导数复习专题习题集

导数复习专题

一、知识要点与考点 （1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。 （4）八个基本求导公式

(C)?＝ ；(xn)?＝ ；(n∈Q) (sinx)?＝ ， (cosx)?＝ ；

(ex)?＝ ， (ax)?＝ ；(lnx)?＝ ， (logax)?＝ （5）导数的四则运算 (u?v)?＝ [Cf(x)]?＝ (uv)?＝ ，(uv)?＝ (v?0) （6）复合函数的导数 设u??(x)在点x处可导，y?f(u)在点u??(x)处可导，则复合函数f[?(x)]在点x处可导， 且y?x?y?u?u?x. 二、考点分析与方法介绍 考点一 导数的概念 1．在曲线y＝x2

＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则

?y?x为（ ） A．Δx＋

1?x＋2 B．Δx－11?x－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－?x 2．物体自由落体运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9．8m/s2

，若lims(1??t)?s(1)?t＝g＝9．8 m/s，那么下面说法正确的是（?t?0A．9．8 m/s是0～1 s这段时间内的平均速度

B．9．8 m/s是从1 s到1＋Δs这段时间内的速度 C．9．8 m/s是物体在t＝1这一时刻的速度

D．9．8 m/s是物体从1 s到1＋Δs这段时间内的平均速度 3.已知函数f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝A，求limf(2x?a)?f(2a?x)x?a= x?a4.若limf(x0?2?x)?f(x0)23?x?03?x?1，则f'(x0)等于（ ） A．3 B．2 C．3 D．2

5.设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是（ ） （1）f(x0)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x?limx?02?x； （2）?lim0??x)；

x?0?x （3）f(x0?2?x)?f(x0??x)（4）f(x0??x)?f(x0?2?x)?limx?0?x

?lim?x.

x?0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 6.设f'(x)?f(x0?3h)0)??3，则limf(x0?hh?0h?

7．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么lim?s?t?0?t为（ ）

A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度 B．时间t时该物体的瞬时速度

C．当时间为△t 时该物体的速度 D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率 考点二 导数的几何意义及求导法则 1.已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为

3?4，则f?(－2)＝ ，[f(?2)]?＝ ． 2.若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x+y－1=0，则

A．f′（x0）>0 B．f′（x0）<0 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）不存在

3.设函数f(x)的导数为f?(x)，且f(x)＝x2

＋2xf?(1)，则f?(2)＝ ． 4.设f（x）=x（1+|x|），则f′（0）等于（ ）

A．0 B．1

1

）

C．－1 D．不存在

5.设f（x）=(x?1)(x?2)???(x?100)，求f′（1）= ．

6.曲线y=x（n∈N）在点P（2，2)处切线斜率为20，那么n为（ ）

A．7

B．6 C．5 D．4

nn27．函数f（x）=xxx的导数是（ ） A．

18x （x>0） B．

3

78x8 （x>0） C．

18x87（x>0） D．

?18x8

8.若y=sin(4x+3)，则y’= . 9.曲线y=sin3x在点P（

?，0）处切线的斜率为 310.若y=1?cosx2，则y’= . 11.求曲线y?11在M(2,)处的切线方程 22(x?3x)412.函数y=cos（sinx）的导数为（ ）

A．－［sin（sinx）］cosx B．－sin（sinx） C．［sin（sinx）］cosx D．sin（cosx）

2

13.函数y=ln（3－2x－x）的导数为（ ）

A．

2 x?3B．

12x?22x?2 C． D．

3?2x?x2x2?2x?3x2?2x?314.下列求导数运算正确的是（ ）

A．（x+

x111）′=1+2 B．（log2x）′= xxln2xx2

C．（3）′=3log3e D．（xcosx）′=－2xsinx

15．函数y=lncos2x的导数为（ ）

A．－tan2x B．－2tan2x C．2tanx D．2tan2x 16．函数y=lnx的导数为（ ）

A．2xlnx

B．

3

x2lnx2

C．

1xlnx D．

12xlnx

17（1）曲线C：y＝ax＋bx＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方

程．

3

（2）求曲线S：y＝2x－x的过点A(1，1)的切线方程． （3）求抛物线y? 考点三 单调性中的应用 知识要点：

函数的单调性：设函数在某区间内可导，则f?(x)＞0?f(x)在该区间上单调递增；

f?(x)＜0?f(x)在该区间上单调递减．

反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f?(x)≥0恒成立（但不恒等于0）； 若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有f?(x)≤0恒成立（但不恒等于0）． 1.三次函数y=f（x）=ax+x在x∈（－≦，+≦）内是增函数，则（ ）

A．a>0

B．a<0 C．a=1 D．a=

3

127x过点（4，）的切线方程。 441 32.函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）

2

A．单调增函数 B．单调减函数 C．在（0，D．在（0，

11）上是减函数，在（，1）上是增函数 ee11）上是增函数，在（，1）上是减函数 eelnx3.函数y=的减区间是

x1324.已知f(x)?x?x?ax?5，

3（１）若f(x)的单调递减区间是(?3,1)， 求a的取值范围 （２）若f(x)在区间[1,??)上单调递增，求a的取值范围

5. 已知函数f?x??x?3ax?bx，其中a,b为实数.若f?x?在区间??1,2?上为减函数，且b?9a，求a的取值范围. 重要结论：

32'''设函数f(x)在(a,b)内可导.若函数f(x)在(a,b)内单调递增（减），则有f(x)?0(f(x)?0).且f(x)不恒为0

6.三次函数f（x）=x－3bx+3b在［1，2］内恒为正值，求b的取值范围 7.已知函数f(x)?3

13x?ax2?ax?1 3（1）若在R上单调，求a的取值范围。

（2）问是否存在a值，使得f(x)在??1,1?上单调递减，若存在，请求a的取值范围。

考点三 极值、最值与值域 函数的极值：

（1）概念：函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有点都有f(x)＜f(x0)

（或f(x)＞f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点． （2）求函数极值的一般步骤：

①求导数f?(x)；②求方程f?(x)＝0的根；③检验f?(x)在方程f?(x)＝0的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值．

函数的最值：①求函数f(x)在区间[a，b]上的极值；②将极值与区间端点函数值f(a)， f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 1．下列说法正确的是（ ）

A．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极大值 B．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极小值 C．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极值

D．当f（x0）为函数f（x）的极值且f′（x0）存在时，则有f′（x0）=0

3

2．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）

32x①y=x ②y=x+1 ③y=|x| ④y=2

A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 3．函数y=

6x的极大值为（ ） 1?x2A．3 B．4 C．2 D．5

3

4．函数y=x－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

2

5．y=lnx+2lnx+2的极小值为（ ）

－1

A．eB．0 C．－1 D．1

32

6．y=2x－3x+a的极大值为6，那么a等于（ ）

A．6 B．0 C．5 D．1

32

7.若函数y=x+ax+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a= ，b= 8.下列结论正确的是（ ）

A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值 B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值

C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x=a和x=b时到达

D．在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最值 9．函数y=f（x）在区间［a，b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′（x）=（ ）

A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能

32

10.设f（x）=ax－6ax+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b，则（ ）

A．a=2，b=29 B．a=2，b=3 C．a=3，b=2 D．a=－2，b=－3

322

11.函数f(x)=x-ax-bx+a,在x=1时有极值10，则a、b的值为

3

12.若函数f(x)=x-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则a的取值范围为

32

13．若f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为

14．已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求函数f(x的解析

式； （2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. 考点四 不等式大小比较 23

2

23思路点拨：主要解决方法是先构造函数，然后利用导数法确定函数的单调性，进而达到解决问题的目的。 1.设函数f(x)=x+ax+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2. （I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．

2.已知函数f(x)?13x?x2?3x?1， g(x)??x2?2x?a 3（1）讨论方程f(x)?k（k为常数）的实根的个数。

（2）若对x??0,2?，恒有f(x)?a成立，求a的取值范围。 （3）若对x??0,2?，恒有f(x)?g?x?成立，求a的取值范围。

（4）若对x1??0,2?，x2??0,2?，恒有f(x1)?g?x2?成立，求a的取值范围。 （5）若对任意x1??0,2?，存在x2??0,2?，f(x1)?g?x2?成立，求a的取值范围。

4

考点五 方程的解个数问题 思路点拨：（1）主要考查讨论方程解或函数零点个数，通过导数法确定单调区间和极值，然后画出草图，最后利用数形结合思想使问题得到解决。（2）三个等价关系：方程的解?函数零点?函数图象交点。

1.已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0，若f(x)在x??1处取得极值，且方程f(x)?m有三个不同的解，求m的取值范围。 考点六 导数在实际生活中的应用 1. 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

2. 某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为R(x)?3700x?45x2?10x3（万元），成本函数为C(x)?460x?5000（万元）。又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)?f(x?1)?f(x)。求： （1）利润函数p(x)及边际利润数Mp(x)；

（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ 考点七 曲边梯形的面积和定积分

23

1.由曲线y=x，y=x围成的封闭图形面积为（ ）

A、

B、 C、

D、

2.由曲线y=

A、

x

，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

B、4 C、

D、6

3.

（e+2x）dx等于（ ）

2

A、1 B、e﹣1 C、e D、e+1

4.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（ ）

A、 B、 C、 D、

5

5．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ ）

A、在t1时刻，甲车在乙车前面 B、t1时刻后，甲车在乙车后面 C、在t0时刻，两车的位置相同 D、t0时刻后，乙车在甲车前面 6.由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ）

A、

B、2﹣ln3 C、4+ln3

D、4﹣ln3

7、如图中阴影部分的面积是（ ） A、 B、

C、

D、

8.曲线y=x2

+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为（ ）

A、

B、 C、

D、1

9.下列计算错误的是（ ）

A、∫﹣ππ

sinxdx=0

B、∫0

1

=

C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππ

sin2

xdx=0

10.计算的结果是（ ） A、4π B、2π C、π

D、

6

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