

上式左边方括号中的函数只与变量?有关，而方括号外面的那一项只随? 而变。为满足式（4-12），这两项必须都等于常数，即

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1?2g??n22g????? (4-13)

????f?222????k??n?0??f????????? (4-14)

显然，方程（4-13）的解为 而方程（4-14）可化为

?2f????f???????k2?2?n2f????02???? (4-16)

2gn????C2e?jn? (4-15)

??这是一个宗量为k?、阶数为n的Bessel方程。它的一般解为

fn????AnJn?k???BnNn?k??Jn??? (4-17)

式中为n阶Bessel函数，而

?1????Hn?2????HnNn???为n阶Neumann函数。当宗量为实

数时，前者在原点处是有界的，而后者在原点处是奇异的。在许多情况下，（4-16）的解用另外两个函数

和

来表达，即

(4-18)

?1??k???BnHn?2??k??fn????AnHn这两个函数称为第一和第二类Hankel函数，他们实际上由Bessel函数和Neumann函数来定义：

?1??x??Jn?x??jNn?x?Hn (4-19) (4-20)

?2??x??Jn?x??jNn?x?Hn将式（4-18）和式（4-15）所给的解带回到式（3-10）中，得到

?1??k???BnHn?2?k??e?jn? (4-21) ???,????AnHn由于式（4-14）给出的两个线性无关解得区别仅在于指数项中的符号，所以，

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如果将这个符号包含到常数n中，则exp??jn??所表示的解空间与式（4-15）表示的一样。基于这一考虑，式（4-21）中关于变量?的因子只采用了一项。

?1??2???k??。k??HnJn?k??Nn?k??Hn?以上引入了四个关于变量的函数：，，和

它们代表解随?的变化关系。这四个函数都称为柱函数。而由式（4-21）给出的一个解称为一个柱波函数。任何其他解都可以由柱波函数的线性组合来构成，即

???,???

n?????AJ?k???BH??k??ennn2nn?jn? (4-22)

4.2矩量法及其相关理论

4.2.1矩量法基本原理

矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法。此方法对于求解微分方程和积分方程均适用，属于半解析数值方法[12]。它可以求解的问题包括导线、二维导体和介质体、三维导体和介质体，以及旋转体（BOR）和平移体。其基本思想是将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程，再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并带入算子方程，最后用选定的权函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或代数方程组，然后用我们熟知的方法求解该方程。无论作为最终的结果还是作为求的散射场必不可少的步骤，其求解的目的就是要确定散射体上的感应电流。如果非齐次方程为：

L(f)?g （4-23）

公式中L是线形算子，g为已知函数，f为未知函数。令f在L的定义域中展开

f1,f2,f3....的组合[13]。如：

f? 式中

an?annfn （4-24）

是系数。

fn称为展开函数或基函数。对于精确解，式（4-24）通常

是无穷项之和，对于近似解，式（4-24）通常是有限项之和。

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将公式（4-24）带进（4-23）得出：

?annL(fn)?g （4-25）

对此规定一个合适的内积?f,g?，那么在L的值域内定义一个检验函数

?1,?2,?3??

在对每个函数取内积，则

?ann??m,Lfn????m,g? （4-26）

此方程组写成如下的矩阵形式

[lmn][an]?[gn] （4-27）

式中

???1,Lf1???1,Lf2????1,Lfn?????,Lf???,Lf????,Lf??21222n??lmn?????????????,Lf???,Lf????,Lf?n2nn?n1? （4-28）

??1????1,g????????,g????n???2??gm???2??????????????,g??n? ?n? （4-29）

如果矩阵出

[l]是非奇异性的

[14]

，那么它的逆矩阵存在

[l?1]，则

an便由下式给

?1[an]?[lmn][gm]，其中f由（4-24）给出。可写成为：

?1f?[fn][an]?[fn][lmn][gn]~~ 假如

（4-30）

fn和

?n集合是有限的，

那么这个矩阵也是有限的。我们就可以求逆了。

在任何一个用矩量法求解电磁场问题中，主要任务就是选择基函数

fn和权函数

?n，他们也应是线性无关的。

15

4.2.2基函数与权函数的选取

离散积分方程的第一步就是选取基函数和权函数[15].基函数和权函数的选取有相当的灵活性。于是在选取它们时便有方便与否之考虑，精度高低之讲究，效率高低之比较。我们先讲基函数，再谈权函数。

通常，基函数分为两类：一类为全域基函数，一类为局域基函数。顾名思义，全域基函数是定义在整个求解域上的函数。这类基函数在早期被用于求解过某些特殊问题.但由于对很多问题，尤其是二维和三维问题，这类基函数很难构造，因而现在很少使用。目前通常使用的是局域基函数。现今常用的分域基有：脉冲基，适合三角贴片的RWG基以及高阶插值向量基，还有特征基函数。局域基函数一般是按照下述方式构造的:先将整个求解域分成很多子区域，然后在每个子区域中选择若干位置上的函数值作为参数，用多项式插值得到整个子区域的函数，最后整个区域待定函数的表达式便由子区域函数叠加而成。不难看出，局域基函数的构造在两点：一是如何选择子区域形状，二是如何选择插值参数。子区域形状多种多样。一般来说，如果求解域是面，三角形较为通用、方便;如果求解域是体，四面体较为通用、方便。这是因为任何一个面都可用三角形来剖分，任何一个体都可用四面体来剖分[16]。像商业软件ANSYS、DIEAS等都有子模块能对任何区域进行剖分。试验函数的选取也是多种多样，可取点脉冲，也可取定义在连接两个三角形中心直线上的线性函数，也可取与基函数相同的形式，相应得到的方式分别称为点匹配、线匹配和伽略金匹配。显然，就实施而言，点匹配最易，线匹配其次，伽略金匹配最繁。然计算效果伽略金匹配最稳定。另外，权函数的选取也与实际计算中具体操作有密切关系。譬如，若将L算子中的梯度直接作用在格林函数G上，必然奇异阶升高，造成数值计算困难，影响精度，故常常用矢量恒等式将梯度转移作用在权函数，这样权函数就不能选取点脉冲了。选取合适的基函数、权函数是很关键的。因为基函数、权函数选取的好坏，直接影响着：

（1）计算结果的精度。一个好的基函数应该能够模拟目标表面感应电流的分布，不造成人为电荷的堆积； （2）阻抗矩阵计算的难易；

（3）阻抗矩阵阶数即未知量的多少。通常脉冲基的剖分密度是一个波长划分8到10个单元，屋脊基每个波长长度上使用6-8个基函数就足够了。

（4）阻抗矩阵的条件数的大小。每一个矩阵元素，由第1个基函数与第j个权函数内积计算所得。不同的基函数、权函数所得到的矩阵的条件数并不同。即使是相同的基函数，在不同的权函数下得到的矩阵性质也不同。如同样都是三角基和线匹配法。定义在相邻单元中心连线的权函数和基函数内积所得矩阵为良

16

态，而定义在相邻单元非中心连线上的权函数与基函数内积所得矩阵为病态。 4.2.3脉冲基、点匹配法

脉冲基、点匹配法是最简单的基函数和权函数。它定义基函数和权函数极为方便，每一个单元就对应着两个方向的电流基函数；采用点匹配法是最简单的内积形式。采用脉冲基与点匹配法时，阻抗元素的计算仅为一个基函数单元上的二重积分，计算量是所有基、权函数中最少的。脉冲基与点匹配法是定义在参数曲面上的基、权函数，保证了参数点的方向与所在点的曲面切向一致。脉冲基与点匹配法物理意义简单，计算方便，但是未知量数目较多。对于平面目标(如平板)或者是由平面构成的目标，采用脉冲基与点匹配法可得到快速而又精确的结果。特别当目标需要考虑边缘模时，脉冲基与点匹配法更是比其他各种基函数和方法方便。

脉冲函数是矩量法经常选择使用并且非常简单的一种基函数[17]，通常可以定义为：

?1P(x)???012(N?1)1x?2(N?1) （4-31） x? 4.2.4横电场

一个任意电磁场可以表示为一个横磁场（TM）和一个横电场(TE)之和，TM

??部分的磁场H只有垂直与Z轴的分量，TE部分的电场E只有垂直与Z轴的分量

[18]

。一个二维TE在各向同性媒质中没有E的z分量,而只有一个H的z分量。

场的最方便的普遍表示式是以位函数的形式表示的，

1 H???A （4-32）

u E??jwA??? （4-33）

式中磁失位A和电失位Φ满足

?2?k2A??uJ （ 4-34）

17

q ?2??k2??? （4-35）

?电荷密度q与J的关系可有线性方程给出：

??J??jwq （4-36） 式（4-34）与（4-35）是亥姆霍兹方程组，定义二维格林函数为 G(p,p')?1H0(2)(k|p?p'|) （4-37） 4j我们可以在二维无界空间将式（4-34）到（4-35）的解表示为

A(p)?u??J(p')G(p,p')ds' （4-38）

?(p)?1q(p')G(p,p')ds' （4-39） ???式中积分是沿z=常数的柱体截面进行的。在计算时，应记住所有的量均与z无关，因此，所有对z的导数均为零。

18

第五章 二维导体方柱电流分布及RCS

设有一平面波垂直投射到一无限长导体方柱上，如图1所示，设入射平面波为相对于z方向的TE波，即磁场只有Hz分量，磁场只有Ez和Ey分量。

y (?,?)a 入射波 x 图 2 入射于导体圆柱的TE平面波

5.1解析法

5.1.1解析法

解析法是一种经典解法，即从电磁场的波动方程出发，根据散射体的边界条件求得场的严格级数解，这种方法只能适用于一些简单的目标[19]。各种频渐进方法对高频条件下求解RCS具有较高的计算效率，但需要考虑遮挡的影响，其算法的可靠性需要借助于简单的目标验证，只适用于目标的部分区域。 5.1.2解析法计算

如图2所示，入射场沿-x方向传播（约定场随时时间按ejwt变化），所以有：

Hzi?H0e?jkx?H0e?jk?cos?

?H0?j?nJn(kp)?ejn? （5-1）

????当有导体存在时的电磁场为入射场和散射场之和：

19

Hz?Hz?Hz （5-2）

is为了表示散射波为外向行波，散射场应为：

(2) H?H0?j?nbnHn(kp)?ejn? （5-3）

sz????(2)所以： Hz?H0?j?n|Jn(kp)?bnHn (kp)|?ejn? （5-4）

????Jn'(ka)?Hz|????bn??(2)'由边界条件：??a处，E??0? ??Hn(ka)所以： Hz?H0?j?????n|Jn(kp)?Jn'(ka)(2)Hn(ka)'(2)Hn(kp)|?ejn? （5-5）

再由关系式：Jn(x)H(2)'n(2)(x)?Hn(x)Jn(x)??2j可得： ?x2jH0J????ka?H????j?nejn?(2)'n(ka) （5-6）

由第二类汉克文函数的大自变量渐进展开式：

kp??(2)Hn(kp)?????2jn?jk?j?e ?kp?H0可得： H???szkp??2j?jk???Jn'(ka)e?[(2)'?ejk?] （ 5-7） ?kp??Hn(ka)2Hzs再由微分散射散射宽度定义：?(?)?1im2??i，可得：

???Hz ?(?)?4k?H????Jn(ka)(2)n''2(ka) ?ejk? （5-8）

4k????则总散射宽度为： ????(?)d???(?)?02??HJn(ka)(2)n''2(ka) 5-9） ?ejk? （

取工作波长???，由（5-6）（5-8）和（5-9）式分别计算电流，求得微分散射宽度及总散射宽度。

20

5.2矩量法计算

对无限长平面金属方柱，在TE平面波的照射下，TE场只有H的z方向分量和一个J的横向分量。在任意点的电磁场Hz是外加场Hzi和C上的电流J产生的

??1散射场H之和，即：Hz=H+H。由H???A和 A?u??J(?')G(?i?')ds'可得：

uszizsz? H(?)?a????J(p')G(?,?')dl' （5-10）

C为方柱体的轮廓线，场Hz在C外是有限的，C以内为零的，Hz在C上的不连续值等于电流密度J??[Hz]c?，所以有：

J?[a????J(p')G(?,?')dl']c???Hzi （5-11） 其中：G(?,?')?1H0(2)(k|???'|)为二维格林函数，采用脉冲基函数和点匹配4j???sz???法,对（5-11）式进行离散化后可得矩阵方阵：

[lmn]?[an]?[gm] （5-12）

其中： gm??Hzi(xm,ym) （5-13） lmn??mn?Hz(m,n) （5-14）式中?mn克朗勒克符号，Hz(m,n)表示由(xn,yn)处的?Cn上的单位电流密度在C?上的(xn,yn)处产生的Hz0。

当m?n时： lmn???j ??mn?Hi(m,n)?k?Cn(n,R)HI(2)(k|?m??|) （5-15）

4其中：R为源点电指向场点的单位矢量。

当m?n时： lmn?1 （5-16）2如果采用TE平面波照射： Hzi?ejk(xcos?i?ysin?) （5-17）

21

由此可求得[an]，即为电流密度分布，再由电流密度分布可求得RCS。

2j?je?jk?可得： ?kpkp???利用（5-14）式中HI(2)的远区渐进式HI(2)(kp)???? Hz(?)?KkJz(x,y)n?Recs?''jk(x'cos??y'sin?) dl' （5-18）

式中K(?)?1e?j(kp?3?/4)。 8?kpHzs由微分散射宽度定义：?(?)?1im2??|i|和（5-17）（5-18）可得：

???Hz?k''jk(x'cos??y'sin?)?(?)?|?Jz(x,y)n?Redl'|2 （5-19）

4c

22

第六章 软件实现

6.1软件流程

输入程序 编译 修改代码 程序是否错误？ N 仿真实现 Y 图形是否错误？N 结束 Y

图 3 软件流程图

6.2编程实现

根据计算得出的场及RCS结果进行编程，分别画出两种方法计算出的电流分布及RCS的图形并进行比较。下图即为导体方柱两种算法的电流分布及RCS比较图。

23

图 4 导体方柱解析法的电流分布

图 5 导体方柱矩量法的电流分布

24

图 6 导体方柱解析法的雷达散射截面

图 7 导体方柱矩量法的雷达散射截面

25

6.3结果分析

本文研究的电磁散射目标为二维导体方柱，研究对象为简单规则体，这对研究复杂目标的电磁散射问题方面有着重大的意义。其研究方法也是多种多样的，如解析法，矩量法，数值法，微分方程法等。本文主要研究的问题是将矩量法和解析法用于对二维导体方柱进行研究分析，然后将其结果进行比较。结果表明矩量法能十分逼近解析法。解析法计算十分精确，可是它的计算量十分庞大，应用范围比较小，主要用于一些规则的图形。运用公式直接推出雷达散射截面。因此，经典解析法求解仅能解决少量的问题。这就可以通过矩量法来代替解析来求解，对于简单物体矩量法十分接近解析法，可以替代解析法使用，同时矩量法可以通过对物体的分割，进而计算，所以矩量法可以对任何物体进行比较精确的计算。

用矩量法求解电磁散射问题的优点是严格地计及各子散射体间的互耦，矩量法本身保证了计算误差的系统总体最小而不会产生数值色散问题，但是矩量法同时也面临着以下问题:有矩量法离散获得的矩阵一般为满阵，所以对存储量的要求很大，计算复杂度很大，当问题的电大尺寸变得很大时，对计算机内存的需求变得非常庞大，计算量也将会很大。

由于存在上述问题，我们有必要改进矩量法从而获得一些高效的数值解法。一个很好的解决办法就是高阶方法的应用。这一方法包括了高阶曲面和高阶基函数两方面。 应用高阶曲面拟合实际目标表面在获得更高的拟合精度的同时能够用更大的面元，从而减少了面元的数目;而高阶基函数的应用又进一步可以用更少的未知量来更好的拟合目标表面的真实电流分布，并获得更好的收敛性和更高的求解精度。

26

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27

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28

致 谢

四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就快划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际生活工作中去。

回首四年，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我的孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。同学朋友，四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。

在我的十几年求学历程里，离不开父母的教诲和支持，使他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成学业，感谢他们一直以来对我的抚养与教导。

最后，我要感谢我的指导老师，李翠花老师。是她在我毕业的最后关头给了我很大的指导与帮助，使我能够顺利完成毕业设计。李老师认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅。尤其是在最后的毕业论文阶段，给了我很多的资料辅导及耐心的讲解，在这里表示衷心的感谢。

戴 伟

2012年5月于合肥学院

29

附 录

代码如下：

clc; clear; lamta=0.1; k=2*pi/lamta; gama=0.5772157; a=0.1; thtai=0; N=10; delta=a/(2*N);

eta=120*pi;

pp=linspace(0,2*pi,80); for i=1:N x(i)=a/2;

x(i+10)=a/2-i*delta; x(i+20)=-i*delta; x(i+30)=-a/2; x(i+40)=-a/2; x(i+50)=-a/2+i*delta; x(i+60)=i*delta; x(i+70)=a/2; y(i)=i*delta; y(i+10)=a/2; y(i+20)=a/2; y(i+30)=a/2-i*delta; y(i+40)=-i*delta; y(i+50)=-a/2; y(i+60)=-a/2; y(i+70)=-a/2+i*delta; end

for m=1:8*N for n=1:8*N if m==n;

30

z(m,n)=0.25*eta*delta*k*(1-sqrt(-1)*(2/pi)*(log(k*delta/4)+gama-1)); else

R(m,n)=k*sqrt((x(m)-x(n))^2+(y(m)-y(n))^2); z(m,n)=0.25*k*eta*besselh(0,2,R(m,n))*delta; end end end

%%%%%%%%%%%%%%%%求激励%%%%%%%%%%%%%%%%%% for j=1:8*N

e1(j)=sqrt(-1)*k*(x(j)*cos(thtai)+y(j)*sin(thtai)); Ei(j)=exp((-1)*e1(j)); end Jz=z\\Ei.'; figure(1); plot(abs(Jz));

element=0; xlabel('N');

ylabel('电流密度幅度 /安培');

title('由TE波激励的方形导电柱上的电流密度');

%%%%%%%%%%%%%%%%求RCS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for t=1:8*N for m=1:8*N

phase1(m)=k*(x(m)*cos(pp(t))+y(m)*sin(pp(t)))*sqrt(-1); element=element+Jz(m)*exp(phase1(m)); end

h(t)=0.25*k*(eta)^2*(abs(element)*delta)^2; end figure(2)

rcsm=10*log10(h);

plot(pp,rcsm);

xlabel('角度 /弧度'); ylabel('RCS/db');

title('由TE波激励的方形导电柱上的散射截面图');

31

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gwwr.html