2015年全国高考数学试题分类汇编§10.5 圆锥曲线的综合问题

10.5圆锥曲线的综合问题

1.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, )在C上.

(1)求C的方程;

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

-

(1)由题意有 = , + =1,

解析

解得a2=8,b2=4.

所以C的方程为 + =1.

(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入 + =1得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故xM=

= ,yM=k·xM+b= .

-

于是直线OM的斜率kOM= =- ,即kOM·k=- . 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

2.(2015陕西,20,12分)如图,椭圆E: + =1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为 . (1)求椭圆E的方程;

(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.

解析 (1)由题设知 = ,b=1, 结合a2=b2+c2,解得a= .

所以椭圆E的方程为 +y2=1.

(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入 +y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知可知Δ>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 则x1+x2= ,x1x2= . 从而直线AP,AQ的斜率之和 kAP+kAQ=

- -

+ = + -

-

=2k+(2-k)

=2k+(2-k)

=2k+(2-k) - =2k-2(k-1)=2.

考点二 参变量的取值范围与最值问题

1.(2015山东,21,14分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且点 在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆E: + =1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q. (i)求 的值;

(ii)求△ABQ面积的最大值. 解析 (1)由题意知 + =1,

-

又 = ,解得a2=4,b2=1.

-

所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)由(1)知椭圆E的方程为 + =1.

(i)设P(x0,y0), =λ, 由题意知Q(-λx0,-λy0).

因为+ =1,

又

- -

+

=1,

即

=1,

所以λ=2,即 =2. (ii)设A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=kx+m代入椭圆E的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由Δ>0,可得m2<4+16k2.① 则有x1+x2=- ,x1x2= . 所以|x1-x2|=

-

-

.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB的面积S= |m||x1-x2| =

-

=

-

=2 - . 设 =t.

将y=kx+m代入椭圆C的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②

由①②可知0

因此S=2 - =2 - . 故S≤2 ,

当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2 . 由(i)知,△ABQ面积为3S, 所以△ABQ面积的最大值为6 .

考点三 存在性问题

1.(2015四川,20,13分)如图,椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率是 ,点P(0,1)在短轴 · CD上,且 =-1. (1)求椭圆E的方程;

(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得 +λ · 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. ·

解析 (1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b). · 又点P的坐标为(0,1),且 =-1,

- - 解得a=2,b= . 于是

-

所以椭圆E方程为 + =1.

(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

联立 得(2k2+1)x2+4kx-2=0.

其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以,x1+x2=- ,x1x2=- .

+λ · =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] 从而, · =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =

- - - -

-

=- -λ-2. 所以,当λ=1时,- -

-λ-2=-3.

+λ · =-3为定值. 此时, ·

当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD. +λ · · + · = 此时, · =-2-1=-3. +λ · 为定值-3. 故存在常数λ=1,使得 ·

2.(2015湖北,22,14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处饺链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,带动．．N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

图1 图2 (1)求椭圆C的方程;

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