北京市海淀区2011届高三一模考试 数学理

走向数学高端 独享一流大学 高考中考、自主招生、中学奥数、高一高二同步辅导 东方指南数学教育 北京海淀 邮箱 tshuxue101@163.com 海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2011.4

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项.

1、已知集合A?x?R0?x?3，B?x?Rx2?4，则A?B? A. x2?x?3 B. x2?x?3 C. xx??2或2?x?3 D. R

2．已知数列?an?为等差数列，Sn是它的前n项和.若a1?2，S3?12，则S4? A．10 B．16 C．20 D．24

3. 在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ?2cosθ，则下列各点在圆C上的是 π??A．?1,??

3??3π??C．?2,?

4?????????????π? B． ?1,?

?6?5π?? D． ?2,?

4??开始 输入x 4．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为 A．0 B．1 C．2 D．11 5．已知平面?错误的是 ．．

A．若m//?，则m//l B．若m//l，则m//? C．若m??，则m?l D．若m?l，则m?? 6. 已知非零向量a,b,c满足a?b?c?０，向量a,b的夹角为120，且|b|?2||a，则向量a与c的夹角为

n?1n ?n?1x?2x?1 n≤3否输出x 结束 ??l，m是?内不同于l的直线，那么下列命题中

是A．60 B．90 C．120

2???D． 150

?7.如果存在正整数?和实数?使得函数f(x)?cos(?x??)（?，?为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么?的值为

A．1 B．2 C． 3 D. 4

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y12O1x走向数学高端 独享一流大学 高考中考、自主招生、中学奥数、高一高二同步辅导 东方指南数学教育 北京海淀 邮箱 tshuxue101@163.com 28．已知抛物线M：y=4x，圆N：(x?1)?y?r（其中r为常数，r?0）.过点（1，

2220）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足AC?BD的直线

l只有三条的必要条件是

A．r?(0,1] B．r?(1,2] C．r?(,4) D．r?[,??)

3232

非选择题（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

3?i? . 9．复数1?i10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3（用“?”连接） 频率组距 0.0008 0.0006 0.0004

0.0002

O100015002000250030003500

甲

则它们的大小关系为 .

，

频率组距频率组距0.00080.00080.00060.00040.00020.0006 元 0.00040.0002O元O100015002000250030003500元100015002000250030003500乙丙A11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若?BAC?70，则?CBE?______；若BE?2，CE?4， 则CD? .

? OCBDE12.已知平面区域D?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y?kx（k?R）下方的概率为____________ .

13.若直线l被圆C:x2?y2?2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

x2①y?x?2 ② (x?1)?y?1 ③ ?y2?1 ④ x2?y2?1

2与直线l一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）

14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕

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DACPB走向数学高端 独享一流大学 高考中考、自主招生、中学奥数、高一高二同步辅导 东方指南数学教育 北京海淀 邮箱 tshuxue101@163.com △CPD的面积为f(x).则f(x)点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，

'的定义域为 ； f(x)的零点是 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； (Ⅱ)求?ABC的面积. 16. （本小题共14分）

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC，

11，且c?1. tanC?，23BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2， G是BC的中点．

AD(Ⅰ) 求证：AB//平面DEG；

(Ⅱ) 求证：BD?EG；

(Ⅲ) 求二面角C?DF?E的余弦值.

FE

GCB

17. （本小题共13分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为

2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 18. （本小题共13分）

已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；

(Ⅲ)若在?1,e?（e?2.718...）上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围.

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1?a, (a?R). x走向数学高端 独享一流大学 高考中考、自主招生、中学奥数、高一高二同步辅导 东方指南数学教育 北京海淀 邮箱 tshuxue101@163.com 19. （本小题共14分）

x2y231已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,),其离心率为.

ab22 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l:y?kx?m(|k|?)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围. 20. （本小题共13分）

12a1,a2,a3,已知每项均是正整数的数列A：

设

,an，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)，

，

bj?k1?k2???kj (j?1,2,3)g(m)?b1?b2??bm?nm

(m?1,2,3???).

（Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)； （Ⅱ）若数列A满足a1?a2?

?an?n?100，求函数g(m)的最小值.

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数 学（理）

答案及评分参考 2011．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空

2分）

9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70； 3 12.

1 13. ① ③ 14. (2,4); 3 2三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）

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走向数学高端 独享一流大学 高考中考、自主招生、中学奥数、高一高二同步辅导 东方指南数学教育 北京海淀 邮箱 tshuxue101@163.com 解：（I）因为tanB?分

11tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, …………………1

1?tanBtanC2311?23?1 . …………………3tan(B?C)? 代入得到，

111??23分 因

为

A?180?B?C , …………………4分

所

以

. …………………5分

tA??B（II）因为0?A?180，由（I）结论可得：A?135 . …………………7分

因为tanB?11?tanC??0，所以0?C?B?90 . …………8分 23105,sinC?. …………9

105所以sinB?分 由

ac?sinAsinC得

a?5， …………………11分

所

以

?ABC的面积为：

11acsinB?. ………………13分 22

16. （共14分）

解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.

又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，

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ADEHGFC

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