极坐标和参数方程-近三年高考真题汇编

分类汇编：坐标系与参数方程

2014年真题： 1．[2014·安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标

??x＝t＋1，系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C

??y＝t－3

的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )

A.14 B．214

C.2 D．22 答案：D

?x＝－1＋cos θ，?

2．[2014·北京卷] 曲线?(θ为参数)的对称中心( )

??y＝2＋sin θ

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上

答案：B 3．[2014·江西卷]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

A．ρ＝

π1

，0≤θ≤

2cos θ＋sin θ

π1

B．ρ＝，0≤θ≤

4cos θ＋sin θπ

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

2π

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

4答案：A

??x＝2＋t，

4．[2014·重庆卷] 已知直线l的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x

?y＝3＋t?

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2

π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．

答案： 5

ππ

5．[2014·陕西卷]在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin?θ－?＝1的距离是________．

6?6???

答案： 1

x＝t，??

6．[2014·湖北卷]已知曲线C1的参数方程是?3t(t为参数)．以坐标原点为极点，x

??y＝3轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐

标为________．

答案：(3，1)

?x＝2＋cos α，?π

?7．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：

4??y＝1＋sin α

(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．

答案：ρcos θ－ρsin θ＝1 8．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．

答案：(1，1)

??x＝a－2t，

9． [2014·福建卷] 已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的参数方程为

?y＝－4t???x＝4cos θ，

?(θ为参数)． ?y＝4sin θ?

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝

≤4，

解得－25≤a≤25. 10．[2014·辽宁卷]将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

??x＝x1，

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得?由

?y＝2y，?1

22

22?y?2yx2＋y＝1得x＋＝1，即曲线C的方程为x＋＝1. 11

?2?4

??x＝cos t，

故C的参数方程为?(t为参数)．

?y＝2sin t?

y22???x＋4＝1，?x＝1，??x＝0，

?(2)由?解得或? ??y＝0y＝2.????2x＋y－2＝0，

1?1，1，所求直线的斜率k＝，不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为??2?2

11

x－?， 于是所求直线方程为y－1＝?2?2?化为极坐标方程，并整理得

3

2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.

4sin θ－2cos θ

??x＝2＋t，x2y2

11．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．

49?y＝2－2t?

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最

小值．

??x＝2cos θ，

解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，

?y＝3sin θ?

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离 d＝5|4cos θ＋3sin θ－6|， 5

d25

＝|5sin(θ＋α)－6|，

5sin 30°

则|PA|＝

4

其中α为锐角，且tan α＝. 3

225当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为. 5

25

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

5

12．[2014·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

π

轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.

2??

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 ??x＝1＋cos t，?(t为参数，0≤t≤π)． ?y＝sin t，?

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在

π

点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝. 3

ππ33

故D的直角坐标为?1＋cos，sin?，即?，?.

33???22?π

13．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤，0≤ρ≤cos θ}，

4

求集合A所表示区域的面积；

(2)在直角坐标系xOy中，

π

x＝－4＋tcos，4

直线l：(t为参数)，

πy＝tsin

4

??x＝acos θ，

曲线C：?(θ为参数)，其中a＞0.

??y＝2sin θ

若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围． 解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得

ρ2＝ρcos θ.

化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，

1?221?即?x－2?＋y＝.

4

???

2

所以集合A所表示的区域为：由射线y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆??x－12??＋y2＝1

4所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为π16＋1

8

.

(2)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0. 因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acos θ－2sin θ＋4＞0恒成立，

即a2＋4cos(θ＋φ)＞－4??其中tan φ＝2

a??恒成立， 所以a2＋4＜4.又a＞0，得0＜a＜2 3.

2013年真题：

一、选择题

1 ．（2013年安徽数学（理）试题）在极坐标系中,圆p=2cos?的垂直于极轴的两条切线方

程分别为

A．?=0(??R)和?cos=2 B．?=?2(??R)和?cos=2

C．?=?2(??R)和?cos=1 D．?=0(??R)和?cos=1

【答案】B

二、填空题 2 ．（2013年天津数学（理））已知圆的极坐标方程为??4cos?, 圆心为C, 点P的极坐标为

???4,??

3??

, 则|CP| = ______. 【答案】23

3 ．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线??cos??1与?cos??1的公共点到

极点的距离为__________

【答案】1?52. 4 ．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,

?6)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.

【答案】1

5 ．（2013年重庆数学（理））在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,

x轴的正半轴为极轴

）（

2??x?t建立极坐标系.若极坐标方程为?cos??4的直线与曲线?(t为参数)相交于3??y?tA,B两点,则AB?______

【答案】16

6 ．（2013年广东省数学（理）卷）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程

??x?2cost??y?2sint(t为参数),C在点?1,1?处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半为?轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.

【答案】

?sin?????????24?

7 ．（2013年高考陕西卷（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾

斜角?为参数, 则圆x2?y2?x?0的参数方程为______ .

yPθOx

?x?cos2?【答案】?,??R

?y?cos??sin?

?x?t8 ．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为?(t2y?t?为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为__________

【答案】?cos2??sin??0

9 ．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy中,若

?x?t,?x?3cos?,l:?(t为参数)过椭圆C:??y?t?a?y?2sin?

(?为参数)的右顶点,则常数a的值为________.

【答案】3

10．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为??x?acos??y?bsin???为参数，a?b?0?.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点

O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为

?sin???????2?m?m为非零常数?与??b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与?4?2圆O相切,则椭圆C的离心率为___________.

【答案】三、解答题

11．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））

6 3已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与

,

(Ⅰ)求(Ⅱ)将

【答案】

为的中点.

的轨迹的参数方程; 到坐标原点的距离

表示为

的函数,并判断

的轨迹是否过坐标原点.

12．（2013年辽宁数学（理））在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标

系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为??4sin?,??cos???(I)求C1与C2交点的极坐标;

??????22.. 4?(II)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为

?x?t3?a??b3?t?R为参数?,求a,b的值. ?y?t?1?2

【答案】

13．（2013年福建数学（理）坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为(2,?4),直线的极坐标方程为

??cos(??)?a,且点A在直线上.

4(1)求a的值及直线的直角坐标方程;

?x?1?cos?(2)圆c的参数方程为?,(?为参数),试判断直线与圆的位置关系.

y?sin??【答案】解:(Ⅰ)由点A(2,?)在直线?cos(??)?a上,可得a?2 44?所以直线的方程可化为?cos???sin??2 从而直线的直角坐标方程为x?y?2?0

(Ⅱ)由已知得圆C的直角坐标方程为(x?1)?y?1 所以圆心为(1,0),半径r?1 [来源:学科网]

22以为圆心到直线的距离d?2?1,所以直线与圆相交 214．（2013年江苏卷（数学））在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为??x?t?1 (t为

?y?2t?x?2tan2?参数),曲线C的参数方程为? (?为参数),试求直线l与曲线C的普通方程,

?y?2tan?并求出它们的公共点的坐标.

【答案】C解:∵直线l的参数方程为??x?t?1 ∴消去参数t后得直线的普通方程为

y?2t?2x?y?2?0 ①

同理得曲线C的普通方程为y2?2x ②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2),(,?1) [来源:学科网]

1215．（2013年高考新课标1（理）） 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以

坐标原点为极点,

.

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为

(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

【答案】将

消去参数,化为普通方程, [来源:

学科网] 即

:

,将

代入

得, [来源:学*科*网Z*X*X*K]

,

∴(Ⅱ)

的极坐标方程为的普通方程为

,

;

由解得或,∴与的交点的极坐标分

别为(),.

2012真题（部分）：

1.【2012高考真题辽宁理23】

在直角坐标xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C2:(x?2)2?y2?4。

(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，

并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出C1与C2的公共弦的参数方程。 【答案】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成．本题要注意圆C1:x2?y2?4的圆心为(0,0)半径为r1?2，圆

C2:(x?2)2?y2?4的圆心为(2,0)半径为r2?2，从而写出它们的极坐标方程；对于两

圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主． 2.【2012高考真题福建理22】

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线

l上两点M，N的极坐标分别为（2,0），

，圆C的参数方程

。

（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。 【答案】

3.【2012高考江苏23】在极坐标中，已知圆C经过点P?2，?，圆心为直线4??sin??????与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

32????3?【答案】解：∵圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点，

32????3?∴在?sin??????中令?=0，得??1。

3?2? ∴圆C的圆心坐标为（1，0）。

???3 ∵圆

2C经过点

P?2，?4?，∴圆C的半径为

PC???22?1???21?42。 cos=1 ∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

??3?【解析】根据圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C32??经过点P?2，?求出圆C的半径。从而得到圆C的极坐标方程。 4?4.【2012高考真题新课标理23】本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是??x?2cos?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

?y?3sin?为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求PA?PB?PC?PD的取值范围. 【答案】

（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,2222?3)

?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)

?x0?2cos?(?为参数) （2）设P(x0,y0)；则?y?3sin??022 t?PA?PB?PC?PD?4x?4y?40

2222 ?56?20sin

2??[56,76]

∵圆

2C经过点

P?2，?4?，∴圆C的半径为

PC???22?1???21?42。 cos=1 ∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

??3?【解析】根据圆C圆心为直线?sin??????与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C32??经过点P?2，?求出圆C的半径。从而得到圆C的极坐标方程。 4?4.【2012高考真题新课标理23】本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是??x?2cos?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

?y?3sin?为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求PA?PB?PC?PD的取值范围. 【答案】

（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,2222?3)

?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)

?x0?2cos?(?为参数) （2）设P(x0,y0)；则?y?3sin??022 t?PA?PB?PC?PD?4x?4y?40

2222 ?56?20sin

2??[56,76]

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