新编河北省邢台市捷径高考高三第二次模拟考试数学文试卷（含答案

邢台市捷径高考20xx届高三第二次模拟考试

数学（文科）试题

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．

+1=（ ）

A． 1﹣i B． 1+i

C． 2﹣i

D．2+i

2．已知：p：

＜0，q：x2

﹣2x﹣3＜0，则￢p是￢q的（ ）

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．某学生在高三的四次模拟考试中，其数学解答题第20题的得分情况如表： 考试次数x 1 2 3 4 所得分数y 2.5 3 4 4.5 显然所得分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ） A． y=﹣0.7x+1.75 B． y=﹣0.5x+4.75 C． y=0.5x+2.5 D．y=0.7x+1.75 4．集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两个数之和等于5的概率为（ A．

B． C． D．

5．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为（ ） A．

B． 500π C．

D．4000π

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）

A． 4

B． 5

C． 6

D．7

）

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=

n

n﹣1

n

，则=（ ）

n﹣1

A． 4﹣1 B． 4 C． 2﹣1 D．2

8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）

A．

B．

C．

D．1

9．函数f（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（ ）

A．（0，1） B． （1，2） C． （2，e） D．（3，4）

10．已知△ABC为锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cosC﹣sinB）必位于直角坐标系中的（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 11．在△ABC中，A=120°，|AB|=1，△ABC的面积为椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．﹣1

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，

2

则不等式x?f（x）＞0的解集为（ ） A．（﹣2，2） B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该

13．（5分）（20xx?洛阳三模）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围是 _________ ．

14．（5分）（20xx?洛阳三模）在数列{an}中，an=3an﹣1+2，a1=2，则通项an= _________ ．

15．（5分）（20xx?洛阳三模）抛物线x=4y的准线l与y轴交于点P，若直线l绕点P以每秒的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= _________ ． 16．（5分）（20xx?洛阳三模）已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2E，F为边AC的三等分点，则

?

= _________ ．

+

+

=0，|

2

弧度

|=||，

三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）（20xx?洛阳三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsinA=（1）求角B的大小；

（2）求y=2sinA+cos（

2

acosB．

﹣2A）取最大值时角A的大小．

18．（12分）（20xx?洛阳三模）某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，

5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 a 0.3 0.35 b c 频率 （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值．

（2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 19．（12分）（20xx?洛阳三模）如图，四边形ABCD是正方形，点E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DC．将△PBE的位置，且平面PBE⊥平面BCDE． （1）证明：平面PBE⊥平面PEF；

（2）求直线PF与平面BCDE所成的角的正切值．

20．（12分）（20xx?洛阳三模）已知△ABC的内切圆的三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B（﹣，0），C（，0），内切圆圆心为I（1，t）（t≠0），设点A的轨迹为L． （1）求L的方程；

（2）设直线y=2x+m交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|=2

时，求m的值．

21．（12分）（20xx?洛阳三模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e． （1）求f（x）的单调区间；

（2）若k∈Z，且k＜

对任意x＞1都成立，求k的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】 22．（10分）（20xx?洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D． （1）求证：AD=AM；

（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（20xx?洛阳三模）已知直线l的参数方程为

，（t为参数），以坐标原点O为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．

（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．

【选修4-5：不等式选项】 24．（20xx?洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3| （1）求不等式f（x）≥5的解集；

（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．

三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理得sinBsinA=sinAsinB， ∵0＜A＜π， ∴sinA≠0，

∴sinB=cosB， 即tanB=， ∵0＜B＜π， ∴B=

．

2

（2）y=2sinA+cos（+1， ∵B=

，

，

﹣2A）=1﹣cos2A﹣cos2A+sinA=sin2A﹣cos2A+1=sin（2A﹣）

∴0＜A＜∴﹣

＜2A﹣

=

＜π， 时，即A=

时，y有最大值

+1．

∴当2A﹣

18．解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1， 即a+b+c=0.35，

∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件， ∴b=

=0.1，

=0.2，

等级编号为5的恰有4件，∴c=

∴a=0.35﹣b﹣c=0.05．

故a=0.05，b=0.10，c=0.20．

（2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件， 所有可能的结果为：

{x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}， {x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个．

设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同” 则A包含的基本事件为：

{x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个， 故所求概率为：p=

．

19．（1）证明：在Rt△DEF中， ∵ED=DF，∴∠DEF=45°，

在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°， ∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE， ∴EF⊥平面PBE， ∵EF?平面PEF，

∴平面PBE⊥平面PEF．

（2）解：在△PBE中作PO⊥BE，垂足为O，则

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE， ∴PO⊥平面PBE，

连接OF，则∠PFO为直线PF与平面BCDE所成的角． 设AB=4，由（1）得PB=4，PE=2，BE=2∵OE⊥EF，∴EF=∴OF=

，

=

． ，OE=

，

，PO=

，OE=AO=

，

∴tan∠PFO=

20．解：（1）设点A（x，y），由题意得：

|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CP|=|BE|﹣|CE|=（）﹣（）=2，

根据双曲线定义知：点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去点E），

22

∴l的方程为x﹣y=1，x＞1． （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由

2

2

，得3x+4mx+m+1=0，

22

∵直线y=2x+m交x﹣y=1（x＞1）于不同的两点M，N，

22

∴方程3x+4mx+m+1=0的两根均在（1，+∞）内，

∴，

∴m，且m≠﹣2，

，

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则∴|MN|=

==，

∵|MN|=2

2

，∴=2，

∴m=12，

∵m＜﹣，且m≠﹣2，∴m=﹣2．

21．解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，

∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3， ∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1， ∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2， 由f′（x）＞0得x＞

，由f′（x）＜0得0＜x＜

．

，+∞）．

∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（

（2）当x＞1时，令g（x）==，则g′（x）=，

设h（x）=x﹣2﹣lnx，则h′（x）=1﹣=＞0，

h（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0， ∴?x0∈（3，4），且h（x0）=0，

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增． ∴g（x）min=g（x0）=

，

∵h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0， ∴x0﹣1=1+lnx0，g（x0）=x0， ∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】 22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABC+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠ABC，

∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P， ∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，

∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC， ∴△AMC≌△ADC， ∴AD=AM；

（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P， ∴∠PAC=∠PCB=30°，

在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°， ∴BC=1，∠ABC=60°， ∴∠BPC=30°，

∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，

2

由切割线定理得PC=PB?PA=PB（PB+BA）=3， ∴PC=．

【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．解：（1）由

（t为参数）得直线l的普通方程为

又∵∴∴（2）由

∴圆心C到直线l的距离d=直线l与圆C相离．

∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是

【选修4-5：不等式选项】

，即

，

，

；

得圆心C（1，

），半径r=2． ．

．

24．解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=，由式f（x）≥5，可得 ①，

或 ②，或．

解①求得x≥3，解②求得 2≤x＜3，解③求得 x≤﹣10． 故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．

（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解， ∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4， 故t的范围为[﹣1，4]．

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