土塑性力学

第一章 绪论

土塑性力学的研究对象及其特点

一、弹塑性材料：

变形包括弹性变形、塑性变形两种。

物体外力作用下会产生变形，能恢复的那部分变形为弹性变形，不能恢复的那部分变形为塑性变形。

弹性变形阶段：???e 应力与应变一一对应，采用弹性理论进行研究 弹塑性变形阶段：???e??p应力与应变不一一对应，采用塑性理论进行研究 弹性变形 线弹性（各向同性、各向异性）

非线弹性 几何（大变形：描述方法：拉格朗日法，殴拉法） 材料

1. 金属材料的基本试验：

（1）钢材拉伸试验：比例极限?p，弹性极限?e，屈服应力?s，强度极限?b

钢材圆柱形试件在常温下的典型应力-应变曲线。 弹性变形阶段与弹塑性阶段有较明确的界限。

卸荷载——弹性变形，塑性变形，加工硬化 加载应力?s

卸荷后重新加载没有出现强化现象，被称为理想塑性或塑性流动阶段。

卸荷曲线与加荷曲线构成一个滞后回线，其平均斜率与初始阶段的弹性模量相近，可理想化为一条直线。

卸荷阶段一般金属?p????E?不变，卸荷模量与初始模量相同。

单向压缩压缩一般也有类似情况，压缩时候的弹性极限与拉伸时候的弹性极限相近。 包辛格效应（包氏效应）—拉伸塑性变形后，使得压缩屈服应力有所降低，反之成立。

?s??s?0

有些材料没有包氏效应即：?s???s???s （2）静水压力试验：

试验表明：在压力不大的情况下，体积应变实际上与静水压力成线性关系。对于一般金属材料，可以认为体积变化基本上是弹性的，除去静水压力后变形可以完全恢复，没有残余

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??的体积变形。因此，在传统塑性理论中常常假定不产生塑性体积变形，而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比，往往是可以忽略的，因此在塑性变形较小时，忽略体积变化，认为材料是不可压缩的假设是有实验基础的。

在压力不大的情况下，静水压力对材料的屈服极限的影响完全可以忽略。因此在传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。但也有一些金属例外，如铸造金属等。 2. 岩石类介质的压缩试验结果

OA段曲线缓慢增大，反映岩石试件内裂缝逐渐压密，体积缩小。进入AB段斜率为常数或接近常数，可视为弹性阶段，此时体积仍有所压缩，B点称为屈服强度。BC段随着载荷继续增大，变形和载荷呈非线性关系，这种非弹性变形是由于岩石内微裂缝的发生与发展，以及结晶颗粒界面的滑动等塑性变形两者共同产生。对于脆性非均质的岩石，前者往往是主要的，这是破坏的先行阶段。B点开始，岩石就出现剪胀现象（即在剪应力作用下出现体积膨胀）的趋势，通常体应变速率在峰值C点达到最大，并在C点附近总体积变形已从收缩转化为膨胀。CD段曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化或加工软化，这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在软化阶段内，岩土类材料成为不稳定材料，传统塑性力学中的一些结论不适用这种材料。另外，从上述试验还可以看出还具有剪胀性。

OA段压密，AB段弹性阶段，BC段非线性，CD段加工软化阶段（剪胀、）

当反复加载时，实际上应力应变曲线形成一定的滞环，但通常仍可近似按直线代替。OA段可以忽略，卸载是弹性的。

弹塑性耦合与弹塑性不耦合（与金属材料不同）：卸载模量与初始阶段模量相等与否。

围压对应力应变曲线和岩体塑性性质有明显影响：围压低：软化性质明显；围压高：塑性性质增加。

真三轴试验?1??2??3；普通三轴试验?1??2??3； 刚性三轴试验机：获得全应力-应变曲线。

岩石类介质在一般材料试验机上不能获得全应力应变曲线，它仅能获得破坏前期的应力应变曲线，因为岩石在猛烈的破坏之后便失去了承载力。这是由于一般材料试验机的刚度小于岩石试块刚度的缘故。因此，在试验中，试验机的变形量大于试件的变形量，试验机贮存的弹性变形能大于试件贮存的弹性变形能。这样当试件破坏时，试验机储存的大量弹性能也立即释放，并对试件产生冲击作用，使试件产生剧烈破坏，实际上，多数岩石从开始破坏到完全失去承载能力，是一个渐变过程。采用刚性试验机和伺服控制系统，控制加载速度以适应试件变形速度，就可以得到岩石全过程应力应变曲线。 3.土的应力应变关系曲线

在开始阶段就出现非线性；与围压有关；与排水条件有关；应变软化

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二、塑性力学与弹性力学

属于连续介质力学的不同分支。塑性力学研究物体处于弹塑性变形阶段时的应力和变形。它与弹性力学有着密切的关系。弹性力学中大部分的基本概念和处理问题的方法都可以在塑性力学中得到应用。 相同点：平衡方程、几何方程

不同点：本构方程 （弹性力学：广义虎克定律；塑性力学：各种弹塑性本构方程） 本构关系—自然界的一个作用与其产生结果反应的关系 本构方程—本构关系的数学表达式。 本构方程—应力—应变关系的数学表达式；

塑性力学基本方程和弹性力学基本方程的差别在于应力-应变关系。在弹性状态下，应变惟一地取决于应力状态；在塑性状态下，应变不仅与应力现状有关，还与加载历史、加卸载的状态、加载路径以及物质微观结构的变形等有关。因此，现在常用本构关系这个名词代替应力-应变关系，它更能反映物质本性的变化。由于加、卸载时规律不同，因此在塑性状态下，我们通常只能建立应力与应变之间的增量关系。但如果加载路径已知，则可通过对增量的应力-应变关系的积分，得到应力应变之间的全量关系。 三、弹塑性变形阶段，应力应变关系的特点：

1. 非线性

2. 不可逆：不存在单值对应关系。

3. 与应力历史有关：物体产生的应变不仅与当前的应力状态有关，而且与应力路

径（或者说加荷历史）有关。

四、金属塑性力学与土塑性力学

金属塑性力学是以金属材料试验为基础的，主要研究对象是金属材料。土塑性力学的试验基础是土工试验，主要研究对象是工程用土。 （1）组成结构

金属 人工（工厂） 晶体结构，比较均匀 土 天然 三相体、多矿物组合体 （2）变形特性：

金属 无塑性体积变形，弹性体积变形很小，对塑性变形无影响。

土 不仅有塑性剪切变形而且有塑性体积变形，还有剪胀性和压密性。应变软化，抗拉压不等性，初始各向异性，应力各向异性，弹塑性耦合。

金属材料的屈服准则是建立在剪切屈服的基础上，而土体的屈服准则不仅要考虑剪切屈服还要考虑静水压力对土体屈服的影响。

在广义塑性力学中三个塑性面确定d?ip三个分量的方向，三个屈服面确定d?ip三个分量的大小。可以考虑塑性变形增量方向与应力增量的相关性及主应力轴旋转产生的塑性变形。

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传统塑性力学基于金属材料的变形机制发展起来。它的理论是传统的塑性位势理论，亦即只采用一个塑性势函数或一个塑性势面，并服从德鲁克塑性公设，采用关联流动法则（屈服面与塑性势面相同），塑性应变增量正交于屈服面。由此得出塑性应变增量方向与应力具有惟一性的假设。（势函数确定塑性应变增量总量的方向，屈服函数确定塑性应变增量总量的大小）

广义塑性力学是在研究岩土类材料的变形机制和在传统塑性力学的基础上发展起来的，它消除了传统塑性力学中的一些假设。既适用于岩土类材料，也适用于金属材料，传统塑性力学是它的特例。广义塑性力学的基础是广义塑性位势理论，它要求采用三个塑性势函数或三个塑性势面。它不服从德鲁克塑性公设，需采用非关联流动法则。与传统塑性力学不同，它可以反映塑性变形增量方向与应力增量的相关性及主应力轴旋转产生的塑性变形。可见广义塑性力学是传统塑性力学的重大发展，也是多重屈服面理论和非正交流动法则与应力主轴旋转理论的进一步完善。

另外岩土塑性力学，需要考虑材料塑性剪切变形而且有塑性体积变形，还有剪胀性和压密性。应变软化，抗拉压不等性，初始各向异性，应力各向异性，弹塑性耦合。

五、用塑性力学研究土工问题

求解一个具体的工程问题，首先要提出反映这一问题的基本方程的具体表达式，以及边界条件和初始条件。这是一个从实际的工程问题，简化成物理模型，进而抽象成数学模型的过程。通过这一过程，工程问题的求解转化成数学问题的求解。

1. 在土工试验基础上，建立本构模型：没有任何一个模型能够考虑所有的影响因素，也不可能有一个模型能够适用于所有的土类以及各种土工问题。一般情况下，岩土本构模型的建立，需要通过实验手段，确定各类岩土的屈服条件，以及选用合理的试验参数，再引用塑性力学的基本理论，从而建立起岩土本构模型。模型还要通过试验与现场测试的严整，这样才算形成一个比较完善的本构模型。从实用的角度来说，一个合理的本构模型除了要符合力学和热力学的基本原则和反映岩土实际状态外，还必须进行适当的简化，使参数的选择和计算方法的处理上尽量的简便。比较实`用的办法：结合具体的土工问题，建立的本构模型要反映主要影响因素，模型参数要尽可能少，物理意义明确、试验确定简单，却又最说明问题；

当前采用的岩土本构模型，一般是根据岩土材料的特性，对传统塑性位势理论加以改造与扩充，是之适应岩土材料的变形机制。还有一些岩土本构模型基于塑性内时理论，它是一种没有屈服面概念，而引入反映材料累计塑性应变的材料内部时间的新兴塑性理论，但这类模型没有得到广泛的应用。

2. 参数的选择重视参数选择合理性的研究和分析，以及经验积累：任何一个本构模型的可靠性都是以合适参数的选用为基础的。如果参数不符合具体土工问题的实际情况，理论上再完善的模型也不能提供正确的解答。根据各国学者几十年在这方面的经验，现在已经认识到参数的测定和选用相对来说是影响计算结果非常关键的因素。

3. 选择合理的计算方法： 数值计算方法： 有限元，有限差分

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六、基本假定：

由于塑性变形十分复杂，因此无论传统塑性力学还是岩土塑性力学都要作一些基本假设，只不过岩土塑性力学所作的假设条件要比传统塑性力学少些。这是因为影响岩土材料变形的因素比较多，不产生塑性体积变形。然而岩土材料中必须考虑这种变形。塑性力学最基本的假设如下：

1. 连续性假设：假设土体是连续介质，土塑性力学还是属于一般的连续介质力学范畴，而

且假设材料有无限塑性变形能力而不考虑它的破坏和破裂。与弹性力学一样，一般情况下还要求假设材料：

2. 均质、各向同性、小变形。岩土材料的显著特点是肉眼可见的尺度范围内，就呈现不均

一性和不连续性。因此严格来说，应采用能反映颗粒成分影响的细观力学模型。然而在多数情况下只要在宏观上考虑岩土材料的某些变形特性，仍可把这些材料近似看作为连续介质。那就是说，这里是在更大的尺度范围内来考虑各种力学量的统计平均值。在某些情况下，岩土介质宜视作非连续介质，如在破裂和有裂隙的岩体中采用非连续介质力学方法更为适合。

3. 忽略温度时间的影响。就一般岩土而言，温度变化通常是不大的。多数情况下在时间不

太长的情况下，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不太大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形规律的影响。作了这个假设以后，在描述一个塑性变形过程中，时间度量的绝对值对问题的分析没有影响，只要任意取一个单调变化的量作为时间参数，以代表载荷或变形先后次序就可以。对于另一些岩土工程问题，需要考虑时间影响，即粘弹塑性问题，一般归流变学中研究。

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下标号法与求和约定：

对于含有3个独立量的集用一个标号表示，如xi表示（x1, x2, x3）; 对于9个量的集用两个下标符号表示如xij

n

这样3个量的集可用n个下标集来表示。 在给出声明后，i,j也可取值1，2，?，n。

求和约定

当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此下标从1到3求和，并限定在同一项中不能出现三次或三次以上。

3aibi??abii?13i?a1b1?a2b2?a3b3

aii??ai?1ii?a11?a22?a33

3aijbj??aj?13ijbj?ai1b1?ai2b2?ai3b3

aijbicj??ai?1ijbicj?a11b1c1?a12b1c2?a13b1c3?a21b2c1?a22b2c2?a23b2c3 ?a31b3c1?a32b3c2?a33b3c3aii?a11?a22?a33

2222在三维笛卡尔直角坐标系中，考虑一线素(dx1,dx2,dx3)，其长度的平方为：

ds2?(dx1)?(dx2)?(dx3)222?dxidxi

，则上式可写成为：

若我们定义Kronecker-δ符号，?ijds2?1,i?j???0i?j?dxidxi??ijdxidxj

1,当（i,j,k?(1,2,3)?(2,3,1)?(3,1,2)）?????1,当（i,j,k?(3,2,1)?(2,1,3)?(1,3,2)）?0,当（i,j,k中任两个或两个以上指标相同时）?在定义由Einstein提出的置换记号eijk

eijk也称为排列记号，因i,j,k三数经偶数次置换成为（1，2，3）时，其值取为1，如果经奇数次置换成为（1，2，3）时，其值取为-1。

Kronecker-δ符号和置换记号有如下的恒等式：eijkeist??js?kl??ks?jt 由此得到：eijkeijs?2?ks和eijkeijk?6。 举例：

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a11a12a22a32a13a23?ersmar1as2am3a331. 三阶行列式：

aij?a21a31

2. 三维笛卡尔直角坐标系中的基向量为ei,i?1,2,3，有如下等式：

ei?ej??ij和ei?ej?eijkek

3. 两个向量a?aiei和b?biei的点积可利用上式得到：

a?b?aiei?bjej?aibjei?ej?aibj?ij?aibi

4. 同理，两个向量a?aiei和b?biei的叉积：

a?b?aiei?bjej?(eijkaibj)ek，所以叉积的结果仍然是一个向量，其方向两向量构成的

平面相正交，而且取右手系确定。

5. 三向量的混合积是一个标量，其定义为：(a,b,c)?a?(b?c)?(a?b)?c?eijkaibjck

这一求和规则也适用于含有导数的项 ai,i??ai?xi??a1?x1??a2?x2??a3?x3

?ij,j???ij?xj2???i1?x1????i2?x2????i3?x32

2?i,jj???i?xj?xj??i1?x212??i2?x22???i3?x23

对于同一项内不重复出现的下标则称自由下标，用自由下标表示一般项，它可取1，2，3中任一值，在同一方程式中各项的自由标号应该相同，并表示该方程式对所有自由标号的值都成立。 如xi?cijyj表示：

x1?c11y1?c12y2?c13y3 x2?c21y2?c22y2?c23y3 x3?c31y1?c32y2?c33y3

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第二章 连续体力学的基本概念

在详细论述土的本构模型理论之前要介绍一下连续介质力学的基本概念。

虽然土和岩石是自然历史得产物，是由固体颗粒、水和气体组成得多相体，在微观上不连续、不均匀和各向异性的。但是对许多岩土工程问题，我们感兴趣的几何尺寸是非常大的，在这个大尺度上，微观上的不连续、不均匀的影响能够因平均化而消失。土或岩石的力学性质及其在数学上的特征能够在概念和解决问题的基本方法，许多是从连续介质力学中借用过来或引申过来的。土介质的本质特性虽然比金属材料要复杂得多，但其变形和运动都服从连续介质力学得基本定律—质量守恒、动量平衡、能量守恒。所以对土力学—连续介质力学的一个分支的研究，总是在连续介质力学基本理论的指导下进行的，因此我们有必要—— 2.1 应力分析 一、一点的应力状态、应力张量： zTini面积??yX 岩土介质中一点的应力可以这样考虑：考虑介质中某点M处附近的一个小微元?A，它???的法向单位矢量为n，作用在它上面的合力为?Ti，当?A?0时，?Ti/?A的极限称??n??Ti作与法向n的微元面相关的M点应力矢量：T?lim ?A?0?A??由于T是矢量，可用三个坐标轴来表达：T?(Tx,Ty,Tz)，

在上面的讨论中，过M点的平面是任选的。显然，过M点可以做无穷多个这样的平面，不同平面上的应力是不同的，这样就产生一个到底如何描绘一点处的应力状态的问题。 为研究一点的应力状态，沿坐标轴x,y,z方向取一个微小平行六面体，应力均匀分布，当?V?0时，六面体上的应力就代表该点处的应力状态。

??Ti(1)???11?12?13???x?xy?xz???(2)??????ij??Ti???21?22?23???yx?y?yz?

????T(3)??????32?33????zx?zy?zz??i??31i,j?1,23

由剪应力互等定理，?ij为对称，9个分量中有6个分量是独立，

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?斜微分面上的应力矢量P与坐标有关

在任意点O附近取一微小四面体单元OABC，斜面ABC的外法线为n，令斜面ABC的面积为1，则三角形OBC，OAC，OAB的面积分别为

1?cos(n,x)?n1?SOBC 1?cos(n,y)?n2?SOAC 1?cos(n,z)?n3?SOAB zCOAX ?ABC面上应力矢量P沿坐标轴的方向分量PX, Py,Pz, 由微小四面体单元的平衡条件得By出： Px?1??xn1??Py?1??Pz?1??xyn2??xzn3 n3

yxn1??yn2??n1??yzzxzyn2??zn3

写成张量形式： Pi??ijnj

??微分面上的法向应力 ?n?P?n??ijninj

微分面上的剪应力 ?n?px?py?pz??2222n

如果作用下微分面上只有正应力，而没有剪应力，则作用在该微分面上的总应力就是主应力，微分面的法线方向：

?1pi??ni；pi??ijnj?(?ij???ij)nj?0 ?ij???0i?ji?j

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若上式nj不全为零，则 ?ij???ij?0 将上述行列式展开，得： ?3?I1?2?I2??I3?0 应力状态特征方程

????z

2xy式中：I1??ii??I2??(?x?xyy??y?zz??z?x)?(???2yz2yz??2zx)?212(?ij?2ij??ii?jj)I3??ij??x?y??2?xy?yz?zx??x?3

??y?xz??z?xy

三个实根ζ1，ζ2，ζ

就是主应力并约定，当时，主应力方向相互垂直，该三个垂直

的方向就称为主方向。按主方向排列的右手坐标系称为应力主轴。 I1，I2，I3与所选取的坐标无关，称为应力张量?ij的三个不变量。 （五）坐标变换时的应力?ij

设新直角坐标系为（x’, y’, z’），它与旧直角坐标系（x, y, z）之间转换关系为xi?lijxj， 新旧坐标系各轴对旧坐标各轴的方向余弦lij应满足likljk??ij，在新直角坐标系中应力中应力张量?'ij?likljl??ij称为二阶张量。

kl'

矢量称为一阶张量，坐标变换时：x'i?ljkxk 二、八面体应力，应力张量的分解：

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2CA?BO?AO'3?213O?1LO'3'yO'??x2' 1 x??2cos30???1cos30??23***32*2(?2??1)?22

(?16232??1)y??3?(???1)sin30??*(2?3??2??1)

0?tgw6?xy?3?3?1???1??2?2??3?1???1??222?2??3

所以有：0????

2.应力张量的分解

一点的应力状态可以用主应力来表示，也可以用另外三个量来表示，即八面体正应力?8，八面体剪应力?8以及八面体剪应力的方位角?8。 在一般情况下，应力张量可以分解成两个分量： ?ij??m?ij?Sij

I13式中：??m?为平均正应力

m??ij—球形应力张量，相当于各向等压的状态；

Sij—应力偏张量，相当于纯剪切状态，二阶对称张量，主方向与应力主方向一

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致。其表达式为：

?Sx????yx???xz??xySij??ij??m?ijSyyz???yz?Sz???xz，其主值应满足三次代数方程式为：

S3?J1S2?J1S?J3?0，

式中：

J1?Sii?Sx?Sy?Sz?0J2??(SxSy?SySz?SzSx)????12SijSij133?2xySiiS??2yzjj2zx?0??(S1S2?S2S3?S3S1)??

eijejkeki??1)]?2J3?Sij?S1S2S3?eijkS1iS2jS3k?J2?16[(?1??2)?(?22??3)?(?223(?1??2??3)?222322?8

3.纯剪应力状态

在Xi坐标系中一点的应力状态为??'11??'22??'33?0

ij，如果在某x'i个坐标中能求得：

则该点的应力状态称为.纯剪应力状态。

应力状态是.纯剪应力状态的充分必要条件为?ii??11??22??33?0，

1纯剪应力?s?(J2)2??max??8相差不大。

二、应力圆和应力Lode参数：

应力圆：在主应力空间???1n1??2n2??3n3??ijninj

?2222??22??1n1??2n2??3n3

22222222n1?n2?n3?

2由上式可得： n?21(???2)(???3)??(?1??2)(?1??3)2

n22?(???3)(???1)??(?2??3)(?2??1)2

n23?(???1)(???2)??(?3??2)(?3??1)

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?1??2??3(???2)(???3)??(???3)(???1)??(???1)(???2)??222?0?0 ?0?应力状态已定，则任一ζ，η应满足： [??[??[??121212(???3)]??2222???141414(?2??3)2(?3??1)]??(?1??2)]??222(?3??1)

2(?1??2)2（1） 对某一应力状态，迭加一个附加的各向均匀的应力状态时，三个应力圆的直径并不

改变，只是整个图形沿水平轴ζ移动。

?（2） Lode参数???2??1??322?2?2??3?1??3?1??3?2??2?1??3?1

???2?1??3?1??3?1?1 ???2?1??1

用来描述应力偏张量的形式，与应力摩尔圆的三个直径之间的比例对应。 对于单向压缩：?1?0对于单向拉伸：?3?0对于纯剪切： ?1?0?2??3?0?1??2?0????1 ???1

?2?0?3???1???0

Lode参数??与八面体剪应力的方位角w?之间的关系： ???3ctg(w???3) （0?w???3，?1????1）

三、应力空间、应力路径

在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间，p,q应力平面，以及

?1??3?1??32,2应力平面等。

等倾线—在主应力空间中，通过原点O，与三条坐标轴成相同夹角的直线L称为等倾线，或称为主对角线。其直线方程为： ?1??2??3

π平面—在主应力空间中，通过主应力空间原点O，与等倾线垂直的平面称为π平面，其平面方程为： ?1??2??3?0

π1平面—在主应力空间中，与π平面平行的其它平面称为π1平面，其方程为：?1??2??3?const

子午面—在主应力空间中，包括等倾线的平面称为子午面。 （二）、应力路径举例：

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各向等压力固结试验 三轴试验

2.2 应变分析

一、一点的应变状态：

土体的变形用应变来描述，其中一点的应变状态可用应变张量来描述：

???x?1???yx?2?1?zx?2?12?xz?2??x?1??yz????yx2?????zx?z??1?xy??xy?y?zy?xz??yz? ?z????ij?y12?zy在小变形下 ?ij?12(ui,j?uj,i)

?x,?y,?z分别表示为原来与x,y,z轴平行的矢量的单位长度的伸长或压缩，称为线应变或正

应变，而?xy,?yz,?zx分别表示变形前与坐标轴x—y, y—z, z—x致的两正交线段在变形后的

夹角减小量，对应于x—y, y—z, z—x平面内的相对剪切，称为工程剪应变或角应变，而?xy,?yz,?zx称为纯剪应变。前者多用于实践工作，数值分析，后者多用于理论推导。

z ? ?yz

y 在小变形条件下：应变张量各分量与位移分量的关系为

?ij?12(ui,j?uj,iyz )

过一点任意方向上的线应变ε可表示为： ???ijninj

式中，nx,ny,nz为单位方向矢量n在x、y和z轴方向的分量。该点处任意两个相互垂直的方

''''''''',ny,nz和nx,ny,nz）之间的剪应变为： 向（设其方向矢量在坐标轴方向的分量分别为nx?12?2(?xnxnx??ynyny??znznz)??'''''''''xy(nxny?nxny)??''''''yz(nynz?nynz)??''''''zx(nznx?nznx)''''''主应

变方向：体积应变、八面体剪应变

二、应变的张量分解及应变Lode参数 三、应变空间、应变路径

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主应变空间—以三条应变主轴作为坐标轴构成的三维空间。

物体中一点的应变状态可以用应变空间中的一点或矢量来描述，分别称为应变点或应变矢量。也可以通过应变矢量在平面和法线方向的投影来描述。前者与应变偏张量相对应，后者与应变球张量相对应。 四、应变率张量

在小应变下一点的应变率张量可表示为：?ij??ij 五、应变增量张量和自然应变

应变增量张量可表示为d?ij?12?x(?jdui???xiduj)

上式可以用来描述比较大的变形。这些比较大的变形可以用无限小的变形增量的总和而获得。

例如考虑沿着与xi轴相重合的柱体的轴作单向拉伸时，则有 d?1则d?1的总和即是所谓自然应变，表达式为?ll0?dll

dll0?ln(ll0)，

式中：l=柱体的瞬时长度；dl—l的无限小增量；l0—原始长度

如果变形时应变主轴不旋转，则积分具有简单的物理意义，它等于相应的自然应变。在一般情况下，积分是计算不出来的，并且没有确定的物理意义。

2.3 多相连续体力学基本方程

平衡方程 固体力学 几何方程

力学本构方程

平衡方程 多相连续体 几何方程

力学（土） 力学本构方程

有效应力原理：反映各相间应力约束关系

变形连续方程：反映各相间变形约束关系（）

（渗流本构方程）

第三章 土的弹性模型

4.1 引言

变形 — 线弹性模型 经典土力学 稳定性 — 刚塑性模型

土的变形特性非常复杂，目前还没有一种土的本构模型能考虑土的所有变形特征。 土的本构模型分类：实用模型；理论模型

精细的理论模型的弱点：参数确定困难；计算方法复杂 实用的方法：结合具体工程问题建立实用模型。 4.2 理想弹性模型

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4.3 横观各向同性弹性体模型

4.4非线性弹性模型 Cauchy弹性模型?ij?Fij(?kl) 超弹性模型w???ijd?ij或???ij?Fij(??kl,?次弹性模型?mn??ijd?ij

)

4.5 E—B非线性弹性模型

E—切线弹性模量；B—切线体积模量； 切线泊桑比：vt?12?Et6B

切线弹性模量：Et???1??1

非线性弹性模型的分类：拟合曲线： 折线，双曲线， 指数曲线

弹性常数： E—V K—G

非线性弹性模型是指根据广义虎克定律，建立刚度矩阵[D]，不过此时包含矩阵[D]中的弹性常数E，V是随着应力状态变化而改变的变量。当土体处于某一应力状态时，施加微小的应力增量????时则可用该应力状态下的弹性常数形成刚度矩阵来计算????。 （一） 切线弹性模量

康纳等人对于粘土和砂土的应力—应变关系，可用双曲线表示：

?1??3??1a?b?1 式中，?1—轴向应变；?1??3—主应力差；a,b—试验常数； ??1??1a1由1式得： Et???(?1??3)??1??b?a(a?b?1)2

由2式得：?1?a(?1??3)1?b(?1??3)，

?1??3所以：a?b??a?1aab(?1??3)1?b(?1??3)2?a1?b(?1??3)

所以： Et?[1?b(?1??3)]

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??1a???????13??是曲线(?1??3)??1的初始切线模量的倒数，即a???1?0?3Pan?1Ei。

根据Janbu(1963)的建议，Ei?KPa(；k,n)，式中：Pa-单位压力值（或大气压力值）

—试验常数，n一般在0.2～1.0之间，对于正常固结土为1，K对于不同土类变化较大。 定义破坏比Rf?(?1??3)f(?1??3)ult?b(?1??3)f 因此有：Et?Ei[1?Rf ?1??3(?1??3)f]，式中破坏比(?1??3)f?22ccos??2?3sin?1?sin? ?ccos??3sin????1??3?sin?????1??32????1??32sin? ?ccos???3sin?? 21

卸荷和重复加荷时弹性模量值Eur表达式为：Eur?KurPa((二)切线体积模量B： B???1???2?3Pan);

???3??v???3，对于常规三轴试验，在压缩过程中有：

??2?0,??1??1??3，于是有 B?(?1??3)??v；

B与围压的关系：B?KbPa(讨论：

?3Pa)

m（1） 邓肯模型中是通过常规三轴试验确定增量虎克定律中的弹性常数。

由增量虎克定律，如果只沿某一方向（z方向）给土体施加应力增量??z而保持其它方向的

??Ez应力不变，??z???，??X??v??x??z??Ez

则有E?z??z，v??,土体常规三轴试验是在围压不变的情况下施加轴向应力，因此

可根据常规三轴试验确定增量增量虎克定律中的弹性常数。

（2） 邓肯模型反映了土体变形的主要规律，如：非线形，把总变形中的塑性变形部分当

作弹性变形来处理，通过弹性常数的调整来近似考虑；用于增量计算，能近似反映应力路径的影响。

它通过回弹模量和加荷模量的差别部分体现加荷历史对变形的影响。

（3） 它没有反映固结压力增加与降低的差别，也没有反映加荷、卸荷对V的影响。模型

本身没有考虑中主应力对E、V和强度指标的影响。 由于使用广义虎克定律，不能反映剪胀性，只能考虑硬化，不能考虑软化，也不能反映各向异性。

4.6 一组同时考虑各向异性和非线性的弹性参数实用方程式

依据：（1）上海金山粘土K0固结三轴试验；（2）对软粘土地基各向异性的探讨。 1. K0固结三轴试验应力—应变曲线

K0固结三轴试验—土样在无侧向变形条件下固结，然后进行三轴试验； 2. 应力水平和强度发挥度

3. 正常固结粘土排水切线模量方程式和切线泊松比方程： 由前面试验结果：

qp'?M0??11E0?b?1

22

1Et???1?(?1??3)??(??1qp'qp'?(qp'?M0)??(q??1p'?M0)13p'?M0)?(?1??3)(3?qp')

式中

3p'3?qp'3p'结合rse?[()?M0]/(Me?M0)可得：

3?M0?M0?qp'?3p'3?M0?(Me?M0)rse

对于归一方程，与邓肯双曲线方程比较有：

a?1E0，b?(1qp')ult?M0，?1??3?qp'?M0

由邓肯模型有

q?(?1??3)??1?1a[1?b(?1??3)]?E0(1?(q?E0(1?M?MMult002p'qp'?M0)02)ult?M

p'?M0?MM?M)?E0(1?02Rf?R01?R0rs)21Et?3p'E03?M0?(Me?M0)rs(1?Rf?R01?R0rs)

2切线泊松比vt?v0?(vf?v0)rs

4. 一组同时考虑各向异性和非线性的弹性参数实用方程式：

由土体结构和地基中初始各向不等压应力两种原因造成的各向异性，分别称为土体固有各向异性和土体应力各向异性。对于横观各向同性体，5个弹性系数（EV,EH,GV,VHV,VHH）就可以完全描述其应力-应变关系。

思路：

通过两个假定用两个参数来近似考虑五个参数：模量比值不变，泊松比相等。

4.7 考虑球张量和偏张量交叉影响的非线弹性模型

沈珠江建议按初应变法考虑土体的剪胀性：

?????[D]t(????????0?)

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?d1?d?2?d2[D]t???0?0??0?d2d1d2000d2d2d1000000d3000000d300??0?0?? 0?0??d3?????0?—剪切引起的体积应变，其表达式为： ???0??[13??d13??d13??d000]

如果定义为土体的剪胀系数，则 ??d????i 其中 ??i?121[(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)]2

222一、由常规压缩试验和常规三轴试验确定d1，d2，p：

在常规压缩试验和常规三轴试验中有： ???1??d1??????2???d2?????d3???2d2d1d21???????d??13d2???1???d2???2???d? （4） ?3??d1?1????3???d???3??在常规压缩试验中： ??2???3?0，??i???1，如果定义切线单轴压缩模量： M???1??1t，?Mt?d1?13(d1?2d2)?

在常规三轴试验中：??2???3?0，??2???3，??i???1???3

如果按下式定义切线模量和切线泊松比： Et???1??1 （7），vt?12??v??1???1?2??3??1 （8）

由式（8）得：??3?(vt?1)??1

??d???ri??(??1?d1(??1?32?vt2)??1

23??d)

13??d)?d2(??2???3? 24

??2?0: d1(??2?1313??d)?d2(??1???3?23??d)?0

(d1?2d2)??d?d1??2?d2(??1???2)?[12d1(vt?1)?12

d2(vt?1)]??1??d?131d1(vt?1)?d2(vt?1)2d1?2d2??1

d1(??1???d)?d1??1[1??1(d2?d1)?vt(d2?d1)2d1?2d2d1??1]所以：

(3?vt)(d2?d1)2(d1?2d2)2d2(vt?3)2(d1?2d2)2

2d2(??2?1213??d)???1

??1???1(d1?d2)(3?v1)

代入（7）式：Et???1??1?12(d1?d2)(3?v1)

由??3?0：??d???ri??(d1(??3?1332?vt223)??1，

??d)?0

??d)?d2(??1???2?3d1??3?d1?(??1???3)?d2[3??1?3??3?2?(??1???3)]?0 3d1??3?3d2(??1???3)??(d1?d2)(??1???3)

3d1??3?3d2(??1???3)?(d1?d2)(??1???3)??33?vtd1(1?vt)?d1(1?vt)d1?2d2

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第五章 弹塑性模型理论

弹塑性模型理论 全量型 ?ij?f(?ij)不能反映应力路径，

适用于等比例加载或简单加载

增量型 d?ij?d?

塑性增量理论包括

a. 屈服面理论 弹性状态与塑性状态的分界面； b. 流动规则理论：确定d?p的方向； c. 加工硬化规律：确定d?p的大小。

5.2 屈服面的概念

对于简单拉伸材料： ???s时 弹性阶段

???s时 弹性阶段

对于复杂应力状态，有六个独立的分量，不能任取其中的一个应力分量数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。

根据不同的应力路径所进行的试验，可以在各自的应力路径上定出物体的屈服应力点，在应力空间中将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，通常为一空间曲面，简称为屈服面。

当应力点位于此曲面上，材料发生屈服，产生塑性变形，描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件、屈服准则等。由于在弹性区内,应力与应变有唯一的关系,所以屈服条件既可以用应力的函数来表示，也可以用应变的函数来表示。用应力的函数表示屈服条件的一般表达式：

F(?ij)?0

eij?d?pij

前者用广义虎克定律确定，后者用塑性增量理论计算，

对于各向同性材料，屈服条件与坐标轴方向的选取无关，因此可以写成应力不变量或的函数。例如，可表示为：

F(I1,J2,J3)?0

或写成只是主应力的函数：F(?1,?2,?3)?0

因此，它可以用主应力空间?1,?2,?3中的一个曲面来表示。在应力平面，?平面或子午面上常用屈服曲线来表示。

由于各向同性的假设，在?平面上，若(S1,S2,S3)是屈服曲线上的一点，则(S1,S2,S3)也必然是屈服曲线上一点，因此屈服曲线对图5-2中O1’轴对称。同理，屈服曲线对图5-2

?平面上的屈服曲线有三条对称线，中O2’轴以及O3’轴对称。于是，我们只需用试验确定?平面上60?范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可以确定?平面上的整个屈服曲线。

屈服曲线必然是封闭的，而且和从原点出发的射线只能交于一点，否则将导致同一应力状态既对应于弹性状态，又对应于塑性状态。

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可以采用应变的函数来表示材料的屈服条件，其一般表达式可记为：

F(?ij)?0*

其次讨论加工硬化材料。加工硬化材料在荷载作用下性状如何呢？当应力点?ij位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点?ij位于屈服面上，材料可能产生塑性变形。继续加荷使材料同时引起了新的弹性变形和塑性变形。随着塑性变形的发展屈服面不断变化，每一个应力状态对应有相应的屈服面，材料发生加工硬化。换句话说，加工硬化材料的屈服面不是一个固定的面，而是随着塑性变形发展不断扩大着的，是连续变化的一系列屈服曲面。从弹性变形状态进入弹塑性变形状态最初出现的屈服面称为初始屈服面，其数学表达式称为初始屈服条件。随着塑性变形发生，屈服应力提高形成的新屈服面称为后继屈服面，或称加载曲面。后继屈服面是随苏醒变形不断变化的。描述后继屈服面形状及其变化的数学表达式称为后继屈服面条件，或称加载条件。其一般表达式为：

?(?ij,H?)?0 （5.2.8）

式中H?—硬化参数，与塑性变形有关，一般可以表示为塑性变形的函数。 在应变空间，后继屈服条件一般可表示为：

?(?*ij,H?)?0 （5.2.8）

如果把材料进入无限塑性状态时称作破坏。加工硬化材料首先 初始屈服面，经过加工硬化阶段，最后达到破坏。破坏面是极限状态的后继屈服面。对理想弹塑性材料，随着加载，应力点到达屈服面，材料发生屈服，它没有加工硬化阶段，屈服面的形状、大小是不变的。随着塑性变形的发展，材料发生破坏。对理想弹塑性材料屈服条件荷破坏条件是相同的。在实际工程中通常把发生一定数量的变形作为破坏条件。

最后讨论加工软化材料。加工软化材料在荷载作用下形状如何呢？当应力点?ij位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点?ij位于屈服面上，材料进入弹塑性变形阶段。加工软化材料弹塑性变形阶段可分为硬化和软化阶段。继续加荷使材料产生硬化。在硬化阶段，其性状与加工硬化材料相同，随着塑性变形发展后继屈服面是不断扩大的。应力到达峰值后，继续加载材料开始进入软化阶段。材料发生软化后，应力骤减，塑性变形继续发展。在应力空间，软化阶段的后继屈服面是随着塑性变形的发展不断收缩的。待收缩到最终屈服面时，材料进入无限流动状态，认为材料发生破坏。此时的屈服面又称为破坏面，也称为残余破坏面。

在应变空间，无论是加工硬化材料，还是加工软化材料，还是理想弹塑性材料，其屈服面的变化有时是比较方便的。近年来有人开展了应变空间各种屈服条件表达式的研究。

5.3几种常用屈服条件

一、Tresca屈服条件和广义Tresca屈服条件： ?1??3?2K 不能考虑静水压力的影响 (?1??3)??I1?2K 可以考虑静水压力的影响

广义Tresca屈服条件在?平面上的屈服曲线为正六角形，在应力空间的屈服面为一正六角棱锥体面，中心轴线与等倾线重合。

二、Von Mise 屈服条件和广义Von Mise 屈服条件：

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J2?C

或 (?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?6C

在?平面上Von Mise 屈服条件是一个圆，在应力空间，是一个正圆柱面，其中心轴与等倾线重合。

常数C也可以由简单拉伸屈服试验或纯剪切屈服试验确定。

在?平面上如果我们用简单拉伸试验确定常数，Tresca正六角形将内接于Von Mise圆，并有

J2??2s3对Von Mise 屈服条件

s?max??2对Tresca屈服条件

如果采用纯剪试验确定常数，在?平面上，在01’, 02’和03’轴形成的角平分线上Tresca屈服

条件和Von Mise 屈服条件重合，于是Tresca正六角形将外切于Von Mise圆。

J2??s2对Von Mise 屈服条件

?max??s对Tresca屈服条件

Von Mise 屈服条件也可以解释为：当材料八面体上的剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。在材料力学中，用Von Mise 屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第四强度理论。 Von Mise 屈服条件不能反映球应力张量对材料屈服的影响，由此Von Mise 屈服条件推广为广义Von Mise 屈服条件。在应力空间中为一圆锥形屈服面，中心线与等倾线重合。

??I1?J2?K

三、Mohr-Coulomb 屈服条件：

通常，土体任何一个受力面上的极限抗剪强度可用Coulomb定律表示：

?n?C??ntg?

在图中还可用一曲线表示值随值的增加而变化，这是更一般的情况，称为准则。在静水压力不很大的情况，可用?=常数的直线代替，因而上式又称为Mohr-Coulomb 屈服条件。 Mohr-Coulomb 屈服条件在?平面上的屈服曲线为不等角的等边六边形，在应力空间的屈服面为一棱锥面，中心轴线与等倾线重合。

四、双剪应力屈服条件

材料的屈服取决于两个较大的主剪应力，即最大剪应力?2和中间主剪应力?1或?3。其表达式为：

?2??1?12(?1??2)??12(?3?C 当?3??1时 当?3??1时

?2??3??1?2??3)?C五、三剪应力屈服条件

材料的屈服取决于三个剪应力的屈服条件称为三剪应力屈服条件。

例如：Matsuoka-Nakai(1974)屈服条件属于三剪应力屈服条件，它是建立在空间滑动面理论基础上的。土体屈服是由空间滑动面上剪应力与正应力的比值决定的。其屈服条件的表达式为：

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I1I2I3?K

六、Lade屈服条件

依据砂土进行的大量真三轴试验资料，提出下述土的屈服和破坏条件表达式： K—硬化参数，是应力水平的函数。破坏时K=Kf，Kf为材料常数。

屈服面与破坏面形式相似，破坏面是极限屈服面。在?平面上的屈服曲线为曲边三角形，在应力空间是锥面，中心轴线为等倾线，如图5-11。屈服面随着应力水平的提高，不断扩大，直至破坏面。

七、修正剑桥模型屈服条件

依据临界状态土力学理论提出的，其屈服面方程为：

p'((q/p')M22I13I3?K

?M2)?P'0

在

p',q平面为椭圆形，在主应力空间为为一锥面加一椭球面帽子。椭球面帽子屈服面

5.4 主应力空间屈服面一般表达式

随着加工硬化而不断向外扩大。

一、屈服面形状的特点：

多数屈服条件的屈服面在主应力空间子午面上为直线，或二次曲线或蛋形曲线，或直线和曲线的组合。在?平面上为圆，或多边形，或由多段曲线组成。 二、主应力空间一般表达式 F?f(I1)?h(?J2g(??)?)

式中???

g(??) 表示?平面上屈服曲线随Lode角变化的规律，f和h函数表示子午面上屈服面形状。如下形式：

F??I1??I1???( ??)2n?0

式中α、β、γ和n—材料常数，可由试验测定。这些材料常数决定了子午面上屈服面的形状。

?平面上屈服面形状由g(??)函数确定。g(??)的确定，通常可分为三类：一类从理论假设出发；一类通过试验成果的拟合得到；还有一类是为了数值计算方便对上述两类修正得到。

属于第一类的有Tresca屈服条件，Von Mise 屈服条件，Mohr-Coulomb 屈服条件，双剪应力屈服条件、三剪应力屈服条件等。 属于第二类的有Lade准则。

属于第三类大多数为对Mohr-Coulomb 屈服条件的修正。Mohr-Coulomb 屈服面存在尖顶和棱角，使数值计算变繁和收敛缓慢，为此通过修正消除?平面上的屈服曲线的奇异点。

5.5 关于屈服条件的几点讨论 意义：屈服条件是弹塑性模型的必要组成部分。了解它有助于进一步学习弹塑性本构理论。 （1）建立屈服条件的思路：

a. 通过假设建立屈服条件，然后通过试验验证； b. 通过拟合试验成果曲线建立屈服条件；

（2）材料性状是客观的、复杂的，屈服条件是主观的。

29

只能用建立的屈服条件去描述、结实材料的真实性状。屈服条件的多样性完全是由于材料的屈服性状复杂性造成的。

（3）几个屈服条件之间的关系：

（4） 稳定材料在平面的屈服曲线都处在双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件之间。 （5） 材料抗压和抗拉强度变化时的双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件。具有相同的

极限图形。

5.6 加载和卸载准则

1. 理想弹塑性材料的加载和卸载准则（见书上）

5.7 Drucker(杜拉克)塑性公设和伊留申塑性公设 结论意义：屈服面必定外凸（前者为加工硬化材料，后这所有材料） 一、Drucker(杜拉克)塑性公设

Drucker塑性公设可陈述为：对于处于某一状态下的材料单元，借助一个外部作用，在其原有的应力状态上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除的循环内，附加应力所做的功是非负的。

00设在t?t0时，原来的应力状态为?ij，它可位在屈服面上，也在屈服面内。现假设?ij在

屈服面内，t?t1时，应力点正好到达屈服面上，此时应力为?ij，此后即为加载过程，直到

t?t2(t2?t1)。在t1~t2期间应力增加到

p?ij?d?ij，并产生塑性应变d?ij，然后卸0ijpd?ij去附加应力，在t?t3时应力又回到?。在这样的一个闭合的应力循环内，应力在弹性应变上所作的功为零，而塑性变形只在t1?t?t2内增加了一个小量d?ij。根据Drucker塑性公设，闭合的应力循环内，外部作用所做的功为：WD?(?ijp?ij?ijt1?ijd?ijt2?ijt0t3?ijO?ij??0ij?12d?ij)d?ij?0（5.7.1）

00?0，在上式中略去高阶项得到： (?ij如果?ij处在屈服面之内，?ij??ij??0ij)d?pij?0

（5.7.2）

00?0，有：d?ijd?如果?ij处在屈服面上，?ij??ijpij?0 （5.7.3）

30

??????? （1）下面说明以上两个不等式的几何意义。为此，我们将应力空间合应变空间的坐标重合。 式（5.7.2）表示：A0A?AB?0 （5.7.4） 0式中向量OA0,OA 分别表示?ij和?ij，向量AB,AC 分别表示d?ijp和d?ij。

这表示向量的夹角成锐角或直角。过A点作垂直于向量AB的平面，则式（5.7.4）要求A点必须在平面的一侧，这只有屈服面为外凸才有可能。如果屈服曲面是凹的，则A0点可能跑到平面的另一侧去，这与式（5.7.2）矛盾。因此，屈服曲面必须是外凸的。这里外凸包括屈服面是平的情况。

（2）其次讨论代表的向量AB的方向问题。设在屈服面A点的外法线向量为，如果响亮AB不与向量重合，则可以找到这样的，使式（5.7.4）不成立。只有向量AB和重合后，才能保证向量AB与向量A0A的夹角不会超过直角。这样，的方向就可以用数学形式表示成：

d?ij?d?p0

????ij （5.7.5）

式中：dλ—一非负的比例系数。

（3）下面讨论式（5.7.3）的几何意义。它可以写成两向量的点积大于等于零， AC?AB?0 （5.7.6）

它表示当d?ij不为零时，d?ij必须指向屈服面的外法线一侧，这就是加载准则，这时：

????ijpd?ij?0 （5.7.7）

如果d?ij不指向屈服面的外法线一侧，则只有d?ijp?0才不违反式（5.7.6）。这就是卸载准则或中性变载准则。

对于理想塑性材料，由于不能指向屈服面的外法线一侧，因此不论加载或卸载都有

d?ijd?pij?0 （5.7.8）

pij加载时图中向量AC与向量AB垂直，式（5.7.8）成立。卸载时，d?成立。

?0，式（5.7.8）也

由上述分析可知，塑性应变增量d?ij的方向只依赖于应力张量?ij，而与应力张量增量d?ij无关。但它的大小则与d?ij有关。

式（5.7.2）也称为稳定性条件，满足这个条件的材料（如理想弹塑性材料和加工硬化材料）称为稳定材料。

p 31

二、依留申塑性公设（同时适用于稳定和非稳定材料）

可陈述为：在弹塑性材料的一个应变循环内，附加应力做的功是非负的。如果做功是正的，表示有塑性变形发生。如果做功是零，则只有弹性变形发生。

5.8 塑性位势理论和流动规则

经过应力空间的任何一点M，必有一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函数，记为： g(I1,J2,J3,H?)?0 （5.8.1） 或 g(?ij,H?)?0

塑性应变增量d?ijp可以用塑性位势函数对应力微分的表达式表示，即d?ijp式中：dλ—一非负的比例系数。

上式称为塑性位势理论。

上式表明一点的塑性应变增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确定了塑性应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分量的比值。

流动规则也称为正交定律，是确定塑性应变增量方向的一条规定。 1． 相关联的流动规则：在Drucker塑性公设的条件下，有：

d?ij?d?p?d??g??ij

????ij 式中：dλ—一非负的比例系数。

必然存在g??，即塑性势函数与屈服面函数（加载曲面函数）相同。

2． 不相关联的流动规则：塑性势函数与屈服面函数（加载曲面函数）不相同。 若屈服面存在有棱边和尖角，对应于在棱边和尖角处的塑性应变增量的方向尚需补充一些关系式。例如对于棱边上可采用右边和左边的塑性应变增量的线形组合。

d?ij?d?1p??1??ij?d?2????2ij

式中：?1和?2是棱边两边的屈服条件；dλ1和dλ2—一非负的比例系数。

上式表示棱边处的塑性应变增量方向相邻两屈服面的两条法线所组成的角度之间。在屈服面的光滑点上，塑性应变增量的方向是确定的。而在棱边处的塑性应变增量方向处于某一范围内。在求解具体问题过程中确定了比例系数dλ1和dλ2也就确定了塑性应变增量方向。 在应变空间，流动规则可用下式表示：

d?pij?d?????* 式中dμ—一非负的比例系数。

ij5.9 加工硬化规律

5.9.1等向硬化、运动硬化和混合硬化

对于加工硬化材料，后继屈服面的变化规律是很复杂的。等向硬化模型和运动硬化模型是最简单的两种硬化规律。下面先讨论这二种情况，然后再介绍混合硬化模型。 1． 等向硬化模型：

等向硬化模型假定后继屈服面的形状、中心和方位，与初始屈服面相同，后继屈服面的大小则随着加工硬化过程围绕其中心产生均匀的膨胀。等向硬化模型，也称作各向同性硬化模型。它是各种硬化模型中最简单的一种。 等向硬化后继屈服面可用下式表示：

?(?ij,H?)?F(?ij)?K?0

5.9.1

式子 H?和K—硬化系数，一般是塑性变形的函数，记作

32

K?H(?dwp)?H(??ijd?ijp) 5.9.2

当K=0时，表示刚开始屈服，这时F(?ij)?0，故F(?ij)?0就是初始屈服面。 对于初始屈服条件是von Mises屈服条件情况有：

F?J2?C?0 5.9.3

这时等向硬化加载函数变成为： ??J2?C?H(?dwp)?0 5.9.4

对于初始屈服条件是von Mises屈服条件时，它的等向硬化加载函数为：

???I1?J2?K?H(dw?p)?0 5.9.5

在应力空间中，这种后继屈服面的大小只与最大的应力状态有关，而与中间的加载路径无关。 适用范围： 当变形量不大或应力张量各应力分量之比变化不很大的情况下。 2． 运动硬化模型

运动硬化模型假定后继屈服面的大小，形状与初始屈服面相同，后继屈服面是由初始屈服面沿塑性变形方向或沿应力矢量方向移动形成。

?(?ij,H?)?F(?ij?aij)? aij称为移动张量，与塑性变形有关。在应力空间中表示屈

服面中心的坐标。

3． 混合硬化模型

由等向硬化模型和运动硬化模型组合而成，可以构成更一般的模型。

?(?ij,H?)?F(?ij?aij)?K?0

既有位置的改变，也产生均匀的膨胀。但计算复杂。 5.9.2 加工硬化规律

加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起塑性应变增量的一条规则。在流动规律中，d??1??ijA??d?ij 5.9.9

式中 A—硬化参数H?的函数。

1A称为塑性系数，表示屈服面扩大或移动一个单位所伴随的塑性应变增加量。

pij1． 塑性功Wp硬化规律假定 H??Wp??d?ijd?d??????ij 5.9.10

d?ij??????H?dHp?由d??0，得

?????ijd?ij??WP???WP?ijd?ij?ijd?

?g?0 5.9.11

?????ijd?ij???ij结合式5.9.9和5.9.11，得

A?(?1)???Wp??gij?? 5.9.12

?g??ijij若g为n阶齐次函数，根据欧拉齐次函数定理?ij?ng得

33

A?(?1)ng???Wp 5.9.14

2． 塑性应变?ijp硬化规律假定 H??H(?ijp) 5.9.15 3．?p硬化规律假定

H???p????p???ppij??ij

4．塑性体应变硬化规律假定 H??H(?vp)??vp 5．(?vp,?p)硬化规律假定 H??H(?vp,?p)??vp

5.10 塑性增量理论及一个弹塑性

模量张量普遍表达式

5.10.1 塑性增量理论 又称塑性流动理论，它把塑性变形看成是非线性流动。塑性增量理论把应变增量分为弹性应变增量和塑性应变增量两部分，即： d?ij?d?eij?d?pij 5.10.1

pij式中d?eij采用广义虎克定律计算，d?根据塑性增量理论计算。塑性增量理论主要包括三

部分：屈服面理论，加工硬化理论，和流动规则理论。应用塑性增量理论计算塑性应变：首先，要确定材料的屈服条件，对加工硬化材料需要确定初始屈服条件和后继屈服条件。其次，需要确定材料是否服从相关联流动规则。然后，还需要确定材料的硬化或软化规律。最后可运用流动规则理论确定塑性应变增量的方向，根据硬化规律计算塑性应变增量的大小。 5.10.2 一个普遍的弹塑性模量张量表达式 （1） 应力空间

d?ij?Dijkld??1kl 5.10.2

式中 Dijk—弹性模量张量。 l流动规则为： d?ijp?d??g??ij 5.10.3

将5.10.2、5.10.2代入5.10.1，得

d?ij或 两边同乘以

由式5.9.9，得：d?A

?????ij?Dijkld??1kl?d??g??ij 5.10.4 5.10.5

d??????mnDijkld?ij?d?kl?Dijkld??g??ij????kl得

????rsDrskld?kl?????ijijDmnuvd??g??uv

d?ij 5.10.6

????mn????rsDrskld?kl?d?(A?Dmnuv?g??uv)

ep结合式5.10.5得 d?ij?Dijkld?ij 5.10.7

34

Dijpq?g??????mnpq????rsDrskl?g??uv式中

Dijklepep—弹塑性模量张量。Dijkl?Dijkl?A?

Dmnuv其次考虑在应变空间中的表述情况，由式5.10.1和广义虎克定律，得

d?ij?Dijkld??1kl?d?pij 5.10.10

pij或 Dijkld?ij?d?kl?Dijkld?上式中Dijkld?pij 5.10.11

pkl就是弹性条件下塑性变形增量所对应的残余应力增量d?。结合应变空间

中的流动规则，得

Dijkld?ij?d??d???*kl??ij* 5.10.12

d?在应变空间中可假定为：d??1??A??ijd?ij 5.10.13

式中A1—硬化系数H?的函数。 联立式5.10.12和式5.10.13，可得

epd?kl 5.10.14 d?ij?Dijkl式中

epDijkl?Dijkl?1??*??*A1??ij??kl 5.10.15

式5.10.14和5.10.15对加工硬化材料和加工软化材料均适用。

确定了材料的弹塑性模量张量Dijkl，也就确定了材料的弹塑性本构关系，根据一定的边界条件，结合其它基本方程，运用一定的计算方法，如有限单元法，就可求解具体的边值问题。

ep5.11 塑性形变一般理论及历史上几个典型理论

5.11.1 塑性形变一般理论

实质上是把塑性形变过程看成是非线性弹性变形过程。在塑性形变理论中是按照全量来分析问题的，分析方法与线性弹性力学一致。形变理论在应力状态与相应的应变状态之间建立一一对应的关系。在图5-35中，加载至A点的变形??ij?A和A点的应力状态??ij?A存在下面关系：

??ij?A?Dijkl??ij?A 5.11.1 式中

Dijk—lA点割线模量张量。

上式与非线性弹性本构方程中采用割线模量的表达式是一致的。塑性形变理论又称为全量理论。严格说，在弹塑性变形阶段，应变状态与应力并不存在一一对应的关系，因此应用塑性

35

形变理论是有一定条件的。通常认为在满足比例加载，或简单加载的条件下，应用形变理论计算出来的结果才比较接近实际情况。当偏离简单加载条件变化不大时，有时也可以使用形变理论。所谓比例加载就是在加载过程中，六个应力偏量是按比例增长的，也就是说八面体剪应力方位角，或应力Lode参数保持常数。如果描述一点应力状态的六个应力分量按同一个比例增加，则与它所对应的六个应变分量按同一个比例增加，此时应力Lode参数也将保持

?????。

不变，而且

在小变形和比例加载条件下，塑性形变理论与塑性增量理论是等价的。 5.12.2 历史上几个典型的塑性形变理论 （1） Hencky 理论

对象是理想弹塑性材料。认为体积变形按弹性规律变化，塑性应变偏量分量与应力偏量分量成比例，总应变偏量等于弹性应变偏量与塑性应变偏量之和。其表达式为 ?ij?eij?eij??m?ij?epSij2G??2GSij?1?2vE?m?ij 5.11.2

式中 ? —非负的标量因子，卸载过程等于零。 若材料不可压缩，v?0.5，则式

5.11.2可改写为： ?ij?1??2GSij 5.11.2

（2） Nadai理论

考虑加工硬化材料，材料不可压缩，即v

?ij??0.5，并忽略弹性应变部分。应变采用自然应变量

度，考虑大应变情况，其应力应变关系表达式为：

?82?8Sij

式中 ?ij—自然应变； ?8—八面体剪应力； ?8—自然应变的八面体剪应变。 （3）ИДЪЮШИН理论

考虑加工硬化材料，材料不可压缩，其应力应变关系表达式为：

eij?3?i2?iSij

第六章 土的弹塑性模型

6.1 引 言

近年来根据弹塑性理论建立土的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多，在这一章只能通过几个典型例子的分析，介绍根据弹塑性理论建立土的本构模型的基本思路。下面分别介绍理想弹塑性模型，剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan模型，以及多重屈服面模型和边界面模型的基本概念。

6.2 理想弹塑性模型

首先介绍理想弹塑性本构方程的普遍表达式，然后介绍几个典型的理想弹塑性模型。 6.2.1 理想弹塑性本构方程的普遍表达式

对理想弹塑性材料，塑性势函数与屈服函数相同，下面用F表示，硬化参数A恒等于零，于是式6.1.3可改写为：

DijpqDijkl?Dijkl?ep?g??pq????rsDrskl?g????mn 6.2.1

Dmnuv??uv 36

下面介绍另外一种表达形式。 弹性应变增量d?ije可表示为：

d?ij?edI19K?ij?12GdSij 6.2.2

式中 I1—应力张量第一不变量； Sij—应力偏张量； K、G—分别为体积弹性模量和剪切弹性模量。 式6.2.2两边乘以?ij，注意到?ij?ij??ii?3，可得：

d?kk?e13KdI1 6.2.3

弹性应变偏增量可表示为

deij?e12GdSij(i?j) 6.2.4

屈服函数记为： F(?ij)?0 6.2.5 或 F(I1,J2,J3)?0 6.2.6 塑性应变增量为： d?ijp上式可改写为： d?ijp?d??F???F??kkij 6.2.7

?ij??F??kk?d?(?F?Sij) 6.2.8

p两边同乘?ij，可得 d?kk?3d?p 6.2.9

?F塑性应变偏增量可表示为：

dekk?d??Skk 6.2.10

dF??F??ij在塑性变形阶段，加载时，dF(?ij)?0，则有 上式改写为：

dF??F??kkd?ij?0 6.2.11

d?mm??F?SijdSij?0 6.2.12

结合式6.2.3、6.2.4和6.2.12，注意到d?mm?dI1，有

3K?F??kkd?mm?2Ge?F?Sijdeij?0e 6.2.13

将式6.2.9和式6.2.10代入上式，可得

3K?F??kk(d?mm?d?mm)?2Gp?F?Sij(deij?deij)?0p 6.2.14

将式6.2.9和式6.2.10代入式，可得

3K?F??kk??mm?2G?F?Sijdeij?d?[9K(?F??kk)2?2G?F?F?Sij?Sij] 6.2.14

3K?F??kk??)mm?2G?F?Sijdeij?F于是可得到d?的表达式： d??9K(?F??kk2?2G?F

?Sij?Sij理想弹塑性材料的本构方程可表示为：

37

??ij??I19K?ij?Sij2G?d?[?F??kk?ij??F?Sij] 6.2.17

也可以表示成应力张量增量的表达式，

??ij?K??kk?ij?2G?eij?d?[3K?F??kk?ij?2G?F?Sij]] 6.2.18

式6.2.17或式6.2.18是理想弹塑性材料普遍的本构方程的又一种表达方式。

6.2.2 Prandtl-Reuss模型

是最简单的理想弹塑性模型。材料屈服函数采用von Mises屈服函数，其表达式为：

F(?ij)?J2?k?0

6.2.19

von Mises 屈服准则在主应力空间屈服面为一圆柱面，在π平面为一圆。 当材料处于弹性阶段（F<0），或卸载时（F=0，同时?F?0），其应力应变关系为：

??ij??I19K?ij?12G?Sij 6.2.20

?K??ij?2G?eij或 ??ij 6.2.21

当时，材料处于弹塑性变形阶段，加载时（?F?0），将6.2.19代入式6.2.17和6.2.19，可得应力应变关系为： ??ij??I19K?ij?12G?Sij?d?Sij2k 6.2.22

Sij或 ??ij?K??ij?2G?eij?Gd?k 6.2.23

式6.2.25或式6.2.26是模型的本构方程。

若忽略材料的弹性变形，采用理想刚塑性假设，由Prandtl-Reuss模型可以得到Levy—von Mises模型。Levy—von Mises模型的本构关系可表示为：

??ij?Smn?emn2k2Sij 6.2.27

6.2.3 Drucker—Prager模型

Drucker—Prager模型的屈服准则采用广义的von Mises屈服准则，其表达式为：

F?J2??I1?k?0

广义的von Mises屈服准则在主应力空间中，屈服面形状为一圆锥面，在?平面为一个圆，如图6-2所示。

Drucker—Prager模型认为当材料处于弹性阶段（F>0）或卸载（F=0，同时?F力—应变关系为：

??ij?0）时，应

??I19K?ij??Sij2G

或 ??当F=0，且加载时（?F??ij?K??kk?ij?2G?eij

?0），应力—应变关系为：

?I19Kij??ij??Sij2G?d?[???ij?Sij2J2] 6.2.31

38

或 ??ij?K??kk?ij?2G?eij?d?[?K??ij?GSijJ2] 6.2.32

?3K???kk?2GJ2?GSmn?emn式中 d??9Ka 6.2.33

Drucker—Prager模型中参数?和k可以用土的粘聚力C和内摩擦角?来表示：

??sin?3(3?sin?)2

k?3Ccos?3?sin?2

由式6.2.31可以得到塑性体积应变：

?3K???kk?2GJ2?GSmn?emn]

??pkk??3?[9K?上式表明：Drucker—Prager模型中塑性体积变形不等于零。

6.2.4 Mohr—Coulomb模型

屈服条件表达式为： f??n?C??ntg??0

f(I1,J2,?)?13I1sin??J2sin?(??3)或

?J23cos?(??3

)sin??Ccos??0

6.3 剑桥模型（Cambridge模型）

该模型是英国剑桥大学Roscoe和他的同事于1958~1963年间提出的。由于最初它是针对流经Cambridge大学附近的Cam河的一种粘土而提出的。也称为Cam粘土模型。最初只适用于正常固结和弱超固结（超固结比小于等于8的粘土）粘土，后来也推广应用严重超固结粘土、砂土和一些岩石类材料。该模型属于等向硬化的弹塑性模型，在众多的岩土弹塑性模型中提出比较早、发展得也比较完善，故得到广泛应用。该模型包括一系列的基本概念和假设。了解这些概念和假设，不仅是掌握该模型所需要，而且对于学习和了解其他一些塑性模型也有帮助。

英国剑桥大学Roscoe和他的同事在正常固结粘土和超固结粘土试样的排水和不排水三轴试验的基础上，发展了Rendulic(1937)提出的饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念，提出完全状态边界面的思想。他们假定土体是加工硬化材料，服从相关联流动规则，根据能量方程，建立剑桥模型(Cam clay模型)。剑桥模型又称为临界状态模型。这个模型从理论上阐明了土体弹塑性变形特性，标志着土的本构理论发展新阶段的开始。下面简要介绍剑桥模型的一些基本概念。

39

6.3.1 临界状态线和Roscoe面 v正常固结线临界状态线qp'临界状态线正常固结线lnp'vlnp' p',q,v空间中的临界状态线 各向等压固结过程中，孔隙比e或比容v(v=1+e)与有效应力的关系可用下式表示： v?N??lnp' 6.3.1 式中 N—当p’=1.0时的比容。 因此 N?Vp'?exp()? 6.3.2 正常固结粘土排水和不排水三轴试验（CID试验和CIU试验）表明，它们有一条共同的破坏轨迹，与排水条件无关。破坏轨迹在p’, q平面上是一条过原点的直线，在v,lnp'平面上也是直线，且与正常固结线 平行，分别是如图和所示。破坏轨迹线可用下式表示，

qcs?Mp'cs 6.3.3

vcs????lnp'cs 6.3.4 式中 CS—表示临界状态； M—p’，q平面上临界状态斜率； ?—p’cs=1.0时土体比容； ?—v,lnp'平面上临界状态斜率；

一旦土体的应力路径到达这条线，土体就会发生塑性流动。这时土体被认为处于临界状态，破坏轨迹被称为临界状态线。临界状态线在p',q,v空间为一条空间曲线，如图6—5空间曲线ABC所示。

图6—6中AB为一个CID试验在p',q,v空间的应力路径。在p',q平面上斜率为3的直线的平面上。该类平面称为“排水平面”。不同固结应力的CID试验的应力路径均起自正常固结线，结束于临界状态线。

固结压力不同的正常固结排水三轴试验应力路族在p',q,v空间形成一个曲面。同样，固结压力不同的正常固结不排水三轴试验应力路族在都处于正常固结线和临界状态线之间。

p',q,v空间也形成一个曲面。两个曲面

40

临界状态线B1B13A1q临界状态线qB1p'Cp'CO正常固结线A1BD正常固结线AAEOv正常固结粘土CID试验应力路径v正常固结粘土CIU试验应力路径临界状态线qBp'Cq/p'e正常固结线AOCIU试验vROSCOE面CID试验p'/p'e1.0p'/p'e,p'/p'e平面上Roscoe面 Rendulic（1936）分析了许多三轴试验的结果，首先提出饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念。 Henkel（1960）把饱和Weald粘土的固结排水三轴试验得到的等含水量线同固结不排水三轴试验得到的应力路径（也是等含水量）画在一起，发现其形状是一致的，如图6—8所示。等含水量线也就是等比容线。这样的图称为Rendulic图。 由Rendulic有效应力和孔隙比关系图可知，饱和粘土的有效应力和孔隙比之间存在唯一关系。也就是说，对于所有的正常固结排水和不排水三轴试验来说，应力和比容之间有唯一的关系，与排水条件无关。因此由CID试验应力族形成的曲面和由CIU试验应力族形成的曲面是同一曲面。换句话说，所有正常固结三轴试验的应力路径都在这个面上。这个曲面，称为Roscoe面（图6—9）。

在p—q与v空间，三轴固结排水或者不排水试验路径沿正常固结曲线随着随着固结压力变化而运动的轨迹构成的空间曲面，就称为Roscoe面或状态边界面（State Boundary Surface），简称为SBS面。

Roscoe面或状态边界面的物理意义与几何意义：

（1）Roscoe面是联系正常固结曲线与临界状态线的一个唯一空间曲面。如果称排水应力路径在p—q与v空间所在的平面为排水面，不排水应力路径在p—q与v空间所在的平面为不排水面，则排水面与Roscoe面的交线就是排水应力路径，不排水面与Roscoe面的交线就是不排水应力路径。弹性墙与Roscoe面的交线就是屈服曲线。

（2）Roscoe面是一个材料状态边界面。它将p—q与v空间分成两个部分：Roscoe面以内或其面上是可能应力状态区；Roscoe面以外为不可能应力状态区，即应力状态不可能超越Roscoe面。因此它是正常固结或弱超固结粘土的一种应力状态边界面或物态边界面，故Roscoe面又称为状态边界面。

41

（3）Roscoe面具有屈服面或加载面的性质，但又与屈服面或加载面不完全相同。如果说Roscoe面是通常意义上的加载面，则按前面的加卸载条件，应力沿Roscoe面运动应该属于中性变载，不应当产生新的塑性剪应变和体应变。如果说Roscoe面不是通常意义上的加载面，它只是体积屈服曲面或体积加载面，即虽然将产生新的塑性剪应变，但是却不产生新的塑性体应变。

对任一孔隙比e定义一个等效应力，是各向等压正常固结达到给定孔隙比时的固结压力。因此，对于任一比容v值，

p'e?exp(N?v?) 6.3.5

在p'/pe',q/pe'平面上，Roscoe曲面被归一为一条曲线，如图6—10。

临界状态线具有以下重要性质：

（1）临界状态线的存在说明剪切破坏时，p—q与v之间存在着唯一对应关系，即破坏时的强度取决于破坏时的平均应力和比容，与应力历史和应力路径无关。

（2）当材料处于临界状态时，只发生剪切变形，不产生体积变化。这说明材料已经处于塑性流动状态。这个不变的比容就称为临界比容，相应的孔隙比就称为临界孔隙比。对于正常固结粘土进行排水剪试验，试样在剪切过程将发生剪缩，孔隙比变小，最后减小到一定程度后就不再减小；对于超固结粘土进行排水剪试验，试样在剪切过程将发生剪胀，孔隙比变大，最后增大到一定程度后就不再增大。最后达到临界孔隙比或临界比容。这就证明了临界状态线的存在。

（3）临界状态线是应变硬化材料与应变软化材料的分界线。

6.3.2 Hvorslev面

在归一化坐标平面上，可以直接比较超固结土样排水和不排水三轴试验的破坏点。把破坏点轨迹简化成一条直线AB。OA相当于受拉应力破坏，斜率为3。直线AB限制在直线OA的右边，临界状态线（点B）的左边。当然，如果土体能承受拉应力，相应的张拉破坏线在OA线的左边。

通常把图6—12中破坏点轨迹称为Hvorslev面。在归一化坐标平面上，Hvorslev面的方程为： q/pe'?g?h(p'/pe') （6.3.6）

式中 g—纵坐标上截距； h—直线斜率。

Parry（1958）指出，超固结土样的应力路径，在达到破坏点后应变增大时趋向临界状态。超固结比值（Rp=OCR）不同的土样，不排水三轴试验的归一化应力路径可简化为如图6—13所示。各种超固结比值土样的应力路径都趋向临界状态线，与初始的状态无关。达到临界状态需要有大的应变，这样程度的应变在三轴仪中是不能产生的。对超固结土样破坏后趋向临界状态，至今尚未有令人信服的证据。

6.3.3 完全的状态边界面

在p',q,v空间中，正常固结和超固结土样的应力路径不能超过Roscoe面和Hvorslev面，处在这两个面包围的空间中。正常固结土应力路径都在Roscoe面上，超固结状态用位于该面下面的点表示，在该面以上是不可能有点来表示应力状态的。Roscoe面成为一个边界，在该面的面上或以下是可能的状态，在该面以上是不可能的状态，Roscoe面称为状态边界面。超固结土样的应力路径在土样破坏时到达Hvorslev面，在土样破坏后应变增大时趋向临界状态。Hvorslev面也是一个边界，在该面的面上或以下是可能的状态，在该面以

42

上是不可能的状态，Hvorslev面也称为状态边界面。因为通常假设土不能承受有效应力，状态边界面限于?'3不能小于零的情况。当?'3等于零时，q??1',p'?13?1'，所以q/p’=3。因此，状态临界状态线q=MpqBCHvorslev面边界面受到对p’轴倾斜坡度为3比1的平面所限制。这样由Roscoe面、Hvorslev面和对p’轴倾斜坡度为3比1的平面就构成了一个完全的状态边界面。在三个面包围的空间中的状态是可能的状态，在三个面以外空间中的状态是不可能的状态。在p',q,v空间中的完全的状态边界面如图6—14所示。在归一化坐标平面上的完全的状态边界面如图6—15所示。 Hvorslev状态边界面的方程前面已经得到，如式6.3.6所示。以下两节讨论Roscoe状态边界面的方程。 弹性墙与屈服曲线 有了临界状态线、状态边界面和破坏面的概念，就可以定义弹性墙与屈服曲线。如果在p',q,v空间，以平行于q轴的直线为母线，沿膨胀线移动，与Roscoe面和Hvorslev面（破p'正常固结线AO受拉破坏CIU试验vCID试验p',q,v空间中的完全的状态边界面q/p'e不可能状态临界状态线Roscoe面Hvorslev面可能状态不可能状态p'/p'ep'/p'e，P'/p'e平面上完全的状态边界面坏面）相交而成的空间曲面就称为弹性墙（Elastic Wall），简称EW墙。弹性墙有许多个。由于Cam模型假设当应力在这样的“墙面”内变化时，只产生弹性变形，故称为弹性墙。显然，根据弹性墙的定义，膨胀曲线就是弹性墙在v—p平面的投影，而且只有应力达到墙顶—Roscoe面时才会产生塑性变形。故定义弹性墙与Roscoe面的交线为一条屈服曲线。因此，一条弹性墙对应着一条屈服曲线。 屈服曲线的性质： （1）屈服曲线是弹性墙与Roscoe面的交线。它在v—p平面的投影就是膨胀曲线，在p-q平面的投影是一条曲线。图中同时过固结应力为pc的C点的不排水应力路径与屈服线，?v?0。二者虽然接近但是性质并不相同。不排水应力路径是不排水面与Roscoe面的交线，而屈服曲线是弹性墙与Roscoe面的交线，是一条空间曲线，在屈服曲线上虽然有?v但是有弹性体积变化。

（2）在p—q平面屈服曲线的方程为

?q?f(p,q,H?)?p?pcp????0

?M?22p?0，

式中 pc—固结压力，在这里就是硬化参数H?，即H?=pc；

M—破坏线的斜率。

??????p?pc/2q???上式可改写为 f(p,q,H?)??pcpc???M???22???

43

2????1?0 ???从上式可以看出来，修正Cam模型的屈服曲线在p—q平面上是一个以(0,pc/2)为圆心，以为pc/2长半轴，以q?Mpc/2为短半轴的椭圆。由于拉压时M不同，压拉椭圆的短半轴的长度也不相同。对于正常固结与弱超固结粘土来说，只有压拉临界状态线之间的两个半椭圆起作用。而对于严重弱超固结粘土、密实砂土或具有应变软化性质的岩石，则扩展到拉压状态边界线以外的两个半椭圆。

6.3.4 能量方程 土体在外力作用下，发生体积应变增量和剪切应变增量。体积应变和剪切应变分别由弹性变形和塑性变形两部分组成，其表达式为： ????vq软化CSLMc1硬化三轴压缩Pc三轴伸长CSL1MtopCam模型的屈服曲线??????ev??????pv 6.3.7 6.3.8

essps相应外力做功记为：

?E?p'??v?q??s 6.3.9

其中一部分为可恢复的弹性能，一部分为不可恢复的耗散功（或塑性功），即 ?E??we??wp 6.3.10 弹性能和耗散功分别记为：

?we?p'???wp?p'??ev?q???q??es 6.3.11

spvp 6.3.12

在剑桥模型中，假定弹性体积应变可以由各向等压固结试验中的回弹曲线求得，即

??ev?k?p'1?ep' 6.3.13

它还假定剪切变形中的弹性部分等于零，亦就是说，假定一切剪应变都是不可恢复的，于是式6.3.8可该写为：

??s???ps 6.3.14

es结合式6.3.11和式6.3.13，并考虑到???we?k?0，得

1?e?p' 6.3.15

图6—16表示土样在单剪时的变形情况。土样高为H，水平截面积为A。剪切变形后，水平位移为du，竖向位移为dv，如图6—16所示。在剪切变形过程中，正应力?'y和剪应

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