栾城区一中2022-2022学年下学期高二期中数学模拟题(1)

第 1 页，共 14 页 栾城区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

一、选择题

1． “

方程

+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．

A ．必要不充分

B ．充要

C ．充分不必要

D ．不充分不必要 2． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20 【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 3． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2

，则的值为（ ） A ．﹣2或﹣1 B ．1或2 C ．±2或﹣1 D ．±1或2 4． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0

的解集为（，），且a 2

＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ） A

．（﹣，﹣a 2）∪（a 2

，） B

．（﹣，a 2）∪（﹣a 2

，） C

．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ） D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2

，） 5． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[ 【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题. 6． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）

A ．12

B ．34 C. 22

D ．324 7． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ）

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________

___________________________________________________________________________________________________

第 2 页，共 14 页 A

． B ．6 C

． D ．3

8． 若复数z

满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）

A ．1﹣i

B ．1+i

C ．﹣1﹣i

D ．﹣1+i 9． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）

A ．5A ∈

B ．1.5A ?

C ．1A -?

D ．0A ∈ 10．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（

）

A ．4π

B ．12π

C ．16π

D ．48π 11．直线

的倾斜角是（ ） A

． B

． C

． D

．

12．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （ax+1）≤f （x ﹣2

）对任意

都成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．[﹣2，0]

B ．[﹣3，﹣1]

C ．[﹣5，1]

D ．[﹣2，1）

二、填空题

13．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤??-+≥??+-≥?

，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数

a =______．

【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c

，且

，B=45°，面积S=2，则b 等于 ． 15．

已知椭圆

+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈

[

，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．

16．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()

1,1f 处的切线经过圆()2

2:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________． 17．已知

=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．

18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若

C=

，

则= ．

第 3 页，共 14 页 三、解答题

19．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0．

（Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．

20．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2

21ln f x ax a x x =+--，R a ∈． ⑴若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值；

⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围；

⑶设()1sin 8

g x x =

，若对()10,x ?∈+∞，[]20,πx ?∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．

21．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C

的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a a

ì=+?í=+??（t 为参数）． （I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C 的参数方程；

（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．

22．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|

＜

）的部分图象如图所示

（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式

第 4 页，共 14 页

（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其中a ＜c ，f （A ）

=，且

a=，

b=，求△ABC

的面积．

23．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；

第二种方式可截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．

问：如何切割可使钢条用量最省？

24

X

（I ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ．

第 5 页，共 14 页 栾城区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】

解：若方程

+=1

表示椭圆，则满足

，即

， 即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，

当m=1时，满足﹣3＜m ＜5

，但此时方程

+=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．

故“

方程

+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件． 故选：C ．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．

2． 【答案】C

【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为123123

1=??，故选C. 3． 【答案】C

【解析】解：由题设知a 1≠0，当q=1时，S 4=4a 1≠10a 1=5S 2；q=1不成立．

当q ≠1时，S n

=，

由S 4=5S 2得1﹣q 4=5（1﹣q 2），（q 2﹣4）（q 2﹣1）=0，（q ﹣2）（q+2）（q ﹣1）（q+1）=0，

解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

==q ，

∴=﹣1

或=±2．

故选：C ．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

4． 【答案】A

【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0

的解集为（

，），且a2

＜，

∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0

的解集为（﹣

，﹣），

则不等式f（x）g（x）＞0

等价为

或，

即a2＜x

＜

或﹣＜x＜﹣a2，

故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2

，），

故选：A．

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．

5．【答案】

C

6．【答案】B

【解析】

试题分析：在棱长为的正方体

1111

D

ABC A B C D

-

中，

11

BC AD

==AF x

=

x=

解得

4

x=，即菱形

1

BED F

44

=，则

1

BED F在底面ABCD上的投影四边形是底边

为3

4

，高为的平行四边形，其面积为3

4

，故选B.

考点：平面图形的投影及其作法.

7．【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得：S15

==15a8=45，则a8=3．

故选：D．

8．【答案】A

【解析】

解：=i

，则=i（1﹣i）=1+i，

可得z=1﹣i．

故选：A．

9．【答案】A

【解析】

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第 7 页，共 14 页 试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ?-?∴?-?，即B 、C 正确，又因为0N ∈且05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系.

10．【答案】B

【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，

∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，

∴几何体的体积V=π×22×3=12π．

故选B ．

【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．

11．【答案】A

【解析】解：设倾斜角为α，

∵

直线

的斜率为，

∴tan α

=，

∵0°＜α＜180°，

∴α=30°

故选A ．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

12．【答案】A

【解析】解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，

则f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，

则f （x ﹣2）在区间

[，1]上的最小值为f （﹣1）=f （1）

若f （ax+1）≤f （x ﹣2

）对任意都成立，

当时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax ≤0恒成立

则﹣2≤a ≤0

故选A

二、填空题

13．【答案】2±

【解析

】

14．【答案】5．

【解析】解：

∵，B=45°，面积S=2，

∴

S=

acsinB==2a=2．

∴a=1

由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=12+（

4）2﹣2×1

×

×=25

∴b=5．

故答案为：5．

【点评】本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．

15．【答案】[

，﹣1]．

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0

≤α≤）；

F（﹣c，0）；

∵AF⊥BF，

∴=0，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，

cos2α

==2

﹣，

故cosα

=，

而

|AF|=，

|AB|==2c，

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而sin θ

=

=

=

，

∵θ∈

[

，

]， ∴sin θ∈

[

，]，

∴

≤

≤，

∴

≤

+

≤，

∴，

即，

解得，≤e

≤﹣1； 故答案为：[

，

﹣1]．

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

16．【答案】2-

【解析】结合函数的解析式可得：()3

11211f =-?=-，

对函数求导可得：()2

'32f x x =-，故切线的斜率为()2

'13121k f ==?-=，

则切线方程为：()111y x +=?-，即2y x =-，

圆C ：()2

2

2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.

17．【答案】

．

【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，

∴

，解得b=1，a=2．

∴|a ﹣bi|=|2﹣

i|=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

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18．

【答案】=

．

【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，

∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2

B ．

再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2

，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．

C=，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ， 由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2

+ab ． 化简可得 5ab=3b 2

，∴

=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1+a ﹣2x ﹣3x 2

，

由f ′（x ）=0，得x 1

=，x 2

=，x 1＜x 2， ∴由f ′（x ）＜0得x

＜，x

＞；

由f ′（x ）＞0

得＜x

＜；

故f （x ）在（﹣∞

，

）和（

，+∞）单调递减，

在（

，

）上单调递增；

（Ⅱ）∵a ＞0，∴x 1＜0，x 2＞0，∵x ∈

，当

时，即a ≥4

①当a ≥4时，x 2≥1，由（Ⅰ）知，f （x ）在上单调递增，∴f （x ）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由（Ⅰ）知，f （x ）在单调递增，在上单调递减， 因此f （x ）在x=x 2

=

处取得最大值，又f （0）=1，f （1）=a ，

∴当0＜a ＜1时，f （x ）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f （x ）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a ＜4时，f （x ）在x=0处取得最小值．

20．【答案】⑴2a =⑵11,,64

????-∞?+∞ ????

???

⑶2

【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）

在点

第 11 页，共 14 页 11f （，（））处的切线方程，代入点

211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（）， 分析可得必有()()215218

f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案．

试题解析：

⑵()()()

211'ax x f x x -+=，

∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，

410{ 610

a a -≥∴-≥，得14a ≥； 若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，

410{ 610

a a -≤∴-≤，得16a ≤， 综上，实数a 的取值范围为11,,64????-∞?+∞ ?????

??

； ⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥， ()max 128

g x g π??== ???， ()min 158f x ∴≥，即()()21521ln 8

f x ax a x x =+--≥， 由()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x

+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；

当0a >时，由()'0f x =，得12x a =

或1x =-（舍去）， 当102x a <<

时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当12x a

>时，()'0f x >，()f x 单调递增．

第 12 页，共 14 页 ()min 11528f x f a ??∴=≥ ???，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117ln 2228

a a -?≥， 设()1ln 2h x x x =-，()21102h x x x

∴=+>'，()h x ∴单调递增， a Z ∈，2a ∴为偶数， 又()172ln248h =-<，()174ln488

h =->， 24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时 21|

22|2=+-k k

0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去） 设点)0,2(-B

，2AB k ==- 故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--

.

22．【答案】

【解析】解：（

Ⅰ）∵由图象可知，T=4

（﹣）=

π， ∴

ω=

=2， 又

x=时，2×

+φ=+2k π，得φ

=2k π﹣，（k

∈Z ） 又∵|φ|＜，

∴φ=﹣，

∴f （x ）=sin

（2x ﹣）…

6分

（Ⅱ）由f （A ）=，可得sin （2A ﹣

）=，

∵a＜c，

∴A为锐角，

∴2A

﹣∈

（﹣

，），

∴2A

﹣

=，得

A=，

由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣

2，即：c2﹣3c﹣4=0，

∵c＞0，∴解得c=4．

∴△ABC的面积

S=

bcsinA=

=…12分

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．

23．【答案】

【解析】解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，

根据题意得约束条件是，目标函数是z=x+y，

画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分．

由

，解得，

此时z=11.4，但x，y，z都应当为正整数，

∴点（3.6，7.8）不是最优解．

经过可行域内的整点且使z最小的直线是y=﹣x+12，

即z=12，满足该约束条件的（x，y）有两个：（4，8）或（3，9），它们都是最优解．

即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，是中档题．

24．【答案】

【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，

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则P（A）=0.2×0.2=0.04．

（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10

且P（ξ=7）=0.04，

P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，

P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，

P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，

∴ξ的分布列为：

ξ7 8 9 10

P 0.04 0.21 0.39 0.36

ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

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