立体几何复习专题（一）（学生卷）

学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）

专题一：空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,?2]。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作a?b。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：?0，

??。 2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角， 且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角，

Pa则有cos?1cos?2?cos? 。

?1?由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 cA?O2内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直

Bb线所成角中最小的角。

?3．二面角

（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为?,?的二面角记为??l??。 （2）二面角的平面角： l?过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内 ．．．．．．作棱的两条垂线OA,OB，则?AOB叫做二面角

OO'??l??的平面角。

说明：①二面角的平面角范围是?0,??，因此二面

BB'AA'角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， ?组成直二面角的两个平面互相垂直。

（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理：

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面积射影定理：已知?ABC的边BC在平面?内，顶点A??。设?ABC的面积为S，它在平面?内的射影面积为S1，且平面?与?ABC所在平面所成的二面角为?(00???900)，则

Scos??1。

S注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系； ?ABC可以推广到任意的多边形。

②在二面角的平面角不易作时，经常采用 “面积射影定理法”。

AS?BDA1S1C?二、能力巩固

考点一：异面直线所成的角

例1. 如图所示，A1B1C1?ABC是直三棱柱，

?BCA?90，点D1、F1分别是A1B1和AC11

的中点，若BC?CA?CC1，求BD1与AF1所 成角的余弦值。（答案：

变式训练1：

三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，

0B1 D1

A1 F1

C1

30） 10B A

C

O1 A1 B1

?O1OB?60?,?AOB?90?，且OB?OO1?2,

OA?3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦。

O （答案：

B

1） 7A

考点二：直线和平面所成的角

例2. 如图，在三棱柱ABC?A?B?C?中，四 边形A?ABB?是菱形，四边形BCC?B?是矩形，

C? C?B??AB,C?B??2,AB?4,?ABB??600， A? 求AC?与平面BCC?B?所成角的正切。

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B?

C

A B

学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷） 变式训练2：

（1）在120的二面角P?a?Q的两个面P与Q内分别有两点A、B，已知点A和点B到棱的距离分别为2cm,4cm，且线段AB?10cm。求：

①直线AB和棱a所成角的正弦值；②直线AB和平面Q所成角的正弦值。

ABC内的（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ） A．

（3）如图，在矩形ABCD中，AB?33,BC?3，沿对角线BD将?BCD折起，使点C移到C?点，且C?点在平面ABD上的射影O恰在AB上。求直线AB与平面BC?D所成角的大小。

33 C?(C) B A

O A 3 B

D C D

B （4）①AB为平面?的斜线，则平面?内过A

01 3 B．2 3 C．3 3D．

2 3?点的直线l与AB所成的最小角为_____________， 最大角为__________________。平面内过A点的 直线l与AB所成角?的范围为_______________。

②AB与平面?内不过A点的直线所成的角的范围 为_______________________。

0??? ? 0 ??A l B? ③直线l1与平面?所成的角为30，直线l2与l1所成角为60，则l2与平面?所成角的取值范围是______________________。

0④（08四川卷９）设直线l?平面?，过平面?外一点A与l,?都成30角的直线有且只有 ( )

（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条

⑤过正方体的顶点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。

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学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷） 考点三：平面和平面所成的角——二面角的求法 例3．（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为 正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点。 （1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD?2DC，求二面角A?EF?D的大小。

变式训练3:

（2008海淀区高三年级第一学期期末练习）如图所示， 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?900,CB?1,

SFDAEBCC1

B1

M

CA?3,AA1?6，M为侧棱CC1上一点， AM?BA1。

（1）求证：AM?平面A1BC；

A1 （2）求二面角B?AM?C的大小； （3）求点C到平面ABM的距离。 C A

变式训练4: （1）（08全国Ⅰ18）四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面

B

A

ABC?底面BCDE，BC?2，CD?2，AB?AC。 ①证明：AD?CE；

?②设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C?AD?E的大小。

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B C D

E

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（2）S为直角梯形ABCD所在平面外一点,?ABC?900,SA?

1面ABCD,SA?AB?BC?1，AD?，求平面SCD与平面

2SAB所成二面角的大小。

S

B A C

D

（3）（08全国Ⅰ16）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为

3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 。 3

（4）三棱锥A?BCD中，AC?BD,AD?BC,AB?CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为?、?、?，则cos??cos??cos??____________________。

例4．如图所示，已知平行六面体 ABCD?A1BC11D1的底面ABCD D1 是矩形，且侧面ABB1A1?底面

C1 B1 M

ABCD，AB1?BB1,AN?3NB, M、E分别是B1C、AB的中点， F是EC的中点，AB?4,MN?2，

侧棱与底面ABCD成45的角。 （1）求证：MF?底面ABCD； （2）求二面角M?AB?C的大小； （3）求MN与平面BCE所成角的大小。 1

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0A1 D C

F A E

N B

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课后作业（一）：

1．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则 A1B与AC1所成的角为（ ） （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200

A1ACBC1B1（2）（08全国Ⅱ10）已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）

1223 B． C． D． 3333（3）Rt?ABC的斜边在平面?内，顶点A在?外，?BAC在平面?内的射影是?BA?C，则?BA?C的范围是________________。

（4）从平面?外一点P向平面?引垂线和斜线，A为垂足，B为斜足，射线BC??，这时

?PBC为钝角，设?PBC?x,?ABC?y，则（ ）

A.x?y B.x?y C.x?y D.x,y的大小关系不确定

A．

（5）相交成60°的两条直线与一个平面?所成的角都是45°，那么这两条直线在平面?内的 射影所成的角是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线

段与平面?所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面?所成的角是 。

（7）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）

263 C． D． 233D1（8）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，

M,N分别是A1A,AB上的点，若?NMC1?900，

B1A1那么?NMB1的大小是（ ）

A．

B．

A.大于90 B.小于90 C. 90 D.不能确定

01 2C100MDC

A BN（9）已知SO??ABC所在平面于O点，且S到A,B,C三点等距离，若?ABC中，有

cosAcosB?sinAsinB，则O点（ ）

A.必在?ABC的某一边上 B.必在?ABC外部（不含边界） C.必在?ABC内部（不含边界） D.以上都不对

（10）如果直角三角形的斜边与平面?平行，两条直角边所在直线与平面?所成的角分别为 ?1和?2，则（ ）

A．sin2?1?sin2?2?1

B．sin2?1?sin2?2?1

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C．sin2?1?sin2?2?1 D．sin2?1?sin2?2?1 （11）（08陕西卷9）如图，???，????l，A??，B??，

A，B到l的距离分别是a和b，AB与?，?所成的角分别 是?和?，AB在?，?内的射影分别是m和n，若a?b，

则（ ）

A．???，m?n

B．???，m?n

?

a b B ? A l C．???，m?n D．???，m?n

（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。 2.已知直三棱柱ABC?A1BC11,AB?AC,F为BB1上一点，BF?BC?2a,FB1?a。 （1）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明：EF?FC1； （2）若A1B1?3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的正弦值。

C

E

A

F

B1 C1

A1

3.已知直角三角形ABC的两直角边AC?2,BC?3，P为斜边AB上的一点，现沿CP将?ACP折起，使A点到A?点，且A?在面BCP内的射影在CP上。当A?B?7时，求二面角 P?A?C?B的大小。

A?(A)

A

P

2

C B C 3

4．如图正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为a，侧棱

B D ?P B

A1DFEGC1B1CB2a，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平 2\\面交上底面于DB1。（1）试确定D点的位置，并证明你

长为

的结论；（2）求平面AB1D与侧面AB1所成的角及平面 （3）求A1到平面AB1D的距离。 AB1D与底面所成的角；

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A学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷） 5．如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E。 （I）求证：BD⊥A1C；

（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；

（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小。

6.（08四川卷19）如图，平面ABEF?平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

∥?BAD??FAB?90?，BC 11∥AF。 AD，BE 22（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小。

F

E B

A C D

7．（08江西20）如图，正三棱锥O?ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为 2。E，F分别是AB，AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA，OB，OC或其延长线分别相交于A，B1，C1，已知OA1?1（1）证明：B1C1?平面OAH； （2）求二面角O?A1B1?C1的大小。

O

A1 A

E F H B B1 C C1

3。 2

O分别为上、下底面的中8．如图，已知平行六面体ABCD?A1BC11D1的底面为正方形，O1、

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ABCD上的射影是O。 心，且A1在底面

（1）求证：平面O1DC?平面ABCD；

F在何处时，EF?AD？ （2）若点E,F分别在棱AA1,BC上，且AE?2EA1，问点

0（3）若?A，求二面角C?AA1?B的大小（用反三角函数表示）。 AB?601 D1 C1 O1 A1 B1

E

D

C O A F B

E是棱BC的中点。 9．如图，正四棱柱ABCD?A1BC11D1，侧棱长为3，底面边长为2，

（1）求证：BD1//平面C1DE； （2）求二面角C1?DE?C的大小；

（3）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP?平面C1DE？证明你的结论。

D1 A1 B1 C1

D A B C

E

10.（08山东卷20)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，?ABC?60?,E，F分别是BC, PC的中点。

（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

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6，求二面角E—AF—C的余弦值。 2学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）

课后作业（一）答案：

1．（1）C； （2）C； （3）(900,1800]； （4）C； （5）D； （6）略； （7）D； （8）C； （9）B； （10）B； （11）D；

D 1 C 1 （12）解：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符 合题意要求，这样的截面共有8个。

A 1 D A 3.arctan2（或arcsinB B 1 C

2.（1）转证线面垂直；（2）sin??410。 1563）。 ,arccos334.（1）D为AC（2）450;arctan2；（3）11的中点；5.（1）三垂线定理；（2）90；（3）arccos06a。 615。 51AD得 2F ∥6．解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC GBGCBC1???，延长FE交交AB的延长线于点G?， GAGDAD2E N M G?EG?BBE1G?BGBD A ???．故?同理可得，即G?与G重合，

B C G?FG?AAF2G?AGAG(G?)

因此直线CD，EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面。

（Ⅱ）设AB?1，则BC?BE?1，AD?2．取AE中点M，则BM?AE，又由已知得，AD?平面ABEF，故AD?BM，BM与平面ADE内两相交直线AD，AE都垂直， 所以BM?平面ADE，作MN?DE，垂足为N，连结BN，由三垂线定理知BN?ED，

21AD?AE3， ，MN???22DE3BM66?故tan?BNM?，所以二面角A?DE?B的大小为arctan。 MN227．解：（1）依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，则EF∥平面O OBC，所以EF∥B1C1．又H是EF的中点，所以AH?EF， 则AH?B1C1．因为OA?OB，OA?OC， M C A1 ?BNM为二面角A?ED?B的平面角，BM?所以OA?平面OBC，则OA?B1C1， 因此B1C1?平面OAH。

（2）作ON?A1B1于N，连C1N．因为OC1?平面OA1B1， 根据三垂线定理知，C1N?A1B1，?ONC1就是二面角

F A N H E

C1

B B1

O?A1B1?C1的平面角，作EM?OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则

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x3OB1OA1?，解得x?3， 得?x?12MB1EM3OA1?OB13225，即OB1?OC1?3，在Rt△OA1B1中，A1B1?OA1?OB1?则ON?， ?2A1B15OC1?5，故二面角O?A1B1?C1的大小为arctan5。 所以tan?ONC1?ON68．（1）略；（2）F为BC棱上靠近B的三等分点时满足；（3）arcsin。

3359．（1）略；（2）arctan；（3）不存在这样的点P。

2EM?OM?1，设OB1?x，由

10．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形。因E为BC的中点，所以AE⊥BC。

又BC∥AD，因此AE⊥AD。因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE。而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AE⊥PD。

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，在Rt△EAH中，AE=3，所以当AH最短时， ∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大， 此时tan∠EHA=

AE36??,因此AH=2， AHAH2又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

33，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

2238303222SO=AO·sin45°=，又SE?EO?SO???,

449432SO1515?4?,即所求二面角的余弦值为在Rt△ESO中，cos∠ESO=。 SE55304在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=

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x3OB1OA1?，解得x?3， 得?x?12MB1EM3OA1?OB13225，即OB1?OC1?3，在Rt△OA1B1中，A1B1?OA1?OB1?则ON?， ?2A1B15OC1?5，故二面角O?A1B1?C1的大小为arctan5。 所以tan?ONC1?ON68．（1）略；（2）F为BC棱上靠近B的三等分点时满足；（3）arcsin。

3359．（1）略；（2）arctan；（3）不存在这样的点P。

2EM?OM?1，设OB1?x，由

10．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形。因E为BC的中点，所以AE⊥BC。

又BC∥AD，因此AE⊥AD。因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE。而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AE⊥PD。

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，在Rt△EAH中，AE=3，所以当AH最短时， ∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大， 此时tan∠EHA=

AE36??,因此AH=2， AHAH2又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

33，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

2238303222SO=AO·sin45°=，又SE?EO?SO???,

449432SO1515?4?,即所求二面角的余弦值为在Rt△ESO中，cos∠ESO=。 SE55304在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=

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