第7章电磁解答终稿

第七章 磁介质

7.1.1.一均匀磁化的电磁棒，直径为25毫米，长为75毫米，其总磁矩为12000安3.米2。求棒中的磁化强度M 解：由M的定义式有：M=

?P?imi

M?P总=??1200025?()2?10?6?75?10?32

=3.3?103（安米）

7.1.2.半径为R的磁介质球被均匀磁化，磁化强度为M与Z轴平行（如图所示）。用球坐标表示出这个介质球面上的面磁化电流密度i\，并求出这样分布的磁化电流所提供的点磁矩Pm。

?????是介质球面的外法向单位向量。 ? n 解：i=(M2?M1)?n??M2?M,M1?0

'???? ∴ i??M?n?Msin??面磁化电流可看作是相互平行的圆电流,圆电流所在平面与Z轴垂直。宽度为dl

??。 的面磁化电流产生的磁 距为：dpm?i?dl?Sk 上式中S为磁化电流i?所围成的面积S=?r2。S的法向与z轴一致故用其单位

?表示。整个球面上所有元dP?的方向均指向k ，故矢量和变为求代数和。矢量k m Pm??dPm??i??r2dl（dl=Rd? R为介质球的半径，r=R sin?）

0?

pm??Msin???R2sin2??Rd??3?4??RM?sin?d???R3M?3?43?写成矢量式pm??RM

3?3

4由于是均匀磁化，不可用积分求解，而用式Pm?MV??R3M

3?

7.1.3 在磁化强度为M的均匀磁化介质中，挖去一球形空穴。证明：空 球??2表面上磁化电流对球心O的磁感应强度为B????M

3???? 证明：由式i??M?n判断出磁化电流i的方向如图所示，应为是球形空穴，

??上式中n为球面指向球心O点的法向单位 矢。i的大小为

? i?Msin(???)?Msin?。

空穴表面的磁化电流可看作是许多平行的圆形电流。宽度为dl的磁化电流在空

?穴中心O点产生的 dB?

???r2i?dl? kdB?=32R 式中R为球形空穴半径，r为圆形磁化电流半径，为z的单位矢。由于所有圆形磁化电流在O点产生的均与反向，故把求矢量和变成求代数和。

R2Sin2??Msin?Rd?B???dB???2?R3(r?RSin?，dl?R?d?)

??????M2???sin3?d??2??M3??2写成矢量式：B?????M (证毕)

37.1.4 螺绕环中心周长为10厘米，环上均匀密绕线圈 为200匝，线圈中通过电流为0.1安，试求：

（1） 若管内充满相对磁导率?r?4200的介质，求管内B的和H是多少？ （2） 求磁介质内由导线中电流产生的B0和由磁化电流产生的B'各是多少？ 解：（1）在环内任取一点，过该点作一与环同心的圆周。半径为r。由对称

?性可知圆周上各点H大小相等，方向沿切向。由磁介质的安培环路定理得：

?L??H?dl??I0 H?2?r?NI0H?NI0200?0.1??200(安/米）2?r0.1

B??H??0?rH?4??10?7?4200?200?1.05（特）

???'（2）B?B0?B

由于?r?1 ?B?B0?B'

B0??0nI0?4??10?7??2.5?10?4(特）200?0.1 0.1B'?B?B0?1.05?2.5?10?4?1.05（特）

7.1.5一铁环中心线的周长为30厘米，横截面积为1.0厘米2，在环上紧密地绕有线圈300匝。当导线中通有电流32毫安时，通过环的磁通量为2.0*10?8韦伯。试求：

(1)铁环内部磁感应强度B的大小； (2)铁环内部磁场强度H的大小； (3)铁的绝对磁导率?和磁化率xm； (4)铁环的磁化强度M的大小。

?2?10?6?2?2?10解：（1）B??（特） ?4S1?10（2）由有磁介质时的安培环路定理

???LH?dl?NI0 NI0300?32?10?3H???32（安/米）L0.3B??H（3）

H2?10?2?4????6.25?10（韦/安?米）B32?6.25?10?4?r???49?7 ?04??10xm??r?1?496（4）M=xmH?496?32?1.59?104（安/米）

7.1.6 在螺绕环上密绕线圈400匝，环的平均周长是40厘米。当导线中通有电流20安时，测得环内磁感应强度是1.0特斯拉。计算环的圆截面中心处的

下列各量：

（1）磁场强度； （2）磁化强度； （3）磁化率；

（4）磁化面电流和相对磁导率。 解：（1）由有磁介质时的安培环路定理

由有磁介质时的安培环路定理:

??H?dl?NI0?L NI0400?224H???2?10（安/米）L0.4(2)M?B?0?H=

1?2?104?7.74?105 (安/米） ?74??10M7.76?105?38.8 （3）?m?=4H2?10（4）Is?i?L?ML?7.76?105?0.4?3.1?105(安） ?r?1??=39.8

7.1.7一个绝对介电常数为?1的无限长均匀磁介质圆柱体，半径为R1,体内均匀地通过电流I。在它外面包有一半径为R2的无限长同轴圆柱面，其上通有与前者法线相反的电流I。两者之间充满绝对磁导率为?2的不导电的均匀磁介质，求

H及B的分布。

解：r＜R1；在圆柱体内，过任一电P1（P1距圆柱体轴线距离为r） ，以r为半径作一圆。由对称性可知，圆上各点H大小相等，方向沿圆的切向。由由有磁介质时的安培环路定理: r〈R1：?H?dl?I?

LIr22 H?2?r???r?2I

?R12R1 H?rI 22?R1 B??1H??1rI 2?R12 R1〈r〈R2：同理有：

??IH?H?dl?I ， ?L2?r B??2H??2I 2?r 在此区域内，任一点的H与B，其大小与r成反比，方向与I成右手螺旋关系。

?? r〉R3：?H?dl?0

L H?2?r?0 ,∴ H?0, B??H ∴ B?0,

7.1.8一厚度为b的无限大平板中有电流通过，平板各点的电导率为?，电场强度为E（方向如图a所示），相对磁导率为?r,平板两侧空间充满相对磁导率为?r1和?r2的各向同性均匀介质。试求板内外任一点的磁感应强度。

解：磁介质由于磁化在界面上出现磁化电流,它们相当于两个无限大均匀载流平面。根据对称性分析可知：（1.）在平板内存在一个平行于导体板侧面而且磁感应强度B?0的平面XOZ（如图b所示）。（2.）平行于XOZ平面B必平行于或反平行于X轴，且数值相等。（3.）在XOZ面的两侧B方向相反。 （1） 在平板内:由俯视图（c）所示，过B?0所在平面作一矩形环路ABCD。

AB?h，BC?y

由安培环路定理得：?H?dl?I

Lj??E,I?j?s?j?hy??Ehy ∴Hh?I??Ehy ∴H??Ey

B??H??0?rH??0?r?Ey 写成矢量形式B???0?r?Eyi

（2）在平板外：

做一过B?0所在平面的矩形回路ABEF如图（c）所示。AB?h。 设XOZ面，到导体板左边的距离为R1，到导体板右边的距离为R2

?LH?dl?I=jhR2

H??ER2，右侧H2??ER2；B2??0?r2?ER2 同理一过B?0面的左侧取环路L2（如图c） 由环路定理得

H1??ER1，B1??0?r1?ER1

由此可见，板外H,B的分布与到板的距离无关，两侧为均匀磁场，与板面平行，其方向与E成右手螺旋关系。

由前面分析已知，板外所有各处的B为二磁化电流形成的无限大载流平面及一载流平板所产生的场叠加的结果。即

??B2? B?B0?B1 其大小两侧相等 B1外=B2外 即?0?r1?ER1=?0?r2?ER2 ∵R1?R2?b

?r1R1??r2(b?R1)

R1??r2b

?r1??r2?r2b

?r1??r2H1??EB1??0?E?r1?r2b

?r1??r2H2??E(b??r2b?r1b )??E?r1??r2?r1??r2B2??0?E?r1?r2b

?r1??r27.1.9同轴电缆由两同心导体组成，内层是半径为R1的导体圆柱，外层是半径分别为R2.R3的导体圆筒，两导体内电流等量而反向，均匀分布在横截面上，导体的相对磁导率为?r1，两导体间充满相对磁导率为?r2的不导电的均匀介质。

?求B在各区域中的分布。

解：由于对称性分析知在半径相等处H大小相等，方向与电流方向成右手螺

????旋。可用有介质时的安培环路定理求得H，再由B，H之间的关系式求得B的分布。

??J r〈R1：?H?dl??r2 2L?R1r2 H?2?r?2I

R1 H?rI 2?R12 B??0?r1H??1?r1rI 2?R12 R1〈r〈R2：

??IH?H?dl?I, ?L2?r B??2H??2I 2?r2???(r2?R2) R2〈r〈R3：?H?dl?I?I 22l?(R3?R2)(R32?r2)I H? 222?r(R3R2)?0?r1(R32?r2)I B??0?r1H? 222?r(R3?R2)?? r〉R3：?H?dl?0 H?0 B=0

L? 各区域B的方向与内层导体圆柱中的电流方向成右手螺旋。，

7.1.10 一绝对磁导率为?1的无限长的圆柱形直导线，半径为r1其中均匀的通过电流I0导线外包一层绝对磁导率为?2的圆筒形不导电磁介质，外半径为R2。试求：

??Jr〈R1：?H?dl?2?r2

L?R1r2 H?2?r?2I

R1 H?rI 22?R1 B??0?r1H??1?r1rI 22?R1 R1〈r〈R2：

??IH?H?dl?I, ?L2?r B??2H??2I 2?r2???(r2?R2) R2〈r〈R3：?H?dl?I?I 2l?(R32?R2)(R32?r2)I H? 222?r(R3R2)?0?r1(R32?r2)I B??0?r1H? 222?r(R3?R2)?? r〉R3：?H?dl?0 H?0 B=0

L7.1.1在绝对对磁导率为?磁介质与真空交界面的真空一侧靠近界面一点

?的磁感应强度为B，其方向与界面法线夹角为?。试求出介质中靠近界面一点的

?磁感应强度为B介。

解：由边界条件 B1n?B2n，H1t?H2t，B1t??0H1t，B1n?Bcos?，B1t?Bsin?，

B2t??H2，B2t??B1t。 ?0?22?)B1t=Bcos2??()2sin2? ?0?022B12n?(B介=B2n?B2t=7.1.2 如图所示，相对磁导率为?r的磁介质与真空交界，真空一侧是匀强

?磁场，磁场强度为B，其方向与界面法线夹角为?，若在界面某点为球心以R为

半径作一球面，求S面上H的通量为多少？并求磁感应强度沿着矩形路径积分的数值。

解：（1）???S1??S??????H?dS???H1?dS???H2?dS?B2S1S2?B1?0??dS??????dS

? S1为上半球面的面积，S2为下半球面的面积。由于B线连续所以

??????B1?dS?B1nS0 ； ??B2?dS??B2nS0

S1S2?为s0的法向单位矢，方向向上。因而有： s0为球面与介质面所交的截面积，n

??1??H?dS?s?0?1???B1?dS?S1?????B2?dS其中B1n?B2n

?S0(B1n????0??R2Bcos???0?0?B2n)?R2Bcos?(?r?1) =

?0?r（2）?L???B?dl?B1tl?B2tl ?B2t?B1

?0??? ??B?dl?Blsin??Blsin?

L?0 =（1-?r)Blsin?

7.3.1 铁环轴线直径（平均直径）为15厘米，截面积为7厘米2，在环上均匀密绕线圈500匝。试问：

（1）当电流为0.6安，铁的相对磁导率?r?800时，铁心中磁通量是多少？ （2）当铁中磁通量等于48000麦克斯韦，?r?1200，此时线圈中通过多大的电流？ 解：（1）

???H?dl?NIL NI500?0.6H???637(安/米）?D??0.15B??0?rH=4??10?7?800?637?0.64

?=BS=0.64?7?10?4?4.48?10?4（韦） 1 韦伯=108麦克斯韦。 48000麦克斯韦=4.8?10?4韦伯。

?4.8?10?4B==?0.68 （特） ?4S7?10H=

B???r?455（安米）

H?D?NI

I=

H?D455???0?5??0?43 （安） N500

7.3.2 在平均半径为0?1米，横截面积为6?10?4米的铸钢圆环上，均匀密绕200匝线圈内通入0?63安的电流时，钢环中的磁通量为3?24?10?4韦伯，当电流增大至4?7安时，磁通为6?18?10?4韦伯。求两种情况下钢环的绝对磁导率。

?? 解： （1） ?LH1?dl=NI1

H1=

NI1200?0?63= =200（安） 2?r2??0?1

324?10?4B1?1 ?1???N1H1S200?6?10?4 =2?7?10?3(享米)

（2） H=

NI2200?4?7??1?5?103（安米） 2?r2??0?1B2?26?18?10?4?4享 ?2?(???69?10米) ?3?4H2H2S1?5?10?6?107.3.4 一个环形线圈，其匝数为300，铁心中的磁感应为0?9韦均周长为0?45米。试求

（1） 铁心材料为铸铁时，线圈中的电流； （2） 铁心材料为高硅钢时，线圈中的电流。 （提示：查教材中表7-2）

7.5.1一铁环的平均周长为61厘米，空隙长1厘米，（如图所示）。环上线圈总数为1000匝。当线圈中电流为1.5安时，空隙中的磁感应强度B为1800高斯。求铁环的?值（忽略空隙中磁感应线的散）。

??解：?LH?dl??Hili=NI

米2，铁环的平

H1?B? ， H2?B?0

将H1

B，H2代入上式

Bl1?NI

?(L?l1)??0B(L?l1)0.18?0.6108?10?3 ??===1.59?10?3(亨/米)

0.18B68?107?10?2NI?l11500?4??07.5.2有一均匀磁路（如图所示），其中心线长度为50厘米，横截面积为1.6?10?3米2，所用材料为高硅钢片，线圈匝数为500匝，电流为300毫安。求该磁路的磁动势和磁通量。

解：磁动势?m?IN?0.3?500?150(安匝） H?NI150??300(安/米） L0.5 由教材表7-2查得B=1(特) ??BS=1?1.6?10?3?1.6?10?3(韦）

7.5.3把上题的硅钢片此路截去一小段（如图所示），出现长度为1毫米的空气隙，仍然维持磁通不改变，求该磁路所需的磁动势。若匝数不变求电流I为多少？

解：根据磁路串联公式

H1l1?H2l2?NI （1）

由于磁通量与上题同，H1的大小也与上体同故 H1l1?150(安匝） （2） B1?B2?1(特）

107 H2? ??8?105(安/米）?04?B2 H2l2?8?105?10?3?8?102(安?匝） （3）

将（2）、（3）式代入（1）

NI?H1l1?H2l2?(150?8?102)?950(安匝）

若匝数不变则 I?950?1.9(安） 5007.5.4如图所示磁路由硅钢片做成。磁路截面均为S=10(厘米2），铁部分总长l?l1?l2?40(厘米），两个气隙总长线圈总匝数为500，磁通l0?0.5(厘米），求线圈中的电流为多少？ ??14?10?14（韦）时，14?144?1.4（特） 解：B??S10?10?4?由教材上7-2查得H=1300（安/米）

1.4?107H气=-??1.1?106（安/米） ?04?B?m?NL?H高硅?L?Hl0（安/米）

=1300?0.4?1.1?106?5?10?4

=1.07103（安匝）

I??m（安匝） N7．5．6 证明两磁路并联时的磁组服从下式：

111 ??RmRm1Rn?2证：有一磁路如图所示

?m??Rm0??1Rm （1） ?m??Rm0??2Rm （2）

上式中Rm0为中部绕线圈的铁心磁组。

Rm1为左边铁心磁路的磁组。 Rm2为右边铁心磁路的磁组。

假设有一如图（a）的磁路，磁动势亦为?m铁心的磁组亦为Rm0，磁路的磁通亦

为?，则有：

?m??Rm0??Rm （3）

由（1）（2）（3）式有：

?Rm??1Rm1??2Rm2

? ?1???Rm （4） Rm1?1???Rm （5） Rm2而???1??2 （6）（由7.5.6图所示） 将（4）（5）带入（6）得：

?????Rm??Rm Rm1Rm2111 ??RmRm1Rm2说明等效磁组Rm的倒数等于原并联磁路两段磁组的倒数和。

7．6．1 一导线弯成半径为5厘米的圆形，当其中通有100安的电流，求圆心的电磁场能量密度?m0。

解：圆形电流中心处产生的磁感应强度为 B0??0I2R

11B21?0I24??10?7?104 ?m?BH?。 ????0.63（焦耳/米3）2?422?024R8?25?107．6．2一同轴线由很长的两个同轴圆筒构成。内筒半径为1毫米，外筒半径为7毫米。有100安的电流由外筒流去内筒流回。两筒厚度可忽略（筒之间介质?r?1），求：

（1）两筒之间的磁能密度分布； （2）单位长度（1米）同轴线所储磁能。

解：

（1） 内外筒之间H??II;B??0?rH?0 2?r2?r?0I24??10?7?1041.6?10?41??13?? ??m?B?H?BH?（焦耳/米） 22222228?i8?rr（2） 单位长度同轴线所储总磁能：

W??d?m???m?2?rdr?1.6?10?2??VR1R2?4Rdr?1.6?10?4?2?ln2 R1rR1R2?1.6?10?4?2??1.95?1.9?10?3（焦耳）

7．6．3 一无限长直导线截面各处的电流密度相等，总电流为I。试证：每

?0I2单位长度导线内所贮藏的磁能为。

16?证： 导线内的磁场强度H=

rI 2?R21??1则场能密度?m?B?H??0H2（认为导线内?r?1）

22W???mdu??0RR0?0r2I2?0I2?2?r?dr?248?R4?R4?R0?0I2rdr?

16?3

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