2017届九年级数学中考总复习:圆的基本概念和性质—知识讲解(提
更新时间:2024-07-06 02:39:02 阅读量: 综合文库 文档下载
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圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
责编:常春芳
【学习目标】
1.知识目标:理解圆的有关概念和圆的对称性;
2.能力目标:能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系,?圆的对称性进行计算或证明; 3.情感目标:养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质 1. 圆的定义
(1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
要点诠释:
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线.
(2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释:
①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面;
③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心;
②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释:
①圆有无数条对称轴;
②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线).
要点二、与圆有关的概念 1. 弦
弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释:
直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O中任意一条弦,求证:AB≥CD.
证明:连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时,取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的弧记作
,读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆; 优弧:大于半圆的弧叫做优弧; 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释:
①半圆是弧,而弧不一定是半圆; ②无特殊说明时,弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆
圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 【高清ID号:356996 关联的位置名称(播放点名称):概念、性质的要点回顾】 4.等弧
在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释:
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中,不能忽视; ②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【典型例题】
类型一、圆的定义
1.已知:如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,求证:点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上. 【答案与解析】
∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC,OB=OD,AC=BD, ∴OA=OC=OB=OD,
∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.
【总结升华】要证几个点在同一个圆上,只能依据圆的定义,去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三:
【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上,则该平行四边形一定是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 【答案】C.
2. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 【答案与解析】
?导火索燃烧的时间为18?20(s) 0.9 相同时间内,人跑的路程为20?65.?130(m)
∴点导火索的人安全.
【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如图所示.
类型二、圆及有关概念
3.(2015秋?丹阳市校级月考)下列说法中,正确的是( ) A.两个半圆是等弧
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C.长度相等的弧是等弧
D.同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 【答案】 B.
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等,故错误; B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧,正确; C、长度相等的弧是等弧,错误;
D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧,故错误, 故选B.
【总结升华】本题考查了圆的有关概念,解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等. 举一反三:
【变式】 (2015秋?邗江区校级月考)点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上,图中弦的条数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
提示:由图可知,点A、B、E、C是⊙O上的点,
图中的弦有AB、BC、CE,一共3条.故选B.
类型三、圆的对称性
4.圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少? 【答案与解析】
如图所示,分两种情况:
(1)当点P为圆O内一点(如图1),过点P作圆O的直径,分别交圆O于A、B两点, 由题意可得P到圆O最大距离为10,最小距离为2,则AP=2,BP=10, 所以圆O的半径为
图1 图2
(2)当点P在圆外时(如图2),作直线OP,分别交圆O于A、B,由题可得P到圆O最大距离为10,
最小距离为2,则BP=10,AP=2,所以圆O的半径综上所述,所求圆的半径为6或4.
【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离,我们首先想到的就是直径,然后过点P做圆的直径,得
到圆的半径.通常情况下,我们进行的都是在圆内的有关计算,这逐渐成为一种习惯,使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况,而忽略了圆外的情况,所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.
举一反三:
【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则圆的半径是( ).
A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm
2?10?6. 2APOBPAOB10?2?4. 2【答案】C.
【高清ID号: 356996 关联的位置名称(播放点名称):知识讲解二-四】 【变式2】(1)过____________________上的三个点确定一个圆.
(2)交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的_________. 【答案】(1)不在同一直线;(2) 圆的旋转不变性;
5.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP的长的取值范围是 .
【答案】3≤OP≤5.
【解析】OP最长边应是半径长,为5;
根据垂线段最短,可得到当OP⊥AB时,OP最短. ∵直径为10,弦AB=8
∴∠OPA=90°,OA=5,由圆的对称性得AP=4,
由勾股定理得OP=52?42?3,∴OP最短为3. ∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.
【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短. 举一反三:
【变式】已知⊙O的半径为13,弦AB=24,P是弦AB上的一个动点,则OP的取值范围是___ ____. 【答案】 OP最大为半径,最小为O到AB的距离.所以5≤OP≤13.
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