2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题

生活的色彩就是学习

云南省曲靖市会泽县第一中学2017-2018学年高二数学下学期3月月考试

题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间120分钟。

分卷I

一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) 1.若α，β∈(0，

)，且tanα＝ ，tanβ＝ ，则α－β的值为( ) A．

B． C．

D． 2.已知cosα＝－

，且α∈( ，π)，则tan( －α)等于( ) A． －

B． －7 C．

D． 7

3.若3sinx－ cosx＝2 sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于( ) A． －

B． C．

D． － 4.设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A． (k，k) B． (－k，－k) C． (k2

＋1，k2

＋1) D． (k2

－1，k2

－1)

5.下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A． 1 B． 2

K12的学习需要努力专业专心坚持

C． 3 D． 4

6.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线 C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线

7.已知向量a＝(1，m)，b＝(3m,1)，且a∥b，则m2的值为 ( ) A． －

B． － C．

D．

8.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈

时，f(x)＝sinx，则f

的值为( ) A． －

B． C． － D．

9.函数f(x)＝|sinx－cosx|＋(sinx＋cosx)的值域为( ) A． [－ ， ] B． [－ ，2]

C． [－2， ] D． [－2,2]

10.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin

＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A． 5 B． 6

生活的色彩就是学习

C． 8 D． 10

11.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 · 的值为( ) A． －

B． C．

D． 12.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设 ＝a， ＝b， ＝xa＋yb，则(x，y)为( )

A．

， B． ， C．

， D．

，

分卷II

二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，如果

＝

，则

＝__________.

14.已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且 与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.

15.化简(1－tan 59°)(1－tan 76°)＝________.

16.已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2

＋y2

＝1相交于A，B两点，若|AB|＝ ，则

· ＝________. 三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分) 17.已知f(x)＝－2asin

＋2a＋b，x∈

，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为

K12的学习需要努力专业专心坚持

{y|－3≤y≤ －1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

18.在△ABC中，S△ABC＝15 ，a＋b＋c＝30，A＋C＝

，求三角形各边边长.

19.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝

. (1)求sin

2

＋cos2A的值；

(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.

20.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－

＝an＋

.

(1)数列{}是否为等差数列？说明理由． (2)求an.

生活的色彩就是学习

21.已知α、β、γ∈ ，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．

22.已知sinα＋cosα＝

，α∈ ，sin ＝ ，β∈ .

(1)求sin 2α和tan 2α的值． (2)求cos(α＋2β)的值．

K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习

答案解析

1.【答案】B

【解析】tan(α－β)＝

＝ ＝1.

又0＜α＜

，－ ＜－β＜0，∴－ ＜α－β＜ . ∴α－β＝

. 2.【答案】D

【解析】由于α∈(

，π)，则sinα＝ ＝ ， 所以tanα＝

＝－ ， 所以tan(

－α)＝ ＝7. 3.【答案】A

【解析】3sinx－ cosx＝2

＝2 sin

，又φ∈(－π，π)，∴φ＝－ .

4.【答案】C

【解析】因为(k2

＋1)＋(k2

＋1)＝2k2

＋2＞0，所以a与(k2

＋1，k2

＋1)一定不平行． 5.【答案】B

【解析】结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 6.【答案】C

【解析】由已知得b－c＝(3,3)，∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0，∴a与(b－c)共线． 7.【答案】C

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【解析】因为a＝(1，m)，b＝(3m,1)，且a∥b，所以1×1－m·(3m)＝0，解得m2

＝

. 8.【答案】D

【解析】f

＝f ＝－f ＝－sin ＝sin ＝

. 9.【答案】B

【解析】由题意得f(x)＝

＜

＝

＋ ＋

，

当x∈[2kπ＋

，2kπ＋ ]时，f(x)∈[－ ，2]； 当x∈(2kπ－

，2kπ＋ )时，f(x)∈(－ ，2). 故可求得其值域为[－ ，2]. 10.【答案】C

【解析】由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 11.【答案】B

【解析】如图所示，∵

＝ ＋

＝ ＋

， 生活的色彩就是学习

＝ － ， ∴ · ＝(

＋ )·( － ) ＝－

| |2－ · ＋| |2 ＝－

×1－ ×1×1× ＋ ＝ . 故选B. 12.【答案】C 【解析】令

＝λ . 由题可知，

＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ

＝(1－λ) ＋

λ . 令

＝μ ， 则 ＝ ＋ ＝ ＋μ

＝ ＋μ ＝ μ ＋(1－μ) .

由 ， ，

，解得

，所以 ＝ ＋

，故选C. 13.【答案】

【解析】＝

＝＝＝＝＝.

14.【答案】

【解析】由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则

＝(4,6)． K12的学习需要努力专业专心坚持

又 与a＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝

. 15.【答案】2

【解析】原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°

＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2. 16.【答案】－

【解析】如图，作OD⊥AB于D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝ ，

所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以 · ＝| |·| |cos 120°＝1×1×

＝－ .

17.【答案】∵

≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤ ， ∴－1≤sin

≤ . 假设存在这样的有理数a，b，

则当a＞0时， 解得 (不合题意，舍去)

当a＜0时， 解得

故a，b存在，且a＝－1，b＝1.

生活的色彩就是学习

【解析】

18.【答案】∵A＋C＝

，∴ ＝180°，∴B＝120°. 由S

△ABC＝ acsinB＝

ac＝15 得ac＝60，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos 120°)＝(30－b)2－60得b＝14，∴a＋c＝16，∴a，c是方程x2

－16x＋60＝0的两根， 即 ＝ ＝ ＝ 或 ＝

∴ 该三角形各边边长为14,10和6. 【解析】

19.【答案】解 (1)sin2

＋cos 2A

＝

＋cos 2A

＝

＋2cos2A－1＝

.

(2)∵cosA＝

，∴sinA＝ . 由S

△ABC＝ bcsinA， 得3＝

×2c× ，解得c＝5.

由余弦定理a2

＝b2

＋c2

－2bccosA，可得

a2＝4＋25－2×2×5×

＝13，∴a＝ . 【解析】

20.【答案】(1)∵an＋1－

＝an＋

，

K12的学习需要努力专业专心坚持

∴an＋1－an＝＋， ∴(＋)·(－

)＝

＋

，

∴－

＝1，

∴{

}是等差数列，公差为1.

(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，

∴

＝

＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，

∴an＝n2.

21.【答案】由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ. 两式两边平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝

，

∵α、β、γ∈

，∴β－α∈(－ ， )，∴β－α＝± . ∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝

.

【解析】

22.【答案】(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝

， 即1＋sin 2α＝

，所以sin 2α＝ ， 又2α∈

，所以cos 2α＝ ＝ ， 所以tan 2α＝

＝ .

(2)因为β∈

，β－ ∈ ，所以cos ＝ ，

于是sin 2

＝2sin cos ＝ ，sin 2 ＝－cos 2β，

生活的色彩就是学习

所以cos 2β＝－ ，

又2β∈ ，所以sin 2β＝ . 又sinα＋cosα＝

，所以1＋2sinα·cosα＝ ，得1－2sinα·cosα＝ ，

所以(sinα－cosα)2＝ .

又α∈ ，所以sinα＜cosα.

因此sinα－cosα＝－ ，解得sinα＝ ，cosα＝

. × － × ＝－

所以cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sinαsin 2β＝

. K12的学习需要努力专业专心坚持

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