高中数学应用题专题复习1

高中应用题专题复习

[考点概述]

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。

一、求解应用题的一般步骤： 1、审清题意：

认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)

2、建立文字数量关系式：

把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。

3、转化为数学模型：

将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。

4、解决数学问题：

利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。 5、返本还原：

把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。 二、应用题的常见题型及对策

1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型

常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。

解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。

2、与数列有关的问题

常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。

解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。

3、与空间图形有关的问题

常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。 解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。 4、与直线、圆锥曲线有关的题型

常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。 常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。 5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型

常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。

6、与排列、组合有关的问题 运用排列、组合等知识解决

7、与概率、统计有关的应用问题 一．代数的应用题 1．求函数表达式：

例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。

2．面积问题：

思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？

例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.

3．利润问题：（1）利润=收入?成本 （2）利润=单位利润×销售量

例3．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元. 如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？

例4. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？ 分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价?进货单价= 10? 8 = 2

（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 ?10x个

x 2x

4．与增长率相关的问题：

〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率) 增长率为负：原产量×(1 ? 增长的百分率)

经过x年

经过x年

例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.

例6. 某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.

例7. 电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P. 97. 例2）

5．记数问题：

例8. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm, 将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.

例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求： （1） 第10个正方形的面积 （2） 这10个正方形的面积的和

例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？

6．图表应用题

例11．中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：

存期 年利率（%） 1年 2.25 2年 2.43 3年 2.70 5年 2.88 个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000元，存期3年，试问3年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？

例12．光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.

表一： 表二： 品种 酸奶 奶片

每天加工吨数 3 1

品种 鲜奶 酸奶 奶片 每吨获利润（元） 500 1200 2000 光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：

方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成. 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

二．三角的应用题 1．弧长问题

例13．某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求： （1）飞轮每秒钟转过的弧度数; （2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.

2．电学

例14．电流I随时间t变化的函数关系式是I = Asinωt. 设ω= 100? (rad /秒)，A = 5（安培）. （1）求电流强度I变化的周期与频率; （2）当t = 0,

3．利用三角函数解决有关面积问题

例15．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？

三．解析几何中的应用题

例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？

例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地 球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米， 远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫 星的轨道方程.

B F1131,,,(秒)时，求电流强度I 200100200502R ? 2Rcos? 2Rsin?

y 0 2 4 y x 1 · · 2 x O

例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.

y

FA

A O M B x

例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.

练习：

M A B

P

21某森林出现火灾，火势正以每分钟100m的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火

50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损

的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． （1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d?kvl?21l（k为正的常数），2假定车身长为4m，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。 （1）写出车距d关于车速v的函数关系式;

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD） （1） 若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？ （2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3） 通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？

4在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数

f(n)?100??Ac?o?sn??2??k来刻画. 其中：正整数n表示月份且n??1,12?，例如n?1时表示1月份；A和k是正整数；??0.

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1） 试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；

（2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。

已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道

面积S与r的函数关系S(r)

(2) 由于条件限制r??30,40?,问当r取何值时,运动场 造价最低?（精确到元）

6某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成=10%），售出商品数量就增加

8x成，要求售价不能低于成本价． 5（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y?f(x)，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围．

7国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算

公式为：n?食品消费支出总额?100%，各种类型家庭的n如下表所示：

消费支出总额温饱 50%60% 根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出

总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元。

（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问

2007年底能否达到富裕？请说明理由。

（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36%，其中食品消费支出总额增加12%，

问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由。

8统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地

12800080相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

9北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．

（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的

销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2求出这个最大值．

10某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）

x万件与年促销费用m万元（m?0)满足x?3?k（k为常数），如果不搞促销活动，m?1则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）． （1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

参考答案

1解：（1），t?5?10010?????????????????5分

50x?100x?2（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费

y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）??????????????????9分

1060000?100x?30000? x?2x?2x?2?26000?100(x?2?2)?30000?＝1250?

x?2x?262500＝31450?100(x?2)?????????????????????11分

x?2?31450?2100?62500?36450??????????????????13分

62500当且仅当100(x?2)?，即x＝27时，y有最小值36450．?????14分

x?212.66l?l2?2.16?0.0006， ??4分 2．⑴因为当v?60时，d?2.66l，所以k?602l602＝125?x?∴d=0.0024v2+2 ?????????????????????6分 ⑵设每小时通过的车辆为Q，则Q?1000v1000．即Q?1000v ??12分 ?26d?40.0024v?60.0024v?v66∵0.0024v?≥20.0024v??0.24

vv∴Q≤100012500612500，当且仅当0.0024v?，即v?50时，Q取最大值． ?0.243v3y 答：当v?50?km/h?时，大桥每小时通过的车辆最多．???16分

3设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为fA(x),fB(x) （1）当x=120时 fA(x)=116元 fB(x)=168元

若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元 O x 0?x?60?98?168??,fB(x)??3（2）fA(x)??3x?8060?xx?18???10?10当x?500时fB(x?1)-fB(x)=0.3 方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3 元 (3) 当x?500时fA(x)?fB(x)

0?x?500500?x 0?x?60 fA(x)?fB(x) 60?x?500由fA(x)?fB(x)得x?880 3

综合：通话时间在(

880,?)内方案B较优惠。 34解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12.

由此可得，T?2???12????6；

由规律②可知，f(n)max?f(8)?100A?100k，f(n)min?f(2)??100A?100k

f(8)?f(2)?200A?400?A?2；

又当n?2时，f(2)?200?cos(?6?2?2)?100k?100，

所以，k?2.99，由条件k是正整数，故取k?3. 综上可得，f(n)?200cos????6n?2????300符合条件. （2） 解法一：由条件，200cos????6n?2????300?400，可得 cos????1????6n?2???2?2k??3?6n?2?2k??3，k?Z

?6??6???2k??3?2????n?????2k????3?2??，k?Z ?12k?2?12??n?12k?2?12?，k?Z.

因为n??1,12?，n?N*，所以当k?1时，6.18?n?10.18，

故n?7,8,9,10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”. 解法二：列表，用计算器可算得 月份n ? 6 7 8 9 10 11 人数f(n)

?

383

463

499

482

416

319

故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”.

5解: (1)塑胶 跑道面积

??

10000??r2S????2??????4分?r?(r?8)???8?2r

80000100??8?r?64?(0?r?)????????6分r?22（2） 设运动场造价为y

8000080000?8?r?64?)?30?(10000??8?r?64?)????10分rr80000?300000?120(?8?r)?7680???????12分rr??30,40?,函数y是r的减函数y?150?(?当r=40,运动场造价最低为636510元-----14分

x8)?100(1?x)； 1050x又售价不能低于成本价，所以100(1?)?80?0．

106（1）依题意，y?100(1?所以y?f(x)?20(10?x)(50?8x)，定义域为[0,2]．

（2）20(10?x)(50?8x)?10260，化简得：8x?30x?13?0 解得2?x?213． 41?x?2． 2所以x的取值范围是

7解：（1）因为2002年底刚达到小康，所以n=50% 且2002年每户家庭消费支出总额为9600元，

故食品消费支出总额为9600×50%=4800元 则n2007?4800?5?1205400??41%?40%，即2007年底能达到富裕

9600?5?72013200 （2）设2002年的消费支出总额为a元，则a?5?720?a(1?36%), 从而求得a?10000元，

又设其中食品消费支出总额为b元,则b?5?120?b(1?12%), 从而求得b?5000元。

当恩格尔系数为30%?n?40%时,有30%? 解得5.95?x?20.8.

则6年后即2008年底起达到富裕。

5000?120x?40%，

10000?720x

8.解：（1）若x?40千米/小时，每小时耗油量为y?7升/小时. 共耗油7?所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.

100?17.5升. 40（2）设当汽车以x千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，?0?x?120?，耗油量为S升. 则S?1800100?131280015?3S'?x?， ， x?x?8?x????2640xx?12800080x4?1280令S'?0，解得，x?80. 列表：

x S' S 80? ?0，? 单调减 80 0 极小值11.25 ?80,120? ? 单调增 120 0 170 12所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.

?[2000?400(20?x)](x?7),7?x?20,x?N*9解：（I）依题意y?????????3分

*[2000?100(x?20)](x?7),20?x?40,x?N??400(25?x)(x?7),7?x?20,x?N*∴ y?? ?????????5分

*100(40?x)(x?7),20?x?40,x?N?此函数的定义域为{x|7?x?40,x?N*} ?????????7分

?400[?(x?16)2?81],7?x?20,x?N*?（Ⅱ）y?? ??????????9分 2721089*,20?x?40,x?N?100[?(x?)?24?当7?x?20，则当x?16时，ymax?32400（元）；??????????11分

*

当20?x?40，因为x∈N，所以当x＝23或24时，ymax?27200（元）；??13

分

综合上可得当x?16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．?????15分 10解（1）由题意可知当m?0时，x?1（万件）?1?3?k即k?2

?????2分

8?16x2(元) ?x?3? 每件产品的销售价格为1.5?

xm?1????????5分

∴

2008

年

的

利

润

y?x[1.5?8?16x]?(8?16x?m) x?4?8x?m?4?8(3? ??[2)?m m?116?(m?1)]?29(m?0) m?1?????????????8分

（2）?m?0时,16?(m?1)?216?8 m?116 ?m?1?m?3(万元)时,ymax?21（万元）

m?1??12分

?y??8?29?21,当且仅当答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元

??14分

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