同济版高数教学设计完美版第二章导数与微分

高等数学教案

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动? 时刻t质点的坐标为s? s是t的函数? s?f(t)?

求动点在时刻t0的速度? 考虑比值

s?s0f(t)?f(t0)? ? ?t?t0t?t0这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度? 如果时间间隔选较短? 这个比值在实

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践中也可用来说明动点在时刻t0的速度? 但这样做是不精确的? 更确地应当这样? 令t ?t0?0? 取比值

f(t)?f(t0)的极限? 如果这个极限存在? 设为v ? 即

t?t0f(t)?f(t0) v?lim?

t?t0t?t0这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度?

2．切线问题

设有曲线C及C上的一点M? 在点M外另取C上一点N? 作割线MN? 当点N沿曲线C趋于点M时? 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT? 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线?

设曲线C就是函数y?f(x)的图形? 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0?f(x0))处的切线? 只要定出切线的斜率就行了? 为此? 在点M外另取C上一点N(x, y)? 于是割线MN的斜率为 ta?n?y?y0f(x)?f(x0)? ?x?x0x?x0其中?为割线MN的倾角? 当点N沿曲线C趋于点M时? x?x0? 如果当x? 0时? 上式的极限

存在? 设为k ? 即

f(x)?f(x0) k?lim

x?x0x?x0存在? 则此极限k 是割线斜率的极限? 也就是切线的斜率? 这里k?tan ???其中?是切线MT的

倾角? 于是? 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线?

二、导数的定义

1? 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出? 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限?

f(x)?f(x0) lim?

x?x0x?x0令?x?x?x0? 则?y?f(x0??x)?f(x0)? f(x)?f(x0)? x?x0相当于?x ?0? 于是limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0成为

f(x0??x)?f(x0)?y lim或lim?

?x?0?x?x?0?x 定义 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 当自变量x在x0处取得增量?x(点

x0??x仍在该邻域内)时? 相应地函数y取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)? 如果?y与?x之比当?x?0时的极限存在? 则称函数y?f(x)在点x0处可导? 并称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数?

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记为y?|x?x0? 即 f?(x0)?lim也可记为y?|x?x0?

f(x0??x)?f(x0)?y? ?lim?x?0?x?x?0?xdydf(x)或? dxx?x0dxx?x0 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在?

导数的定义式也可取不同的形式? 常见的有 f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)?

hf(x)?f(x0) f?(x0)?lim?

x?x0x?x0 在实际中? 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题? 在数学上就是所谓

函数的变化率问题? 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述? 如果极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)不存在? 就说函数y?f(x)在点x0处不可导?

?x?x?0 如果不可导的原因是由于limf(x0??x)?f(x0)???

?x也往往说函数y?f(x)在点x0处的导数为无穷大?

如果函数y?f(x)在开区间I内的每点处都可导? 就称函数f(x)在开区间I内可导? 这时? 对于任一x ?I? 都对应着f(x)的一个确定的导数值? 这样就构成了一个新的函数? 这个函数叫做

dydf(x)原来函数y?f(x)的导函数? 记作 y??f?(x)? ? 或?

dxdx

导函数的定义式? y??lim?x?0f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)?lim? h?0?xh f ?(x0)与f ?(x)之间的关系?

函数f(x)在点x0处的导数f ?(x)就是导函数f ?(x)在点x?x0处的函数值? 即 f?(x0)?f?(x)x?x0?

导函数f ?(x)简称导数? 而f ?(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ?(x)在x0处的值? 左右导数? 所列极限存在? 则定义

?(x0)?lim f(x)在x0的左导数?f??h?0f(x0?h)?f(x0)?

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?(x0)?lim f(x)在x0的右导数?f??h?0f(x0?h)?f(x0)?

h 如果极限lim 如果极限limh??0f(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的左导数?

hf(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的右导数?

hh??0?(x0)?f??(x0)?A? 导数与左右导数的关系??f?(x0)?A?f? 2．求导数举例

例1．求函数f(x)?C（C为常数）的导数? 解? f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x)?limC?C?0? h?0hh即????(C ) ??0?

例2? 求f(x)?1的导数?

x1?1f(x?h)?f(x) 解? f?(x)?lim? ?limx?hx?lim?h??lim1??12h?0h?0h?0h?0hhh(x?h)x(x?h)xx?

例3? 求f(x)?x的导数??

f(x?h)?f(x) 解? f?(x)?lim?limx?h?x

h?0h?0hh?limh1?lim?1?

h?0h(x?h?x)h?0x?h?x2xnnf(x)?f(a)?limx?a?lim(x n?1?ax n?2??? ? ???a n?1)?na n?1? x?ax?ax?ax?a 例2．求函数f(x)?x n (n 为正整数)在x?a处的导数? 解? f ?(a)?limx?a把以上结果中的a 换成x 得 f ?(x)?nx n?1? 即 (x n)??nx n?1? (C)??0? (1)???12? (x)??1? (x?)????x??1?

xx2x 更一般地? 有(x ?)???x ??1 ? 其中?为常数?

例3．求函数f(x)?sin x 的导数? 解? f ?(x)?limh?0sin(x?h)?sinxf(x?h)?f(x)?lim?h?0hh1hh????????????????????????lim?2cos(x?)sin?

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sinh???????????????????????limcos(x?h)?2?cosx?

hh?022即 (sin x)??cos x ?

用类似的方法? 可求得 (cos x )???sin x ?

例4．求函数f(x)??a x(a>0? a ?1) 的导数? 解? f ?(x)?limh?0x?hxf(x?h)?f(x)?lima?a?h?0hhhht ?axlima?1令a?1?taxlim

h?0ht?0loga(1?t) ?ax1?axlna? logae 特别地有(e x )?e x ?

例5．求函数f(x)?log a x (a>0? a ?1) 的导数? 解? f?(x)?limh?0log(x?h)?logaxf(x?h)?f(x)??limah?0hhx??????????????????????????lim1loga(x?h)?1limxloga(1?h)?1limloga(1?h)h

h?0hxxh?0hxxh?0x ?1logae?1xxlna?

解?f?(x)?limloga(x?h)?logax?lim1loga(1?h)?h?0hh?0xhx1hh ?limloga(1?)?1logae?1?

xxlnaxh?0x

即 (logax)??1?? ?

xlnax)??1? 特殊地 (lnx

(logax)??1??(lnx)??1?

xlnax 3．单侧导数? 极限limh?0f(x?h)?f(x)存在的充分必要条件是

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lim?h?0f(x?h)?f(x)f(x?h)?f(x)及lim?h?0?hh都存在且相等??

f(x?h)?f(x)?(x0)?lim f(x)在x0处的左导数?f??

h?0?h?(x0)?lim f(x)在x0处的右导数?f??h?0f(x?h)?f(x)?

h 导数与左右导数的关系? 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ??(x0) 和右导数f ??(x0)都存在且相等? 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导? 且右导数f ??(a) 和左导数f ??(b)都存在? 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导?

例6．求函数f(x)??x|在x?0处的导数?

?(0)?lim 解? f??h?0f(0?h)?f(0)|h|?lim??1? h?0?hhf(0?h)?f(0)|h|?lim?1?? h?0?hh?(0)?lim f??h?0 因为f ??(0)? f ??(0)? 所以函数f(x)?|x|在x?0处不可导?

四、导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数f ?(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率? 即

f ?(x 0)?tan ? ? 其中?是切线的倾角?

如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大? 这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x?x0为极限位置? 即曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0? ? 由直线的点斜式方程? 可知曲线y?f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y?y0?f ?(x0)(x?x0)?

过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y?f(x)在点M处的法线如果 f ?(x0)?0? 法线的斜率为?1? 从而法线方程为 f?(x0) y?y0??1(x?x0)?

f?(x0) 例8? 求等边双曲线y?1在点(1, 2)处的切线的斜率? 并写出在该点处的切线方程和法

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线方程?

解? y???12? 所求切线及法线的斜率分别为

x k1?(?12)x?1??4? k2??1?1?

xk142 所求切线方程为y?2??4(x?1)? 即4x?y?4?0?

2 所求法线方程为y?2?1(x?1)? 即2x?8y?15?0?

42 例9 求曲线y?xx的通过点(0? ?4)的切线方程? 解 设切点的横坐标为x0? 则切线的斜率为 f?(x03)?(x2)??32x21?3x0? x?x02于是所求切线的方程可设为 y?x0x0?3x0(x?x0)?

2 根据题目要求? 点(0? ?4)在切线上? 因此 ?4?x0x0?3x0(0?x0)?

2解之得x0?4? 于是所求切线的方程为 y?44?34(x?4)? 即3x?y?4?0?

2 四、函数的可导性与连续性的关系

设函数y?f(x)在点x0 处可导? 即lim lim?y?lim?x?0?y?f?(x0)存在? 则

?x?0?x?y?y??x?lim?lim?x?f?(x0)?0?0? ?x?0?x?x?0?x?x?0这就是说? 函数y?f(x)在点x0 处是连续的? 所以? 如果函数y?f(x)在点x处可导? 则函数在该

点必连续?

另一方面? 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导?

例7． 函数f(x)?3x在区间(??, ??)内连续? 但在点x?0处不可导? 这是因为函数在点x?0处导数为无穷大

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3f(0?h)?f(0) lim?limh?0????

h?0h?0hh

§2? 2 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数? 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数? 并且 [u(x)??v(x)]??u?(x)??v?(x) ?

[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?

u(x)??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) ?? ??v2(x)?v(x)?? 证明 (1)[u(x)?v(x)]??lim[u(x?h)?v(x?h)]?[u(x)?v(x)]

h?0hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim??u?(x)?v?(x)? ??h?0?hh?? 法则(1)可简单地表示为

(u?v)??u??v? ? (2)[u(x)?v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)

h?0h ?lim1[u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x?h)?u(x)v(x)]

h?0hu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)? ?lim? v(x?h)?u(x)?h?0?hh?? ?limu(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x) ?limv(x?h)?u(x)?limh?0h?0h?0hh ?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?

其中limv(x?h)?v(x)是由于v?(x)存在? 故v(x)在点x连续?

h?0 法则(2)可简单地表示为

(uv)??u?v?uv??

u(x?h)u(x)?u(x)??v(x?h)v(x)u(x?h)v(x)?u(x)v(x?h)? (3) ? ?lim?limh?0hv(x?h)v(x)h?v(x)??h?0第 8 页 共 31 页

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