淮海工学院04-05-2高等数学(B)期末模拟试卷（二）(2)

04-05-2高等数学（B）期末模拟试卷（二）

一、选择题（10×3 = 30分） 1. 设f(x,y)?ln(x?（A）ln(x?x2?y2)，其中x?y?0，则f(x?y,x?y)?------（ B ）

y) （B）2ln(x?y) （C） ln(x?y) （D）2ln(x?y)

????2. 设a?(1,2,1)，b?(?1,3,2)，则a?b?------------------------------------------（ C ）

（A）(?1,?3,?5) （B）(?1,?3,5) （C）(1,?3,5) （D）(1,3,5) 3. 若直线2x?3y?z?2平行于平面4x??y?z?0，则??--------------------（ A ） （A）?9 （B）?3 （C）?2 （D）0

4. 设f(x,y)?x2?xy?y2的驻点为(0,0)，则f(0,0)是-------------------------（ C ） （A）f(x,y)的极小值 （B）f(x,y)的极大值 （C）f(x,y)的非极值 （D）非零值

5. 设z?f(,)，且f(u,v)具有一阶连续偏导数，则

yxxy?z?--------------------（ C ） ?x（A）yfu?6. 若I1?1y1111fv （B）yfu?2fv （C）?2fu?fv （D）?2fu?fv yyyxxyx3?yd?，I2???3x3?yd?，

D??D其中D?(x,y)1?x?2,?1?y?0,则-----------------------------------------------（ B ） （A）I1?I2 （B）I1?I2 （C）I1?I2 （D）I1?I2

7. y???4y??0的通解为----------------------------------------------------------------------（ D ） （A）y?c1e3?2x???c2e2x（B）y?(c1?c2x)e4x（C）y?c1x?c2e4x（D）y?c1?c2e4x

28. 由y?x,x?y所围成的图形绕x轴旋转一周得到的旋转体体积可表为----（ C ） （A）?

?10(x?x)dx （B）??(x?x)dx（C）??(x?x)dx（D）??(x2?x6)dx

0003123161x2n9. 幂级数?n的收敛半径为--------------------------------------------------------------（ C ）

n?12?（A）

11 （B） （C）2 （D）2 2210. 微分方程ylnxdx?xlnydy?0满足初始条件y(e)?e的特解为--------------------（ ） （A）lnx2?lny2?0 （B）ln2x?ln2y?2 （C）ln2x?ln2y?0 （D）ln2x?ln2y?2 二、计算题（4×7 = 28分） 1. 设z?arccos解：

xx?y22，求dz(1,1)

x?y?dz??1?(1xx2?y2)2?x?y222x2x2?y22?dx?1?(1xx2?y2)2?xyx2?y2x?y22dy?dz

(1,1)11??dx?dy

22y，求??zdxdy. D由y?1?x2,y?x,y?3x所围。 xD?12. 设z?arctan解：

??D21rsin?7? zdxdy???3d??arctan?rdr???3?d??rdr?00rcos?57644?23.求a(a?0)值，使两曲线y?ax，y?x?2a所围成的区域面积为18.

?y2?ax?x?a解：?或 ??1?y?x?2a?y1??aA??(2a?y??a2a?x2?4a ??y2?2a12y)dy?18?a?2 a

?(x?1)y??2y?(x?1)4?. 4. 解微分方程?1y(0)??2?2y?(x?1)3 x?12,Q(x)?(x?1)3 P(x)??x?1解：y??(?1)， ?P(x)dx??2lnx???Q(x)e 故通解为

P(x)dxdx??(x?1)3?e?2ln(x?1)dx?y(0)?2121(x?1)2 2 y?(x?1)[(x?1)?C]?y?

三、（9分）设I?2121(x?1)4 2?dx?02?yy21x0322?xyy3（1）改变积分次序； dy??dx?dy，

10y?2y?2（2）计算I的值。 解：I=I?

四、（8分）记曲线

?dy?0131y1y31 dx??(2?y?y2)dy??y3(1?y)dy?00y?2y?2201xz?y?ln在点M0(x0,y0,z0)处的切平面为?，若已知直线 2zx?y?3?z与?垂直，求点M0(x0,y0,z0)及?的方程. 2x1解： 设F(x,y,z)?y?ln?z，则

z2L: (Fx,Fy,Fz)M0?(111,1,??) x0z02?已知直线L:x?y?3?z与?垂直 2?111??x01z021???x0?,z0?2 21?12代入

1xz?y?ln可得：y0?1?2ln2 2z1 故?的方程为：2(x?)?(y?1?2ln2)?(z?2)?0，即 2x?y?z?2ln2?0

2

五、（8分）当?6?x??2时，求证：

?[(2)n?0?1n?111 . ?()n?1](x?4)n?23x?3x?211??证明：2x?3x?221111?x?4n1?x?4n???()??() x?43x?42?23n?03n?01?1?23 =

?[(2)n?0?1n?11?()n?1](x?4)n 3六、（8分）连续函数f(x)的定义域[0,??)，且满足f(t)?其中D?{(x,y)|x2?y2?t,y?0},求f(x). 解：f(t)???f(xD2?y2)dxdy?1，

??0d??t0f(r)rdr?1?2r2?u?2?t0f(u)du?1

?t 两边求导得：

f?(t)??2f(t)?f(t)?Ce2，

而f(0)?1 故 C?1 因此 f(x)?e?x2

七、（9分）要造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价均为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？

解：设边长分别为x,y,z ， 则

18xy?6(2xz?2yz)?216?3xy?2xz?2yz?36?0

V?xyz

令 F(x,y,z)?xyz??(3xy?2xz?2yz?36)

?Fx?yz?3?y?2?z?0?F?xz?3?x?2?z?0(x?0,y?0,z?0)?y??F?xy?2?x?2?y?0?z??3xy?2xz?2yz?36?0

?x?2??y?2 ?z?3?

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