2011届高三数学第一次模拟测试题3

江门市2011年高考模拟考试

数 学（理科）

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式V?

13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合A??x|x?a?(a2?1)i , a?R , i 是虚数单位A．1 B．?1 C．?1 D．0

⒉若四边形ABCD满足AB?CD?0 ，(AB?AD)?AC?0，则该四边形一定是 A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

⒊某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为 A．20 B．24 C．30 D．36 ⒋直线x??3?，若A?R，则a?

，x??2都是函数f(x)?sin(?x??)(??0 , ??????)的对称轴，

??3255且函数f(x)在区间[ , ]上单调递减，则 A．??6，??C．??3，???2 B．??6，??? D．??3，????2

6666?2?2⒌一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱， 上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示， 则这个几何体的体积V? A．54??30 B．69?

正视图 侧视图 俯视图 ⒍a、b、c?0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2、2b、2c成等比数列”aC．66? D．54??24

图1 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

yOx

⒎在平面直角坐标系xOy中，ax?by?c?0与ax2?by2?c所 表示的曲线如图2所示，则常数a、b、c之间的关系可能是 A．c?a?0且b?0 B．c?a?0且b?0 C．a?c?0且b?0 D．A或C

⒏已知平面区域D??(x , y)|?1?x?2 , ?1?y?2?，z?ax?y（a是常数），

?P(x0 , y0)?D，记z?ax0?y0?52为事件A，则使p(A)?18的常数a有

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个以上

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）

⒐已知X~N(? , ?2)，P(????X????)?0.68，

P(??2??X???2?)?0.95开始 输入a1,a2,? s?a1 , i?2 i?i?1 ，某次全市20000人

参加的考试，数学成绩大致服从正态分布

N(100 , 100)，

则本次考试120分以上的学生约有 人． ⒑图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入

ai?sini11s?s?ai s?0 是 结束 ? (i?N?)，则输出i? ．

否 输出i 图3 ⒒设抛物线C：y2?4x的准线与对称轴相交于点P， 过点P作抛物线C的切线，切线方程是 ．

⒓在平面直角坐标系中，四边形ABCD在映射f：(x , y)?(2y , 1?x)作用下的象集为四边形A/B/C/D/，若ABCD的面积S?1，则A/B/C/D/的面积

S/? ．

⒔以下命题中，真命题的序号是 （请填写所有真命题的序号）．

???2?1.5x表示变量x增加一个单位时，y平均增加1.5个单位． ①回归方程y②已知平面?、?和直线m，若m//?且???，则m??．

③“若x2?1，则?1?x?1”的逆否命题是“若x??1或x?1，则x2?1”． ④若函数y?f(x)与函数y?g(x)的图象关于直线y?x对称，f(a)?b，若

f(a)?2，则g(b)?//12．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕（坐标系与参数方程选做题）若直线?（0???2??x?1?t?y?2t（t?R为参数）与圆??x?cos??y?sin??a，?为参数，a为常数且a?0）相切，则a? ．

BPC⒖（几何证明选讲选做题）如图4，P是圆O外 一点，直线PO与圆O相交于C、D，PA、PB 是圆O的切线，切点为A、B。若PC?CD?1， 则四边形PADB的面积S? ．

图4 O?DA

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分14分）如图5，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成?角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45o角的方向直飞到达B处．已知

sin??513．

C⑴在飞行路径?ABC中，求tanC； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km． ?45o（参考数据：2?1.414，3?1.732） AB

⒘（本小题满分12分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．

91图5 ⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为?，试求?的分布列，并求?的数学期望．

⒙（本小题满分14分）如图6，ABCD?A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，A1DFAD1B1C1

C图6 EB

且AE?BF． ⑴求证：A1F?C1E；

⑵当A1、E、F、C1共面时，求： ①D1到直线C1E的距离；

②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．

⒚（本小题满分14分）已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(?1 , 0)、F2(1 , 0)的距离之和为常数，曲线C的离心率e?⑴求圆锥曲线C的方程；

⑵设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使PA?PB的值是常数．

⒛（本小题满分12分）已知数列?an?(n?N?)，a1?0，an?1?2an?n?2n(n?1)． ⑴求数列?an?的通项；

⑵设数列?an?的前n项和为Sn，试用数学归纳法证明

Sn?2n?112．

?(n?3n?4)?2．

2

21（本小题满分14分）设y?f(x)是定义在区间(a , b)（b?a）上的函数，若对?x1、都有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|，则称y?f(x)是区间(a , b)x2?(a , b)，上的平缓函数．

⑴试证明对?k?R，f(x)?x2?kx?1都不是区间(?1 , 1)上的平缓函数； ⑵若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T?2的平缓函数，试证明对?x1、

x2?R，|f(x1)?f(x2)|?1．

理科数学评分参考

一、选择题 CBBA DDAC

二、填空题 ⒐500 ⒑22 ⒒x?y?1?0（对一个3分，全对5分） ⒓

2

⒔①④（正确选项一个3分，全对5分；错误选项一个扣3分，2个扣5

分，扣完为止） ⒕2?5（答2?5给3分，其他0分） ⒖

223

三、解答题 ⒗⑴sin??513，?是锐角，所以tan??05120??1分， ??2分，??tan??tan4500tanC?tan[??(??45)]??tan(??45)1?tan??tan45??4

5分，??121??15???1177??5分．

12⑵sinC?sin(??450)?9分，得AC?ABsinC172602??7分，由正弦定理

ABsinC?ACsin450?BCsin???

?sin45?520??11分，BC?2002??13分，新的飞行

路程比原路程多AC?BC?AB?520?2002?680?122.8(km)??14分．

⒘⑴设选手甲任答一题，正确的概率为p，依题意(1?p)2?p?2319??1分，??3分，甲

13?827??2分，甲选答3道题目后进入决赛的概率为()3?3282723选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为C32()3?1622312C4()()?3381P?827?827?1681、

??5分，所以，选手甲可进入决赛的概率

?6481??6分．

827?127?13⑵?可取3，4，5??7分，依题意P(??3)?122110222212P(??4)?C3()???C3()???33333327??8分，

??9分，

??10分，

1222218222212P(??5)?C4()?()??C4()?()??33333327（或P(??5)?1?[P(??3)?P(??4)]?827??10分）

所以，?的分布列为：

?

3 14

58

P

32727 ??11分

E??3?13?4?1027?5?827?1072710??12分．

⒙⑴以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系??1分，则A1(6 , 0 , 6)、设AE?m，则E(6 , m , 0)，C1(0 , 6 , 6)，

F(6?m , 6 , 0)??2

分，从而A1F?(?m , 6 , ?6)、C1E?(6 , m?6 , ?6)??

3分，直接计算知A1F?C1F?0，所以A1F?C1E??5分．

⑵①当A1、E、因为底面ABCD//A1B1C1D1，所以A1C1//EF??F、C1共面时，6分，所以EF//AC，从而E、F分别是AB、BC的中点??7分，设D1到直线C1E的距离为h，在?C1D1E中，C1E?62?62?32?9，

C1E?h2?C1D1?BC12，解得h?42??9分．

②由①得，E(6 , 3 , 0)、 F(3 , 6 , 0)，设平面A1DE的一个法向量为

??n1?DE?6a?3b?0依题意???10分，所以n1?(?1 , 2 , 1)??n1?(a , b , c)，

??n1?DA1?6a?6c?011分，同理平面C1DF的一个法向量为n2?(2 , ?1 , 1)??13分，由图知，面

A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值cos??|n1?n2||n1|?|n2|?12（即???3）??14

分．

⒚⑴依题意，设曲线C的方程为分，e?4分．

⑵当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y?k(x?1)??5分，由

ca12xa22?yb22?1（a?b?0）??1分，c?1??2

x2?，a?2??3分，b?a?c22?3，所求方程为

4?y23?1??

2?x2y??1? 3?4?y?k(x?1)???6分，得(3?4k)x?8kx?4(k?3)?0??7分，从而xA?xB?22228k223?4k，

xA?xB?4(k2?3)23?4k??8分，设P(t , 0)，则PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB

22?(k2?1)xAxB?(t?k)(xA?xB)?(k3t?1232?t)?23t?12?(?5?8t?4t)k3?4k2222??10

1356432分，当

??5?8t?4t42，t?118时??11分，对?k?R，PA?PB??????

12分；当AB?x轴时，直线AB的方程为x?1，xA?xB?1，yA(yB)??13分，对t?上的点P(

⒛⑴（方法一）由an?1?2an?n?2n得分，所以

an2n?1118，PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB?的值为常数?13564964?94??13564，即存在x轴

118 , 0)，使PA?PB??14分．

an?12n?an2n?1?n，a22an2n?1?an?12n?2?n?1??2

?(an2n?1?an?12n?2)?(an?12n?2?an?22)???(n?3?a120)?a1??3分，

?(n?1)?(n?2)???1??4分，?n(n?1)2，an?2n?2?n(n?1)??5分．

（方法二）由an?1?2an?n?2n得an?2an?1?(n?1)?2n?1，

an?1?2an?2?(n?2)?2n?2??1分，2an?1?22an?2?(n?2)?2n?1??3分，??，

2n?2a2?2n?1a1?1?2n?1，累加得an?[(n?1)?(n?2)???1]?2n?1?2n?2?n(n?1)

??5分．

⑵n?1时，左边S1?a1?0，右边2n?1?(n2?3n?4)?2?1?(1?3?4)?2?0，左边=右边，命题成立??7分；

设n?k(k?N?)时，命题成立，即Sk?2k?1?(k2?3k?4)?2??8分，则

Sk?1?Sk?ak?1??9分，

k?12k?1k2?2?(k?3k?4)?2?2?k(k?1)?2(k?k?2)?2

k22?[(k?1)?3(k?1)?4]?2，从而n?k?1时，命题成立??11分．

综上所述，数列?an?的前n项和Sn?2n?1?(n2?3n?4)?2??12分．

21.⑴?x1、x2?(?1 , 1)，|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2?k|?|x1?x2|??1分。 若k?0，则当x1、x2?( , 1)时，x1?x2?k?1??2分，从而

21|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|??3分；

若k?0，则当x1、x2?(?1 , ?)时，x1?x2?k??1，|x1?x2?k|?1??4

21分，从而|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|，所以对任意常数k，f(x)?x2?kx?1都不是区间(?1 , 1)上的平缓函数??5分．

⑵若x1、x2?[0 , 2]，①当|x1?x2|?1时，|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?1??6分；②当|x1?x2|?1时，不妨设0?x1?x2?2，根据f(x)的周期性，

f(0)?f(2)??7分，

|f(x1)?f(x2)|?|f(x1)?f(0)?f(2)?f(x2)|?|f(x1)?f(0)|?|f(2)?f(x2)|

??9分，?|x1|?|2?x2|?x1?2?x2?2?(x2?x1)?1??11分，所以对?x1、

x2?[0 , 2]，都有|f(x1)?f(x2)|?1??12分．

对?x1、x2?R，根据f(x)的周期性（且T?2），存在p1、p2?[0 , 2]，使 f(x1)?f(p1)、f(x2)?f(p2)，从而|f(x1)?f(x2)|?|f(p1)?f(p2)|?1??14分．

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