4普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）全国卷（新课程）

普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

参考公式：

2如果事件A、B互斥，那么 2如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那 P(A+B)=P(A)+P(B)． 么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 2如果事件A、B相互独立，那么

kkn-k

P（A2B）=P（A）2P（B）. Pn(k)=CnP(1-P).

一．选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)i是虚数单位， (A)

i= 1?i11111111?i (B) ??i (C) ?i (D) ??i 22222222(2)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3，0)、F2(3，0)，一条渐近线方程为y=2x，那么它的两条准线间的距离是

(A)63 (B)4 (C)2 (D)1

y≤x

(3)设变量x、y满足约束条件 x+y≥2, 则目标函数Z=2x+y的最小值为

y≥3x-6

(A)2 (B)3 (C)4 (D)9 (4)设集合M={x|0＜x≤3＝,N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有

(A)10种 (B)20种 (C)36种 (D)52种

(6)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是

(A)m⊥α，n?β,m⊥n?α⊥β (B)α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n (C)α⊥β，m⊥α,n∥β?m⊥n (D)α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β

(7)已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为al、bl，且a1+b1=5，a1、b1∈N．设cn=abn (n∈N)，则数列{cn}的前10项和等于

*

*

(A)55 (B)70 (C)85 (D)100 (8)已知函数f(x)=asinx-bcosx (a、b为常数，a≠0,x∈R)在x=y=f(

?处取得最小值，则函数43?-x)是 43?，0)对称 2 (A)偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 (B)偶函数且它的图象关于点(

(C)奇函数且它的图象关于点(

3?，0)对称 (D)奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 2(9)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

x

(10)已知函数y=f(x)的图象与函数y=a(a＞0且a=1)的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)

1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 211 (A)[2，+∞) (B)(0，1)∪(1，2) (C)[，1) (D)(0，]

22［f(x)+f(2)-1］．若y=g(x)在区间[

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． (11)(2x+

17

)的二项展开式中x的系数是_______________(用数字作答)． x?????(12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-l，1)，则cosθ=_______.

(13)如图，在正三棱柱ABC-AlB1Cl中，AB=1．若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为_________.

22

(14)设直线ax-y+3=0与圆(x-1)+(y-2)=4相交于A、B 两点，且弦AB的长为23，则a=_______．

(15)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，—年的总存储费用为4x万元，要使—年的总运费与总存储费用之和最小，则x=___________吨． (16)设函数f(x)=

1*

,点A0表示坐标原点，点An(n，f(n))(n∈N).若向量 x?1an?A0A1?A1A2???An?1An,θn是an与i的夹角(其中i=(1，0))，设Sn=tanθl+tan

θ2+?+tanθn，则limSn=_____________.

n??

三．解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)

如图，在△ABC中，AC=2，BC=l，cosC= (Ⅰ)求AB的值；

(Ⅱ)求sin(2A+C)的值．

3． 4

(18)(本小题满分12分)

某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为

3，且各次射击的结果互不影响． 5 (Ⅰ)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (Ⅱ)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(Ⅲ)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． (19)(本小题满分12分)

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的

对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF (Ⅰ)证明FO∥平面CDE；

(Ⅱ)设BC=3CD，证明EO⊥平面CDF.

1BC． 2

(20)(本小题满分12分) 已知函数f(x)=4x-3xcosθ+

3

2

3cosθ，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ＜2π． 16 (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；

(Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1，a)内都是增函数，求实数α的取值范围． (21)(本小题满分14分)

已知数列{xn}、{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且数，n=2，3，4，?)．

(Ⅰ)若x1、x3、x5成等比数列，求参数?的值；

xn?1xyy??n,n?1??n (?为非零参xnxn?1ynyn?1

(Ⅱ)当?＞0时，证明

xn?1xn*

(n∈N)； ?yn?1ynx?ynx1?y1x2?y2?*

＜(n∈N). ????nx2?y2x3?y3xn?1?yn?1??1(Ⅲ)当?＞1时，证明

(22)(本小题满分14分)

x2y2??1(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和 如图，以椭圆

a2b2小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

2

(Ⅰ)证明c=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP2OQ=

12

b． 2

2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(理工类)参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)B (7)C (8)D (9)A (10)D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． (11)280 (12)

3310 (13)

410 (14) 0 (15)20 (16) 1

三．解答题

(17)本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析和解决问题的能力．满分12分． (Ⅰ)解：由余弦定理， AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC =4+1-232313

那么，AB=2．

3=2． 4

(Ⅱ)解：由cosC=

372且0＜C＜π，得sinC=1?cosC?由正弦定理， 44ABBC?, sinCsinA解得sinA=

BCsinC1452,所以,cosA=.由倍角公式 ?AB88sin2A=2sinA2cosA=

57， 16且cos2A=1-2sin2A=

9，故 16sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=

37. 8 (18)本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力．满分12分．

(Ⅰ)解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

P1=P（A2A2A）+P（A2A2A）+P（A2A2A） =??33223333363???????.

5555555551253223162）3??. 555625(Ⅱ)解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

2P2=C33（

(Ⅲ)解：由题设，“ξ=k”的概率为

3223）3（）k-33 5552k-3332 =Ck3（）3()(k∈N*且k≥3). ?1552P(ξ=k)=Ck?13（

所以，ξ的分布列为： ξ P

3 4 ? ? k ? ? 27 125162 6252k-333() Ck2?1（）55

(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分12分．

(Ⅰ)证明：取CD中点M，连结OM． 在矩形ABCD中， OM

1BC，又EF21BC， 2则EFOM．连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形． ∴FO∥EM．

又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，∴FO∥平面CDE．

(Ⅱ)证明：连结FM．由(Ⅰ)和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM， EM⊥CD且EM=

13CD=BC=EF．

22因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．

∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM．从而CD⊥EO． 而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF．

(20)本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分12分．

3

(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x，则f(x)在(-∞，+∞)内是增函数，故无极值．

2

(Ⅱ)解：f′(x)=12x-6xcosθ，令f′(x)=0，得

x1=0，x2=

cos?. 2由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论．

当cosθ＞0时，随x的变化，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

cos?cos?处取得极小值f（），且 2213cos?3cos?. f（）=-cos??241613cos?2 要使f（）＞0，必有-cos?(cos??)＞0，可得

244因此，函数f（x）在x=

0＜cosθ＜

由于0≤θ＜2π，故

3. 2?11??3?＜θ＜或＜θ＜.

2266②当cosθ＜0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且

f（0）=

3cosθ 16若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零. 综上，要使函数f（x）在（-∞，+∞）内的极小值大于零，参数θ的取值范围为

??3?11?(,)?(,). 6226（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（

cos?，+∞）内都是增函数. 2由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

由(Ⅱ),参数θ∈(??3?11?13,)?(,)时，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ关622622于参数θ恒成立，必有2a-1≥

4?33即?a.

84，

综上，解得a≤0或

4?3?a＜1.所以a的取值范围是 84?3，1）. 8(-∞,0]∪［

(21)本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.满分14分.

（Ⅰ）解：由已知x1=x2=1,且

x3xxxxx??2?x3??,4??3?x4??3,5??4?x5??6. x2x1x3x2x4x32若x1、x3、x5成等比数列，则x3 =x1x5,即?2=?6.而?≠0，解得?=±1.

(Ⅱ)证明：由已知，?＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0,yn＞0.由不等式的性质，有

yn?1ynyy。

≥?≥?2n?1≥?≥?n-12=?n-1 ynyn?1yn?2y1另一方面，

xxn?1xx??n??2n?1???n?12??n?1. xnxn?1xn?2x1因此，

yn?1x??n?1?n?1（n∈N*）.故 ynxnyn?1xn（n∈N*）. ?yn?1yn（Ⅲ）证明：当?＞1时，由（Ⅱ）可知yn＞xn≥1（n∈N*）。 又由（Ⅱ）

xn?1xn（n∈N*），则 ?yn?1ynyn?1?xn?1yn?xn， ?xn?1xn从而

yn?1?xn?1xn?1=?n-1（n∈N*）.因此 ?yn?xnxnx?ynx1?y1x2?y2 ????nx2?y2x3?y3xn?1?yn?1≤1+

1?1???()n?1?11?()n??1?1＜

?. ??1?(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.

(Ⅰ)证明：由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

OFOBcb?,即?. OAOFac因此，c2=ab.

解：在Rt△OFA中，

FA=OA2?OF2?a2?c2?b.

于是，直线OA的斜率k0A=

b.设直线BF的斜率为k，则 ck=?1c??. kOAb

这时，直线BF的方程为y=?b（x－c），令x=0，则 cc2ab??a. y=bb所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF的方程为y=kx+a，且

c2abak=2?2?. ②

bbb2

由已知，设P（x1,y1）、Q（x2,y2）,则它们的坐标满足方程组

由方程组③消去y，并整理得

（b2+a2k2）x2+2a3kx+a4-a2b2=0. ④ 由①、②和④，

a4?a2b2a2(a2?b2)a3b2??. x1x2=2b?a2k2b2?a2?aa3?b3b由方程组③消去x，并整理得

（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. ⑤ 由式②和⑤，

aa2b2(1?)ab(1?k)a2b2(b?a)by1y2=2??. 2233ab?aka?bb2?a2?b222综上，得到

a3b2a2b2(b?a)a2b3??3. OP2OQ?x1x2?y1y2?3a?b3a3?b3a?b3

注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得

a2b3a2b3a2b OP2OQ?3??322(a?b)a?b(a?b)?2bac2a(a2?b2)12???(a?ab)2(a?b)2(a?b)2

11?(a2?c2)?b2.22

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