2012-2013选修2-1期末考试试卷

广东省江门市新会一中2012-2013学年第一学期期末考试

高二级数学(理科)试卷（选修2－1）

本试卷共4页，共21题，本卷必做题满分100分，附加题10分，考试时间为120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂答题卡上相应的信息点．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效．

第一卷: 选择题

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．命题：“若x2?1，则?1?x?1”的逆否命题是（ ）

A.若x2?1，则x?1，或x??1 B.若?1?x?1，则x2?1 C. 若x?1,且x??1，则x2?1 D.若x?1，或x??1，则x2?1 2．条件p：x?1，y?1，条件q：x?y?2，xy?1，则条件p是条件q的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：

肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ） A．金盒里 B．银盒里 C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定

x2y24．等轴双曲线??1的离心率为（ ）

222A 2 B 2 C 22 D

25．抛物线x2?8y的准线方程是 （ ）

A． y??2 B．x??2 C． y?2 D． x?2

222226．在同一坐标系中，方程ax?by?1与ax?by?0(a?b?0)的图象大致是（ ）

７．已知M,N,P为不共线的三点，对空间中任意一点O，若

????4?????????1??1??，则OQ?OM?O?NOPM,N,P,Q 四点（ ）

3412A．不一定共面 B．一定不共面 C．一定共面 D．无法判断

b?(?1,0,2)，8．已知向量a?(1,1,0)，且ka?b与2a?b互相垂直，则k等于（ ）

173A.1 B. C. D.

5559．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么

异面直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）

101022 B． C．? D．

101055????????????10．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当

A．?QA?QB

取得最小值时，点Q的坐标为（ ） 131122448A.(，，) B. (，，) C. (，，) D.

243233333447(，，) 333

第二卷: 非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．已知空间向量a=（2，－3，t），b=（－3，1，－4），若a·b=?1，则实数=________. 12．命题p：“任意素数都是奇数”,则p的否定为：__________________________.

x2y2??1的两焦点分别为F1,F2，若椭圆上一点P到F1的距离为13．已知椭圆

2596，则点P到F2的距离为______________. 14．当用反证法证明来命题：“若|a|?|b|?0，则a?b?0”时，应首先假设

“______________”成立.

三、解答题（共7道题，前6题共54分，全体考生必做题。最后一题为附加题，10分，实验班学生必做，普通班学生可选做，要求写出完整的解答或证明过程） 15．（本题满分8分）

若命题P：对任意实数x都有ax2?ax?1?0恒成立，命题Q：关于x的方程

x2?x?a?0 有实数根. 如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 16．（本题满分8分）

求双曲线16x2?9y2??144的实轴长、虚轴长、焦点坐标和渐近线方程. 17．（本题满分8分）

如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1，用向量法证明：DB1?平面ACD1. ．．．

第17题图 ⒙（本题满分10分）

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的，

其中AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1. （1）求线段BF的长；

（2）求二面角E?FC1?C的余弦值. 19．（本题满分10分）

第18题图

已知抛物线C： y2?2px(p?0), 过抛物线C的焦点F作一条直线与抛物线C相交于A，B两点. 若A，B在抛物线的准线上的投影分别为M,N. （1）当垂直于抛物线C的对称轴时，求|AB|的长； （2）求证: FM?FN.

20．（本题满分10分）

y2若一个椭圆与双曲线x??1焦点相同，且过点(?3,1).

3（1）求这个椭圆的标准方程；

（2）求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.

2

21. （附加题，实验班学生必做 ，普通班学生可选做）（本题满分10分）

2x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短

2ab半轴长为半径的圆与直线x?y?2?0相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A,B两点，设P为椭圆上一点，

且满足OA?OB?tOP（O为坐标原点），当|PA?PB|?的取值范围．

25 时，求实数t32012－2013学年度第一学期期末考试

高二级数学(理科)（选修2－1）参考答案与评分标准

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 B 10 C 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

11． _－2__ ， 12． _存在素数不是奇数 ，13． ____4___，14． _a,b中至少有一个不为0

三、解答题（共7道题，前6题共54分，全体考生必做题。最后一题为附加题，实验班学

生必做，普通班学生可选做，要求写出完整的解答或证明过程） 15．（本题满分8分） 解：对任意实数x都有ax?ax?1?0恒成立?a?0或?分

关于x的方程x?x?a?0有实数根?1?4a?0?a?如果P正确，且Q不正确，有0?a?4,且a?22?a?0 ?0?a?4；———2??0?1；------- 4分 411??a?4；--------5分 441如果Q正确，且P不正确，有a?0或a?4,且a??a?0．-----6分

41?所以实数a的取值范围为???,0????,4?．--------------8分 ?4? 16．（本题满分8分）

y2x2解：双曲线方程可为标准形式：2?2?1，---------2分

43由此可知双曲线半实轴长a?4,半虚轴长为b?3，所以实轴长为2a?8, 虚轴长断

2b?6.---4分

半焦距c?a2?b242?32?5，

因为双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，所以其焦点坐标是(0,?5),(0,5)-------6分 渐近线方程为：y??4x.----------------8分 3 17．（本题满分8分）

证明：设正方体的棱长1. （1分）

?????????????????????DB?AC?(DB?BB1)?AC=DB?AC?BB1?AC?0?0?0 ，∵ 1?????????∴DB1?AC,即DB1?AC -----4分

????????????????????????∵DB1?AD1?(DA1?A1B1)?AD?0?0＝0

??????????∴DB1?AD1 即DB1?AD1 ---6分-

∵AC?AD1?A ，AC?平面ACD1 ，AD1?平面ACD1 ∴DB1?平面ACD1 ---8分-

（评分说明：若用建立空间直角坐标解题的，也可以参照评分标准给分，若没有用空间向量法证明的，则不给分）

⒙（本题满分10分） 解：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，yl轴z轴建立空间直角坐

标系，如图所示，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)， 设F(0,0,z).

∵AEC1F为平行四边形，

?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2)，z?2,

所以F(0,0,2)， 于是BF?(?2,?4,2)，

|BF|?(?2)2?(?4)2?22?26.

-------------------------------------------------5分

??（2）设n1为平面AEC1F的法向量且n1?(x,y,z)，

????????n1?AE?0,?0?x?4?y?z?0 由??????得????n1?AF?0,??2?x?0?y?2z?0?x?1,?????4y?z?0,?即?令z?1??1平面FCC1的法向量为AD?(?2,0,0)-----7分

y??.??2x?2z?0,??4-

??????AD?n1cos?????????|AD|?|n1|设二面角E?FC1?C为?，从图可知?应为锐角，则

22?1?1?116?433.33

所以二面角E?FC1?C的余弦值为

433--------10分 33（评分说明：若没有考虑角的范围，最后计算出的结果为负数，但其绝对值与答案一样

者，只扣1分，若用纯几何法证明的可参照以上的评分标准给分） 19．（本题满分10分）

p，------1分 ,0）2pp当垂直于抛物线C的对称轴时，设A(,y1),B(,y2)，

22pppp根据抛物线的定义，得|AF|?|AA1|???p|BF|?|BB1|???p,-----3分

2222解：（1）抛物线焦点F为（

所以|AB|?|AF|?|BF|?p?p?2p.---------5分

yy (2)证明：设A(1,y1),B(2,y2)，则

2p2py1?p2y2?p2FA?(,y1),FB?(,y2),

2p2p2222M(?pp,y1),N(?,y2) 22y1(y2?p2)222由FM∥FN知：

y2(y2?p2)??0,-----------7分

222整理得：(y2?y1)(y1y2?p)?0,又y1?y2，则y1y2?p?0,

FM?FN?y1y2?p2?0.-------------9分

所以FM?FN，即有FM?FN.-------10分

(评分说明:用其他方法求解或证明的参照以上评给分标准评分,特别地第（2）问，若用设直线方程的方法，则须讨论直线斜率是否存在，否则应扣1分) 20．（满分10分）

y2解：(1)设双曲线x??1的半焦距为c, 则 c2?1?3?4，c?2 ------1分

32x2y2?椭圆与双曲线共焦点，?设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),且有

aba2?b2?c2?4------① ---------2分

31?椭圆过(?3,1)，?2?2?1，------- ②

ab22联立①，②解得a?6,b?2.----------3分

x2y2.?椭圆方程为??1.-----------------4分

62

(2) 依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+m，弦的两端点坐标分别为，联立方程组： (x1,y1),(x2,y2)弦的中点坐标为（x，y）

?y?2x?m,?22 消去y 整理，得13x2+12mx+3m2—6=0 （*）--------6分 ?xy?1,???62依题意知，??0，即144m2-52(3m2-6)>0, 解得?26?m? x1,x2是方程（*）的两个实根， 由韦大定理得x1?x2??由中点坐标公式得x?26-------7分

12m， 13x1?x26m （**） ??213又y?y1?y22x1?m?2x2?mm??x1?x2?m?. -------8分 2213626626?x?. 1313626626?x?).-------10分 1313即m?13y,代入（**）式，得x?6y?0，其中?所以所求的平行弦的中点轨迹方程为：x?6y?0（?（说明：凡没有注明x或y的取值范围的都扣1分）

21. （附加题，实验班学生必做题，普通班班学生可选做）（本题满分10分）

x2y2c2解：（1）设所求的椭圆方程为2?2?1由题意知e??， 所以

a2ab2c2a2?b21ae?2??．即2aa22?2b2． ················ 1分

又因为b?22?1，所以a2?2，b?1．-----2分 1?1x2?y2?1．---------- 3分 故椭圆C的方程为2（2）由题意知直线AB的斜率存在，否则直线与椭圆不可能相交.

设直线

AB的方程为y?k(x?2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，

?y?k(x?2),?2222(1?2k)x?8kx?8k?2?0. 由?x2消去y,整理得，2??y?1.?21??64k?4(2k?1)(8k?2)?0，k?. ·········· 5分

2422228k?28kx?x?x1?x2?，12.

1?2k21?2k22∵OA?OB?tOP，

x1?x28k2?∴(x1?x2,y1?y2)?t(x,y)，x?， tt(1?2k2)y?y1?y21?4k?[k(x1?x2)?4k]?. ttt(1?2k2)P在椭圆上，∴

∵点

(8k2)2(?4k)2?22?222222t(1?2k)t(1?2k)，∴

16k2?t2(1?2k2).

———————————————————7分

2525PA?PB|AB|?∵＜，由弦长公式得：3即320∴(1?k)[(x1?x2)?4x1?x2]?，

9221?k2x1?x2?25， 34264k8k?220222(1?k)[?4?]?(4k?1)(14k?13)?0， ∴，∴222(1?2k)1?2k91∴k?.

42112?k?∴，-9分 42∵16k2?t2(1?2k2)，

216k82t??8?∴

1?2k21?2k2，

∴?2?t??26326?t?2， 或32626)?(,2) ················ 10分 33?x?2，但需要讨论m?0或m?0两种情况)

∴实数取值范围为(?2,?(注意：可设直线方程为my

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