2011概率

解析几何

安徽理（2） 双曲线 x y 的实轴长是

（A）

2 (B)

C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

x2y2

1，则a2 4，a 2，2a 4.故选C. 【解析】 x y 可变形为

48

(5) 在极坐标系中，点 ( ,

) 到圆 2cos 的圆心的距离为

（A）

（

(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离. 【解析】极坐标( ,

)化为直角坐标为(2cos

,2sin)，即.圆的极坐标方程

33

2cos 可化为 2 2 cos ，化为直角坐标方程为x2 y2 2x，即

(x 1)2 y2 1，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公

式

d 故选D.

（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确

的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线y kx b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

（15)①③④⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.

【解析】令y x

1

满足①，故①正确；若kb

y 过整点（－2

1,0），所以②错误；设y kx是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2)，则有y1 kx1，y2 kx2，两式相减得y1 y2 k(x1 x2)，则点(x1 x2,y1 y2)也在直线

y kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y kx得对于y kx

b也成立，所以③正确；④正确；直线y 恰过一个整点，⑤正确.

（21）（本小题满分13分）

uuuruur设 ，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y x上运动，点Q满足BQ QA，经

过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P

uuuruuur

满足QM MP,求点P的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.

解：由 知Q，M，P三点在同一条垂

直于x轴的直线上，故可设

P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2 y0 (y x2),则y0 (1 )x2 y. ①

再设B(x1,y1),由 ,即(x x1.y0 y1) (1 x,1 y0),

x1 (1 )x ,

解得 ②，将①式代入②式，消去y0，得

y (1 )y .0 1

x1 (1 )x ,22

③，又点B在抛物线上，所以y xy x 11， 22

y1 (1 )x (1 )y .

再将③式代入

1 2x)2 y1 x12，得(

( 1 y ) (x (1 2 )

),

(1 )2x2 (1 )y (1 )2x2 2 (1 )x 2,

2 (1 )x (1 )y (1 ) 0. 因 0,同除以 (1 ),得2x y 1 0

故所求点P的轨迹方程为y 2x 1. 安徽文(3) 双曲线 x y 的实轴长是

（A）2

(B) (C) 4

（3）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

x2y2

1，则a2 4，a 2，2a 4.故选C. 【解析】 x y 可变形为

48

(4) 若直线 x y a 过圆x y x y 的圆心,则a的值为 （A） 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3（4）B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.

【解析】圆的方程x y x y 可变形为(x ) (y ) ，所以圆心为（－1,2），代入直线 x y a 得a 1. （17）（本小题满分13分）

设直线l1:y k1x+1 ，l2:y=k2x 1，其中实数k1 k2满足k1k2+2 0，（I）证明l1与l2相交；

（II）证明l1与l2的交点在椭圆2x+y=1上.

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得k12 2 0.此与k1为实数的事实相矛盾. 从而k1 k2,即l1与l2相交.

2

2

（II）（方法一）由方程组

y

y

2 x , k1x 1k2 k1

，解得交点P的坐标(x,y)为 ，而

k2x 1 y k2 k1.

k2 k1

22

k2 k128 k2 k12 2k1k2k12 k2 422

2x y 2() () 1. 2222

k2 k1k2 k1k2 k1 2k1k2k1 k2 42

2

此即表明交点P(x,y)在椭圆2x y 1上.

22

y 1 k ,1 x y 1 k 1x

（方法二）交点P的坐标(x,y)满足 ，故知x 0，有

y 1 kxy 1 2 k .2

x 代入k1k2 2 0,得

y 1y 1

2 0，整理后，得2x2 y2 1, xx

所以交点P在椭圆2x2 y2 1上.

北京理3.在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是 A. (1,) B. (1, ) C. (1,0) D. (1, )

【解析】： 2sin x2 (y 1)2 1，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1, 选B。

8. 设A（0，0），B（4，0），C（t 4，4），D（t，4）（t R），记N（t）为平行四边形

2 2

2

)，

ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函

数N（t）的值域为 C A．{ 9，10，11 } C．{ 9，11，12 }

B．{ 9，10，12 } D．{ 10，11，12 }

2

14.曲线C是平面内与两个定点F1( 1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a 1)的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则

a. FPF的面积不大于12

2

12

其中，所有正确结论的序号是____________.②③

x2

y2 1，过点（m，0）作圆x2 y2 1的切线l交椭圆G于A，B19.已知椭圆G：4

两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得a 2,b 1,所以c

a2 b2 .

所以椭圆G的焦点坐标为( ,0),(,0)，离心率为e

c . a2

（Ⅱ）由题意知，|m| 1.当m 1时，切线l的方程x 1，

点A、B的坐标分别为(1,

),(1, ),此时|AB| 22

当m=－1时，同理可得|AB|

当|m| 1时，设切线l的方程为y k(x m),

y k(x m),

由 x2得(1 4k2)x2 8k2mx 4k2m2 4 0；设A、B两点的坐标分别

2

y 1. 44k2m2 4

为(x1,y1)(x2,y2)，则x1 x2 ； ,x1x2 22

1 4k1 4k

又由l与圆x y 1相切,得

2

2

8k2m

|km|k2 1

2

1,即m2k2 k2 1.

64k4m 4(4k2m2 4)

] 所以|AB| (x2 x1) (y2 y1) (1 k)[222

(1 4k)1 4k

2

2

4|m|

.由于当m 3时，|AB| 3,因为|AB| 4|m| 2

m 3m2 3

43|m|

3

|m|

2,

且当m 3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

北京文8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A A．4 B．3 C．2 D．1 19．（本小题共14分）

x2y2已知椭圆G:2 2 1(a b

0)），斜率为I的直

ab

线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；（II）求 PAB的面积. （19）解：（Ⅰ

）由已知得c c

解得a ，又b2 a2 c2 4. ax2y2

1. 所以椭圆G的方程为

124

（Ⅱ）设直线l的方程为y x m.

y x m 由 x2得4x2 6mx 3m2 12 0. y2

1

124

设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1 x2),AB中点为E(x0,y0)， 则x0

x1 x2m3m

,y0 x0 m ；因为AB是等腰△PAB的底边，

424

m

1.解得m=2。 所以PE⊥AB.所以PE的斜率k

3m 3

4

2

此时方程①为4x 12x 0.解得x1 3,x2 0.所以y1 1,y2 2. 所以|AB|=32.此时，点P（—3，2）到直线AB：x y 2 0的距离

2

d

| 3 2 2|

2

1932

,所以△PAB的面积S=|AB| d .

222

福建理7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足

PF1:F1F2:PF=4:3:2，则曲线r的离心率等于

A．或

1

232123 B．或2 C．或2 D．或 23322

17．（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l ，问直线l 与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。

17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）

因为MP l，所以

0 m

1 1， 2 0

解得m=2，即点P的坐标为（0，2） 从而圆的半径

r |MP|

故所求圆的方程为(x 2) y 8.

（II）因为直线l的方程为y x m,所以直线l'的方程为y x

m.

2

2

由

y' x m,

2

x 4y

得x2 4x 4m 0, 42 4 4m 16(1 m)

（1）当m 1,即 0时，直线l'与抛物线C相切

（2）当m 1，那 0时，直线l'与抛物线C不相切。

综上，当m=1时，直线l'与抛物线C相切；当m 1时，直线l'与抛物线C不相切。 解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x 2)2 y r2. 依题意，所求圆与直线l:x y m 0相切于点P（0，m），

4 m2 r2,

m 2,

则解得 所以所求圆的方程为(x 2)2 y2 8.

r, r

（II）同解法一。

21.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x

（ 为参数）．

y sin

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x

轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

），判断点P与直线l的位置关系； 2

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． （2）选修4—4：坐标系与参数方程

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。 解：（I）把极坐标系下的点P(4,

2

)化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x y 4 0， 所以点P在直线l上，

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q

的坐标为 ,sin )， 从而点Q到直线l的距离为

2cos( ) 4

d ) ，

6由此得，当cos(

6

) 1时，d

福建文11．设圆锥曲线G的两个焦点分别为F1、F2，若曲线G上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线G的离心率等于 A

132123

A. B2 C．或2 D． 223232

18.（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。 （Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。 18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

y x b,

解：（I）由 2（*） 得x2 4x 4b 0，

x 4y

因为直线l与抛物线C相切，所以 ( 4)2 4 ( 4b) 0,解得b=-1。 （II）由（I）可知b 1,故方程(*)即为x2 4x 4 0，

解得x=2，代入x2 4y,得y 1.故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即r |1 ( 1)| 2, 所以圆A的方程为(x 2) (y 1) 4.

广东理14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别

为

2

2

52 x t x

(0≤ ＜ )和 4(t R)，它们的交点坐标为 .

y sin y t

x2 x 解析:将 (0≤ ＜ )化为普通方程得: y2 1(0 y 1,x 5 y sin 554将x t2,y t代入得:t4 t2 1 0,解得t2 , t y t 0),

4165554x t2 1, 交点坐标为44519. （本小题满分14分）

22

设圆C

与两圆（x y2 4,（x y2 4中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程. （2

）已知点MF0），且P为L上动点，求MP FP的最大值及

此时点P的坐标.

19． （1）解：设C的圆心的坐标为(x,y)，由

题设条件知

| 4,化

x2

简得L的方程为 y2 1.

4

（2）解：过M，F的直线l方程

为

y 2(x，将其代入L

的方程得15x2 84 0.

解得x1

x2 故l与L交点为T1T2 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故|MT1| |FT1| |MF| 2,

|MT2| |FT2| |MF| 2.，若P不在直线MF上，在 MFP中有 |MP| |FP| |MF| 2.故|MP| |FP|只在T1点取得最大值2。

12

x.实数p,q满足p2 4q 0,x1,x2是方程4

x2 px q 0的两根,记 (p,q) max{|x1|,|x2|}.

21.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y

12

p0)(p0 0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p,q),4|p|

有 (p,q) 0;

2

2

（2）设Mab其中a,b满足a 4b＞0，a≠0.过M(a,b)作L的两条切线l1,l2，(,)是定点，(1)过点A(p0,

切点分别为E(p1,

121

p1),E'(P2,P22)，l1,l2与y分别交于F,F'.线段EF上异于两端点的44

|P1|；

2

点集记为X.证明：M(a,b) X P1 P2 (a,b)

15

(3)设D (x,y)y x 1,y (x 1)2 ,当点（p,q）取遍D时，求

44

（p,q）的最小值(记为 min)和最大值(记为 max).

21．解：（１）kAB y'|x p0 (x)|x p0 直线AB的方程为y

1

21

p0， 2

12111

p0 p0(x p0)，即y p0x p02，

4224

q

11

p0p p02，方程x2 px q 0的判别式 p2 4q (p p0)2， 24

两根x1,2

p |p0 p|p0p

或p 0，

222

p0p

| ||p| |0||，又0 |p| |p0|， 22

p p0 0， |p

|

p0ppppp

| |p| |0| |0|，得 |p 0| ||p| |0|| |0|， 222222

p0

|． 2

(p,q) |

2

（２）由a 4b 0知点M(a,b)在抛物线L的下方，

①当a 0,b 0时，作图可知，若M(a,b) X，则p1 p2 0，得|p1| |p2|； 若|p1| |p2|，显然有点M(a,b) X； M(a,b) X |p1| |p2|． ②当a 0,b 0时，点M(a,b)在第二象限，

作图可知，若M(a,b) X，则p1 0 p2，且|p1| |p2|； 若|p1| |p2|，显然有点M(a,b) X；

M(a,b) X |p1| |p2|．

根据曲线的对称性可知，当a 0时，M(a,b) X |p1| |p2|， 综上所述，M(a,b) X |p1| |p2|（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程x ax b 0的两根x1,2 同理点M在直线E'F'上，方程x ax b 0的两根x1,2 若 (a,b) |

2

2

p1p

或a 1， 22

p2p或a 2， 22

p1pppp

|，则|1|不比|a 1|、|2|、|a 2|小， 22222

p1p

| M(a,b) X；又由（１）知，M(a,b) X (a,b) |1|； 22p1

| M(a,b) X，综合（*）式，得证． 2

15

(x 1)2 得交点(0, 1),(2,1)，可知0 p 2， 44

|p1| |p2|，又|p1| |p2| M(a,b) X，

(a,b) | (a,b) |

（３）联立y x 1，y

12

x0 q

112

x0， 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x0,x0)，则4x0 p2

得x02 2px0 4q

0，解得x0 p

又q

15

(p 1)2 ，即p2 4q 4 2p，

44

115 x0 p

t， x0 t2 t 2 (t 1)2 ，

222

max |

x055

|max，又x0 ， max ；

242

p |p 2| 2， min |

q p 1， x0 p

x0

|min 1． 2

广东文8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 D

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l:x 2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求

直线l1的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

MPQ AOP, MP l,且|MO| |MP|.

2

|x 2|,即y 4(x 1)(x 1).

①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线， MPQ MOQ.

又 MPQ AOP, MOQ AOP. 因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).

为分析M(x,0)中x的变化范围，设P( 2,a)为l上任意点(a R). 由|MO|

|MP|（即|x|

x 1

12

a 1. 4

②

故M(x,0)的轨迹方程为y 0,x 1 综合①和②得，点M轨迹E的方程为y2

4(x 1),x 1,

x 1. 0,

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：

E1:y2 4(x 1)(x 1)； E2:y 0,x 1.

当H E1时，过Ｔ作垂直于l的直线，垂足为T ，交E1于D

3

, 1 。 4

再过H作垂直于l的直线，交l于H . 因此，|HO| |HH |（抛物线的性质）。

|HO| |HT| |HH | |HT| |TT | 3

（该等号仅当H 与T 重合（或H与D重合）时取得）。

当H

E2时，则|HO| |HT| |BO| |BT| 1 3. 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

3

, 1 . 4

（3）由图3知，直线l1的斜率k不可能为零。

设l1:y 1 k(x 1)(k 0). 故x

14 4

(y 1) 1,代入E1的方程得：y2 y 8 0. kk k

2

16 4 4

因判别式 2 4 8 2 28 0.

k k k

所以l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点。

又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点， 则此交点的坐标为

k 11 k 1 ,0 ,且 1.即当 k 0时,l1与E2有唯一交点

k2 k

k 1

,0 ，从而l1表三个不同的交点。 k

因此，直线l1斜率k的取值范围是( , ] (0, ).

1

2

湖北理4.将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则

A. n 0 B. n 1 C. n 2 D. n 3 【答案】C 解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n，n 2，所以选C.

14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为 ，直角坐标系x

/Oy//所在的平面为 ， xOx 45. （Ⅰ）已知平面 内有一点P/22,2，

则点P在平面 内的射影P的坐标为； （Ⅱ）已知平面 内的曲线C的方程是

/

/

/0

x

/

2

2

2y/2 2 0，则曲线C/在平面 内的

射影C的方程是 . 【答案】 2,2 , x 1 y2 1

2

解析：（Ⅰ）设点P在平面 内的射影P的坐标为 x,y ，

/

则点P的纵坐标和P/22,2纵坐标相同，

/

所以y 2，过点P作PH Oy，垂足为H，

/

连结PH，则 PHP 45，P横坐标

/0

x PH P/Hcos450 x/cos450 22

/

2

2， 2

所以点P在平面 内的射影P的坐标为 2,2 ；

/ 2 x 2x//

（Ⅱ）由（Ⅰ）得x xcos45 x ，y y，所以 代入曲线C的方

/

2 y y

/0/

程x 2

/

2

2y

/2

2 0，得

2

2x 2

2

2y2 2 0 x 1 2 y2 1，

所以射影C的方程填 x 1 y2 1. 20. （本小题满分14分）

平面内与两定点A1( a,0)，A2(a,0)(a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；

（Ⅱ）当m 1时，对应的曲线为C1；对给定的m ( 1,0)U(0, )，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点N，使得△F1NF2的面积

S |m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分

类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为(x,y)，

当x a时，由条件可得kMA1 kMA2

2

2

2

yyy2

2 m, 2

x ax ax a

2

2

2

即mx y ma(x a)，又A1( a,0),A2(A,0)的坐标满足mx y ma, 故依题意，曲线C的方程为mx y ma.

2

2

2

x2y2

1,C是焦点在y轴上的椭圆； 时,曲线C的方程为2 当m 12

a ma

当m 1时，曲线C的方程为x y a，C是圆心在原点的圆；

2

2

2

x2y2

1，C是焦点在x轴上的椭圆； 当 1 m 0时，曲线C的方程为2

a ma2

x2y2

当m 0时，曲线C的方程为2 1,C是焦点在x轴上的双曲线。 2

ama

（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为x2 y2 a2;

当m ( 1,0) (0, )时，C2

的两个焦点分别为F1( F2( 对于给定的m ( 1,0) (0, )，C1上存在点N(x0,y0)(y0 0)使得S |m|a2的 充要条件是

22① x0 y0 a2,y0 0,

|y|

由①得由②得0 |y|

a, 1002

② 2y0| |m|a.

2

当0

1时，存在点N，使S=|m|a2；

a,

m 0,或0 m 2时，不存在满足条件的点N，

a,即

或m 当m 时，

由NF1 ( x0 y0),NF2 (x0, y0)，

2222可得NF1 NF2 x0 (1 m)a y0 ma,令|NF1| r1,|NF2| r2, F1NF2 ，

ma22

则由NF1 NF2 r1r2cos ma,可得r1r2 ，

cos 1ma2sin 1

ma2tan ， 从而S r1r2sin

22cos 2

于是由S |m|a，可得 综上可得：

当m

2

12|m|

ma2tan |m|a2,即tan . 2m

1 2

时，在C1上，存在点N，使得S |m|a,且tanF1NF2 2;

2

当m 时，在C1上，存在点N，使得S |m|a2,且tanF1NF2 2;

当m( 1,湖北文

11 ( )时，在C1上，不存在满足条件的点N。 22

4．将两个顶点在抛物线y 2px(p 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 C

A．n 0 B．n 1 C．n 2 D．n 3 14．过点（—1,—2）的直线l被圆x y 2x 2y 10 截得的弦长为2，则直线l的斜率为__________。1或

2

2

2

17

7

x cos ,

湖南理9.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 （ 为参数）在极坐标

y 1 sin

系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为 cos sin 1 0，则C1与C2的交点个数为。 答案：2

解析：曲线C1:x2 (y 1)2 1，C2:x y 1

0，由圆心到直线的距离

d

0 1，故C1与C2的交点个数为2. 21.(本小题满分13分）

x2y2

如图7，椭圆C1:2 2 1(a b

0)的离心率为

ab

x2

，轴被曲线C2:y x b 截得的线段长等于C1的长半轴长。 （Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E.

（i）证明：MD ME；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.问：是否存在直线l,使得

S117=?请说明理由。 S232

解析：（I

）由题意知e

ca

2b，又 a，解得a 2,b 1。

ax2

故C1,C2的方程分别为 y2 1,y x2 1。

4

（II）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y kx.

由

y kx

2

y x 1

得x kx 1 0，

2

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1 x2 k,x1x2 1。 又点M的坐标为(0, 1)，所以

kMA kMB

y1 1y2 1(kx1 1)(kx2 1)k2x1x2 k(x1 x2) 1 k2 k2 1 1

x1x2x1x2x1x2 1

故MA MB，即MD ME。

y k1x 1 x 0

（ii）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y k1x 1，由 解得 或2

y 1y x 1

x k112

MB，则点的坐标为,又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标 (k,k 1) 112

k1 y k1 1

11111 k12为( ,2 1).

于是S1 |MA| |MB| |k1|| |

k1k12k12|k1|

8k1

x 1 4k2

x 0 y k1x 1 122

由 2得，解得或， (1 4k)x 8kx 0 1122

y 1 y 4k1 1 x 4y 4 0

1 4k12

18k14k12 1

则点D的坐标为(；又直线的斜率为，同理可得点E的坐标为 ,)22

k11 4k11 4k1

8k14 k1232(1 k12) |k1|1

(,)于是S2 |MD| |ME| 2222

4 k14 k12(1 4k1)(4 k1)

因此

S111

(4k12 2 17) S264k1

11117

(4k12 2 17) 解得k12 4 或k12 。

464k132

由题意知，

1

k1213 k1 ，所以k . 又由点A,B的坐标可知，k

12k1

k1

k1

k12

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y

33x和y x。 22

x2y2

1(a 0)的渐近线方程为3x 2y 0,则a的值为（ ） 湖南文6．设双曲线2

a9

A．4 B．3 C．2 D．1

答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y

3

x，故可知a 2。 a

x 2cos

( 为参数)．9．在直角坐标系xOy中，曲线C

1的参数方程为 在极坐标系（与

y

直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为 (cos sin ) 1 0,则C1与C2的交点个数为．答案：2

x2y2

1，曲线C2:x y 1 0，联立方程消y得7x2 8y 8 0，解析：曲线C1:43

易得 0，故有2个交点。

15．已知圆C:x2 y2 12,直线l:4x 3y 25.

（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．

(2) 圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ． 答案：5，

1 5； 解析：（1

）由点到直线的距离公式可得d 6（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即l1:4x3 y15

与圆相交所得劣弧上，由半径为3可知劣弧所对圆心角为

，3

1

故所求概率为P .

2

6

21．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1． （I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与

CAD EB轨迹相交于点D,E，求的最小值．

解析：（I）设动点P的坐标为(x,y

)|x| 1.

化简得y2 2x 2|x|,当x 0时,y2 4x;当x 0时,y=0.、 所以动点P的轨迹C的方程为,y2 4x(x 0)和y=0(x 0).

（II）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y k(x 1)． 由

y k(x 1)2222

，得kx (2k 4)x k 0. 2

y 4x

4

,x1x2 1． 2k

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是 x1 x2 2 因为l1 l2，所以l2的斜率为

1

．设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得： k

x3 x4 2 4k2,x3x4 1 AD EB (AF FD) (EF FB) AF EF AF FB FD EF FD FB |AF|

|FB| |FD| |EF|

故 (x1 1)(x2 1) (x3 1)(x4 1) 1 (2

42

) 1 1 (2 4k) 12k

1) 8 4 162k 12

当且仅当k 2即k 1时，AD EB取最小值16．

k

m

(x 2)2 y2 m2,x,y R}, 江苏14.设集合A {(x,y)|2 8 4(k2

B {(x,y)|2m x y 2m 1,x,y R}, 若A B , 则实数m的取值范围是

________.

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