天字一号60道数学题

1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。

A.172 B.174 C.176 D.179

------------------------------------------ 【天字一号解析】

此题我们现需要了解0是怎么形成的，情况只有1种，那就是5跟一个偶数相乘就可以构成一个0， 但是还要注意25算几个5呢？ 50算几个5呢？ 125算几个5呢，具有几个5 主要是看他能否被几个5的乘积整除， 例如 25＝5×5

所以具有2个5，

50＝2×5×5 也是2个5 125＝5×5×5 具有3个5

方法一：

我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数 700/5=140

还不行 我们还要看有多少25的倍数 700/25=28

还要看有多少125的倍数 700/125=5

625的倍数： 700/625=1 其实就是看

700

里有多少的

5^1,5^2,5^3,5^4……5^n 5^n必须小于700

所以答案就是 140＋28＋5＋1＝174

方法二：

原理是一样的，但是我们可以通过连除的方式不听的提取5的倍数 直到商小于5 700/5=140 140/5=28

28/5=5 5/5=1

答案就是这些商的总和即174

140 是计算含1个5的 但是里面的25的倍数只被算了一次，所以我们还需要将140个5的倍数再次挑出含5的数字，以此类推，就可以将所有含5的个数数清！

2. 王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？ A.1999 B.9999 C.1994 D.1995

―――――――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

这个题目是计算有多少页。

首先要理解题目

这里的字是指数字个数，比如 123这个页码就有3个数字

我们通常有这样一种方法。 方法一：

1～9 是只有9个数字， 10～99 是 2×90＝180个数字 100～999 是 3×900＝2700个 数字 那么我们看剩下的是多少

6869－9－180－2700＝3980

剩下3980个数字都是4位数的个数 则四位数有 3980/4=995个

则这本书是 1000＋995－1＝1994页 为什么减去1

是因为四位数是从1000开始算的！

方法二：

我们可以假设这个页数是A页 那么我们知道，

每个页码都有个位数则有A个个位数， 每个页码出了1～9，其他都有十位数，则有A－9个十位数

同理: 有A－99个百位数,有A－999个千位数 则： A＋（A－9）＋（A－99）＋（A－999）＝6869 4A－1110＋3＝6869 4A＝7976 A＝1994

3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数有多少个？

A、 4 B、5 C、3 D、6

―――――――――――――――――― 【天字一号解析】

我们先进行简单的判断，首先什么数字个位数×9得到的数个位数还是原来的

乘法口诀 稍微默念一下就知道是5×9 或者0×9 （个位数是0的2位数×9 百位数肯定不等于原来的十位数 所以排除）

好我们假设这个2位数是 10m＋5 ，m是十位上数字，我们在这个数字中间插入c 这个数字 那么变成的三位数就是 100m＋10c＋5 根据关系建立等式： 100m＋10c＋5＝9×（10m＋5） 化简得到 ： 10m＋10c＝40 m＋c＝4

注意条件 m不等于0， 则有如下结果（1，3），（2，2），（3，1），（4，0） 四组， 答案是选A

4. 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取偶数位置上的牌，问最后剩下的一张牌是多少号？

A、1 B、16 C、128 D、256

―――――――――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

这个题目本身并不难，但是一定要看清楚题目，题目是抽取偶数位置上的牌，1是奇数位置上的，这个位置从未发生变化，所以1始终不可能被拿走，即最后剩下的就是编号1的骨牌。

当然如果每次是拿走奇数位置上的，最后剩下的是编号几呢？

我们做一个试验，将1到100按次序排开。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌。我们发现，骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。同时我们有一个更重要的发现，那就是什么样的数字才能确保它的1/2仍然是偶数。这个自然我们知道是2^n，但是当2^n＝2时它的一半就是1，在接下来的一轮中就会被拿走。因此我们发现每一轮操作2^n位置上的数都会变为2^(n-1) 当2^n=1时 被拿走。按照这样的操作，100个多米诺骨牌每次少1/2， 当操作6次即剩下的数目小于2个（100÷2^6<2）。根据上面我们发现的规律，必然是最后留下了2^6＝64 移动到了第1位 也就是仅剩下的1位。所以答案是100内最大的2^n=64

总结：大家记住这样一个规律 直线排列最后剩下的是总数目里面最大的2^n次方

此题300内最大的2的n次方就是256

所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌，那么最后剩下的就是编号256

5. 两人和养一群羊，共n只。到一定时间后，全部卖出，平均每只羊恰好卖了n元。两人商定评分这些钱。由甲先拿10元，再由乙拿10元，甲再拿10元，乙再拿10元，最后，甲拿过之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么甲应该给以多少钱？ A.8 B.2 C.4 D.6

―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目就是一个常识的题目没有什么可以延伸的空间，所以我就主要介绍一下解答方法。 X^2是总钱数，分配的时候10 元， 2次一轮，最后单下一次， 说明总钱数是10的奇数倍数根据常识，只有个位数是4，或者6才是十位数是奇数，那么个位数都是6

说明 最后剩下6元 乙应该给甲 10－（10＋6）/2=2元

6. 自然数A、B、C、D的和为90，已知A加上2、B减去2、C乘以2、D除以2之后所得的结果相同。则B等于：

A．26 B．24 C．28 D．22

―――――――――――――――――― 【天字一号解析】

结果相同，我们可以逆推出A，B，C，D 假设这个变化之后四个数都是M 那么

A＝M－2 B＝M＋2 C＝M/2

D=2M

A＋B＋C＋D＝90＝4.5M M＝20,则B＝20+2=22

7. 自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100

P＝10X＋9＝10（X＋1）－1 P＝9Y＋8＝9（Y＋1）－1 P＝8Z＋7＝8（Z＋1）－1

这样我们就发现了 P＋1 就是 8，9，10的公倍数 我们知道 8，9，10的最小公倍数是360 则100～1000内有 2个这样的公倍数。 所以满足条件的P 就是 360－1＝359， 或者 720－1＝719

8. 三个连续的自然数的乘积比M的立方少M，则这三个自然数的和比M大多少（） A 2M B4M C 6M D 8M

―――――――――――――――― 【天字一号解析】

方法一：特例法你可以随便找3个连续自然数试试看，

例如 1×2×3＝6

比6稍大的立方数是8 即2^3=8 8-6刚好是2

所以说明 M＝2， 那么我们看 1＋2＋3＝6 6－M＝4 可见是2M

方法二：

平方差公式： 我们假设这三个连续自然数中间的数字是a，那么 这三个数字分别是，

a－1，a，a＋1 乘积是 a×（a－1）×（a＋1）＝a×（a^2－1）＝a^3-a 跟题目说的比M^3少M条件对比 我们发现 M就是a

再看 （a－1）＋a＋（a－1）＝3a ＝3M 可见 答案就是2M

9. 一个7×7共计49个小正方形组成的大正方形中，分别填上1～49这49个自然数。每个数字只能填1次。使得横向7条线，纵向7跳线，两个对角线的共计16条线上的数字和相等！则其中一个对角线的7个数字之和是（） A 175 B 180 C 195 D 210

――――――――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

这个题目猛一看好复杂，其实仔细看看就会发现端倪。虽然看上去像是一个幻方问题 或者类似于九宫图，但是这里并不是让你关注这个。

49个数字全部填入， 满足条件后，我们发现横向有7条线 产生7个结果 并且相等。那么这个7个结果的和 就是这7条线上的所有数字之和，很明显就发现了 就是1～49个数字之和了

，根据等差数列求和公式：（首项＋尾项）×项数/2=总和

（1＋49）×49/2＝25×49 则每条线的和是 25×49/7=175

因为对角线和横线7条线的任意一条的和相同所以答案就是175.

10. 把1～100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8……（每擦去3个数，留一个数）。直到最后剩下的一个数是多少？ A、47 B、48 C、49 D、64

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【天字一号解析】

考察点：周期循环等比数列的问题

这个题目考到的可能性不是特别大，但是不排除。就只介绍规律吧。

主要是看间隔编号的个数。 如该题 间隔编号就是1个。例如 留1拿走2，留3拿走4，间隔是1： 以下公式是按照从去1开始的。 那么 公式是： 2/1×（A－2^n） 这是最后剩下的数字 2^n表示A内最大的值 A表示原始的编号总数。

间隔是2：3/2×（A－3^n） 间隔是3：4/3×（A－4^n）

间隔是4：5/4×（A－5^n）

特别注意的是：此题的A值不是随便定的 必须满足 A－1要能够除以间隔编号数目。否则最后的结果就是全部被拿走。

该题答案是： 按照公式4/3×（100－4^3）=48 但是这是按照去1开始得如果是留1 那么答案是 48＋1＝49

11. 下列哪项能被11整除？

A．937845678 B．235789453 C．436728839 D．867392267

-------------------------------------- 【天字一号解析】 9＋7＋4＋6＋8＝34 3＋8＋5＋7＝23 34－23＝11

所以 答案是A

所有的奇数位置上的数之和－所有偶数位置上数字之和＝11的倍数 那么这个数就能被11整除。

这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律： （1）

1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）

若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）

若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4） 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5） 若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过

程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

12. 甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时

A．2 B．3 C. 4 D．6

――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目只要抓住固定不变的部分，不管他的时间怎么边速度比是不变的。

假设相遇时用了a小时

那么甲走了a小时的路程 乙需要4小时 根据速度比＝时间的反比 则V甲：V乙＝4 ：a

那么乙走了a小时的路程 甲走了1小时 还是根据速度比＝时间的反比 则 V甲：V乙＝a ：1 即得到 4：a＝a:1

a=2

所以答案是甲需要1＋2＝3小时走完全程！

13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4八个数字做成的八位数，共可做成______个。

A 2940 B 3040 C 3142 D 3144

―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目 我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过！

我们不妨先把这8个数字看作互不相同的数字，0暂时也不考虑是否能够放在最高位

那么这组数字的排列就是P(8,8)，但是，事实上里面有3个1，和2个2，我们知道3个1我们在P(8,8)中是把它作为不同的数字排列的，现在相同了，那我们就必须从P(8,8)中扣除3个1的全排列P（3，3）关键这里是怎么扣除呢？ 记住因为全排列是分步完成的，我们知道在排列组合中，分步相乘，分类相加。 可见必须通过除掉P（3，3）才能去掉这部分重复的数字形成的重复排列。 2个2当然也是如此

所以不考虑0作为首位的情况是 P88/(P33×P22) 现在我们再来单独考虑0作为最高位的情况有多少种：P77/(P33×P22)

最后结果就是：P88/(P33×P22)－P77/(P33×P22)＝2940

14. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）

A.5 B.7 C.9 D.无法计算

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任意2组或者3组公式答题。 先来介绍一下公式：

首先这里不考虑都不参与的元素 （1）

A+B+T=总人数

（2）

A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数 （3）

B＋3T＝至少包含2种的总人数

这里介绍一下A、B、T分别是什么

看图 A＝x＋y＋z； B＝a＋b＋c；T＝三种都会或者都参加的人数

看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人？实际上是求T 根据公式： （1） A＋B＋T＝20 （2）

A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37 （3）

B＋3T＝8＋9＋7＝24

（2）－（1）＝B＋2T＝17 结合（3）

得到T＝24－17＝7人

15. 一个9×11个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形？

A.2376 B.1188 C.2970 D.3200

A. 3 B.4 C.5 D.6

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目除了总人数没有一个准确的数值，而问题确实要求一个确切的数值，由此我们可以肯定这是一个完全符合极限法的题目，所以的数值只能有一个数值满足。

那么我们就开始按照极限法来假设。

总人数22，

（1）家长比老师多，那么家长至少12人 老师最多10人

（2）妈妈比爸爸多，那么说明妈妈至少7人，爸爸最多5人

（3）女老师比妈妈多2人 那么女老师至少7＋2＝9人， 因为老师最多10人。说明男老师最多就是1人，

（4）至少有1名男老师。 跟（3）得出的结论形成交集 就是男老师就是1名。

以上情况完全符合假设推断。 所以爸爸就是5人

31. 某路公共汽车,包括起点和终点共有15个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后的每一站下车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要有多少各座位? A53 B54 C55 D56 ―――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目实际上是寻找何时是峰值，我们按照题目的要求，所有的条件都是选择最小数字完成，那么就符合题目的要最少需要安排多少个座位。 题目要求： 汽车驶出起始站 在后面的每站都有人下车，一直到最后一直站。那说明起始站上车的最少人数应该是14人（确保每站都有一个人下车） 同理要的前面上车的人 后面每站都有1人下车，

说明第1站上车的人 至少是13人。以此类推。第2站是需要12人 ，第3站需要11人。。。。 我们看车子上面什么时候人数最多。当上车人数>=下车人数的时候 车子上的人一直在增加。知道相等 达到饱和 。

我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始。列举一下

起始站（上车）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0

起始站（下车）：0 ，1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9，????..

我们发现当上车人数＝7的时候下车人数也是7 达到最大值 所以答案是

14＋（13－1）＋（12－2）＋（11－3）＋（10－4）＋（9－5）＋（8－6）＝56人

32. 自然数乘1999，末尾6位数都是9，是哪个数？（ ）

A .2001 B.2011 C.2111 D.20001 ――――――――――――― 【天字一号解析】

此题看上去貌似很复杂，其实还是我们常见的考察知识点

我们知道这个数末尾6个数字全是9 ，如果这个数字＋1，那么末尾6个数字应该都是0了 我们根据平方差公示 这个数的开方应该是3个0 A^2-1=(A+1)*(A-1) 因为一个数字是1999

只能是A－1＝1999 A＝2000

那么另外一个数字就是A＋1＝2001 选A

33. 参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有（）人。

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【天字一号解析】

每个人握手的次数是N－1次，N人就握手了N×（N－1）次 但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次。 所以要除以2， 即公式是 N×（N－1）÷2＝36 这样N＝9

如果不理解。我们还可以这样考虑

假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第2个人跟着第一个人也是这样。第一个人是N－1次。第2个人是N－2次 第3个人是N－3次

、、、、、、最后第2人是1次，最后一个人不动，所以他主动握手的次数是0次。

这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的45题练习里面解析了关于线段法则的运用情况

即总握手次数就是 1＋2＋3＋4＋5＋、、、、、、＋N－1 计算公式 就是（首项＋尾项）×项数

÷2

当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出2人即多少种就有多少次握手： Cn取2＝36 也就是 N×（N－1）÷2！＝36 解得 N＝9 这个只适用于比较简单的握手游戏 取2 如果C取值大于2 则就不要用排列组合了，

例如这样一道例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人 A、16 B、17 C、18 D、19

【天使在唱歌解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人

34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用40秒到达，女孩用50秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有： A 80 B 100 C 120 D 140

―――――――――――――― 【天字一号解析】

关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！ 行程问题里面我们常见的有2种

一种是相遇问题：同时想向而行！ 何时相遇的行程问题。

一种是追击问题：是一个人在另外一个人的前面，

两个人同方向走。后面的人速度快，前面人速度慢，什么时候能追上的问题。

我们先分析2种模型：

（1）： 人的方向跟电梯方向同向

，当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走，方向相同，我们发现虽然方向相同，但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数， 说明（人的速度＋扶梯的速度）×时间＝扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。这不过这里的方向是同向。

（2）：人的方向跟电梯方向反向， 人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程了反向，人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候，我们不难发现。其实就是（人的速度－扶梯的速度）×时间＝扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题，只不过这里的方向是相反 ！

我们再来分析例题：首先确定是同向。确定为相遇问题

速度和×时间＝电梯级数

对于男生： （2＋V电梯）×40 对于女生： （1.5＋V电梯）×50

建立等式关系： （2＋V电梯）×40＝（1.5＋V电梯）×50

解得V电梯＝0.5 则电梯级数＝2.5×40＝100或者 2×50＝100

例如我们在举例一个反向的例子：

【例题练习】：商场的自动扶梯匀速自上而下行驶，两个孩子从下往上走，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用50秒到达，女孩用40秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有：

A 80 B 100 C 120 D 140

35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量

的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？ A 24 B 48 C 32 D 16

―――――――――――――――― 【天字一号解析】

公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48 公式的由来是通过2个十字交叉法得到的 你假设交换的部分是a克盐水

假设120克的盐水浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2，

交换混合后相同的浓度是P

那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法

120－a（P1） P－P2

P

a（P2） P1－P

我们得到 （120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P） 那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法 80－a（P2） P1－P P

a（P1） P－P2

我们得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2） 根据这2个比例的右边部分我们可以得到 （120－a）：a＝a：（80－a）

化简得到 a＝120×80/(120+80) 说明跟各自的浓度无关！

补充方法：

因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。所以我们假设交换了a克

a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例

跟原始的参照质量也是同一比例。即 (120－a)/a=120/80 a=48克

或者 （80－a）/a=80/120 a=48克

36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

A. 14 B.16 C.112 D.124

―――――――――――――

【天字一号解析】

这种类型的题目我们首先求出其速度！

甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙频率之比=5：4

而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9

所以，我们来看 相同时间内甲乙得速度之比，5×7：4×9＝35：36

说明，乙比甲多出1个比例单位

现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7＝28个单位

而事实上乙每4浆才能追上36－35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！ 选C

37.

一个游泳者逆流游泳，在Ａ桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流．游泳者继续逆游了１小时到达Ｄ桥，发觉水壶遗失，休息了１２分钟再游回去找寻水壶，又游了１.０５小时后，在Ｂ桥找到了水壶．求Ａ，Ｄ两桥的距离是Ａ，Ｂ两桥距离的几倍．

A．1.5倍 B 4/3倍 C 2倍 D 2.5倍 ――――――――――― 【天字一号解析】

B。。。。。A。。。。。。。。。D

从A掉下是逆水行使到D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间1小时，从D到B 是顺水行使，跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是1小时。 但是因为中间休息了12分钟,水壶还在飘向B 所以才会延长了追上的时间延长了1.05-1=0.05小时

说明：

水壶速度：游泳者的静水速度＝时间的反比＝0.05小时：12分钟＝1：4

AD＝1小时的逆水＝（4－1）的水流速度

AB＝（1＋1.05＋0.2）小时的水流速度＝2.25 AD：AB＝3/2.25=4/3

38.

机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？

A 104 B 108 C 112 D 116 ――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。

碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。

同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是

当机场剩下1架飞机的时候 假设是N分钟剩下一架飞机！ N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）

为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次

解得N＝104分钟

所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。

当108分钟的时候，飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候，

所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！ 答案应该选B

39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是75，其中男选手比女选手人数多百分之八

十，而女选手比男选手的平均分高百分之二十，则女选手平均分是多少？

A75 B 90 C70 D84 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 方法一：

就这个题目你可以建立十字交叉法来解答 假设男生平均成绩是a,女生 就是1.2a

男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5 男

生

:

a 1.2a-7

5 (9)

全班平均成绩(75)

女

生:1.2a 75-a (5)

根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5 解得a=70。女生就是1.2a=84

方法二：

根据十字交叉法的公式我们发现，0.2a 是多出来的平均值,这就是两者的差值.

根据我们上面衍生出来的公式 应该=最重比例之和9+5=14 再乘以系数M

0.2a=14M 得 a=70M

因为分数不可能超过100 所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84

40. 甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（ ）

A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310

――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 像这样的行程问题，比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等

我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方 N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等

第一次相遇前：

开始时 速度是160：20＝8：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比 ＝8：1

所以8－1＝1圈对应的比例即210 所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270

第二次相遇前：

速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比＝4：1

所以4－1＝3等于1圈的距离对应的比例 即210 所以 这个阶段2人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝350

第三次相遇前：

速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1

所以2－1＝1对应的是1圈的比例 即210 所以第3阶段2人路程之和 是210÷1×（2＋1）＝630 则总路程是 270＋350＋630＝1250

41. 有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行多远？ A 4250 B 3000 C 4000 D 3750

―――――――――――――――――

【天字一号解析】

这个题目主要是看单位内（1千米）的消耗率，前轮是1/5000, 后轮是1/3000 单位内消耗的总和是1/5000+1/3000＝4/7500, 因为两个轮子的消耗总量是1＋1＝2，所以可以行使2÷4/7500=3750千米

42. 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字的和，直到不能写为止，如257，1459等等，这类数字有（）个 A、45，B、60，C120，D、无数

――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

此题主要把题目理解清楚，“直到不能为止” 这个是

关键

例如： 123，1235，12358，这算一个数字，就是

12358， ， 123和1235还能继续往下写 题目要

求不能写为止，所以不符合题目要求，

不过我们也发现 其实我们只要去看前2位就可以，

就能区别于其他数字 因为前2位决定后面的数

字。

看看前2位的组合

10，11，12，13，。。。。。。17，18，

。。。。。。

60，61，62，63

70，71，72

80，81

90，

可见这是呈现一个等差数列规律

个数为 （1＋9）×9÷2＝45

43. 有一水池，单开A管10小时可注满，单开B管12小时可注满，开了两管5小时后，A管坏了，只有B管继续工作，则注满一池水共用了多少小时？（ ） A.8 B.9 C.6 D.10

【天字一号解析】

这个题目我拿出来说，是要引起大家重视的，主要是学会识别题目设置的障眼法，

如果我们按部就班的来做，恐怕需要多费些时间。

所以我们在看完题目可以迅速的做一个思考。

什么思考？

题目问：则注满一池的水共用多少小时？我们知道

乙全程都在参与。所以实际上乙工作了多少小时，

就是我们最终要求的结果。

从工作的情况看，A参与了5小时 则相当于 5/1

0=1/2 还剩下1/2 这部分都是乙做的。乙做1/2

需要多少时间呢 12×1/2=6小时 答案就是6小

时

44. 五个人的体重之和是423斤，他们的体重都是

整数，并且各不相同。则体重最轻的人最重可能是

（）

A80 B82 C84 D86

【天字一号解析】

这个题目跟一道分花的题目是“姊妹”题型！我把这个题目作为例题给大家练习

就本题来看。题目要求最轻的人最重是多少？ 而且5个人的体重各不相同。也就是说，总体重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近 那样数字小的才会相对最重。

只有连续自然数满足这个条件。

我们看，5个人的总重量是 423斤， 根据连续自然数的特征，423/5=中间数（平均数）＝84 余数是3

那么我们知道这5个自然数的序列是 82，83，84，85，86 还剩下3斤不可能分配给最小的几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这3斤应该是分配给最重的几个人，对轻者无影响。答案就是82 选B

例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

A.7 B.8 C、9 D.10

45. 有一项工程，甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好甲用整数天完成；如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用1/2天完成；如果按丙、甲、乙次序轮做，也比原计划多用1/2天完成。已知甲单独做用10天完成，且三个工程队的工作效率各不相同，那么这项工程由甲、乙、丙三对合作要多少天可以完成？ A.7 B.19/3 C.209/40 D.40/9

―――――――――――――――

【天字一号解析】

我们先把题目告诉我们的条件分类

（1）甲，乙，丙 甲整数天 （注意，甲收尾 刚好完成）

（2）乙，丙，甲，多用0.5天 （剩余的部分给乙做，也是需要多做0.5天，即丙做.）

（3）丙，甲，乙，多用0.5天。 （剩余的部分给丙做，也是需要多做0.5天，即甲做） 甲单独做10天完成，甲的工作效率是1/10 看（3） 甲的1/10 给丙做，丙需要1天 还得让甲做半天。 所以丙的效率是甲的一半。即为1/20 再看（2），1/10=乙＋1/20×0.5 得到乙的效率是 3/40

合作需要 1/(1/10+3/40+1/20)=40/9 选D

46. 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组， 甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子； 乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子； 丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子； 丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。 现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），则7天内这四个组最多可以缝制衣服多少套）

A 110 B 115 C 120 D125

――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

主要我们采用的主要思路是：让善于做裤子的人做裤子，善于做上衣的人做上衣。这样才能发挥各自的长处，保证最后的总数最大。相等的可以做机动的补差！进行微调！

综合系数是（8＋9＋7＋6）：（10＋12＋11＋7）＝ 3：4

单独看4个人的系数是 4：5 大于综合系数 3：4 等于综合系数 7：11 小于综合系数 6：7 大于综合系数

则 甲，丁做衣服。 丙做裤子。 乙机动

7×（8＋6）＝98 11×7＝77

多出98－77＝21套衣服

机动乙根据自己的情况 需要一天12＋9套裤子才能补上 9/(12-9)=3 需要各自3天的生产（3天衣服＋3天裤子）＋1天裤子

则答案是 衣服 98＋3×9＝125 裤子是 77＋4×12＝125

47. 五个瓶子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？

A6 B.12 C.26 D44

――――――――――――――――――

【天字一号解析】

首先我们从简单的1封信开始

1封： 不可能贴错 0种

2封： 贴错的情况是相互交换 1种

3封： 贴错的情况是2种

4封： 贴错的情况是9种

5封： 贴错的情况是44种

大家就像记住平方数一样记住就可以了，一般如果考试考到 也就是查不到在5以内的情况。

好 我们接着对这些数字形成的数列进行归纳： 0，1，2，9，44

得到了这样一个递归公式：

Sn＝n×S(n-1)＋(-1)^n

Sn表示n个贴错的情况种数

如S1＝0

S2=2×S1+(-1)^2=1

S3=3×S2+(-1)^3=2 S4=4×S3+(-1)^4=9

S5=5×S4+(-1)^5=44

48. 某书店得优惠政策,每次买书200元至499.99元优惠5％，每次买书500元以上（含500元)优惠10％，某顾客买了3次书，如果第一次于第二次合并买比分开买便宜13.5元，如果三次合并买比三次分开买便宜39.4。已知第一次付款是第三次付款得5/8，求第二次买了多少钱书？ A115 B120 C125 D130

―――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

第一次与第二次购书的合价=13.5/5%=270 第三次购书优惠=39.4-270*10%=12.4 如果第三次购书原价=12.4/10%=124 则三次购书款=270+124=394，

不符合题意

所以第三次购书款应该是200以上的，即已经享受优惠。

则第三次购书原价=12.4/（10%-5%）=248 第一次书价=248*5/8=155 第二次书价=270-155=115

49. 电车公司维修站有７辆电车需要进行维修．如果用一名工人维修着７辆车的修复时间分别为１２．１７．８．１８．２３．３０．１４分钟．每辆电车每停开一分钟经济损失为１１元．现在由３名工人效率相等的维修电车，各自独立工作。要使

经济损失减少到最小程度，最少损失多少钱？ Ａ ２３２１ Ｂ ２１５６ Ｃ １９９１ Ｄ １８５９

―――――――――――――――――――――――――

【天字一号解析】

这是一道统筹问题，抓住题目的关键 ：耗时多的放到最后 这样大家等待时间就少

A：8 17 30 耗时＝8×3＋17×2＋30＝88 B：12 18 耗时 12×2＋18＝42 C：14 23 耗时 14×2＋23＝51 总耗时＝88＋42＋51＝181 则费用是181×11＝1991

50. 1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007的值的个位数是（）

A、2 B、3 C、5 D、7

―――――――――――――――

【天字一号解析】

这里不再多说 给大家介绍一下我总结的规律

当某2个数的个位数之和是10的时候这2个数字的相同奇数次方的个位数和还是10，相同的偶数次方的个位数相同。

举例： 4^4跟6^4： 4＋6＝10 那么他们的偶数次方个位数相同 4^4=256 6^6=个位数也是6

4^5和6^5次方 其个位数之和是 4＋6＝10

此题我们先分组 （1，9）（3，7）（5） 根据上述规律

其次方数是2007 奇数次方。 那么其个位数之和是 10＋10＋5＝25 则答案是选C

51. 甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题? A、6 B、5 C、4 D、3

―――――――――――――――― 【天使在唱歌解析】

第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的 http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9818850.html 第14题

我们设A表示难题，B表示中档题目，T表示简单题目 （1）：A＋B＋T＝20

（2）：A＋2B＋3T＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的

将 （1）×2－（2）＝A－T＝4

这就是我们要求的难题比简单题目多出4 可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全了解和熟练运用：A＋2B＋3T这个公式的时候，这个题目我在第一部分就有说明！

52. 甲夫妇邀请 乙丙两对夫妇来家做客，大家随意围坐在一个圆桌上用餐。请问每对夫妇相邻而坐的概率是多大？

A. 1/15 B.2/15 C1/5 D.4/15

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我们必须先掌握一个基础知识

环形排列跟直线排列的区别。 我们知道直线排列 例如 5个人站成一排 有多少种方法 P55＝120， 但是如果问 5个人围成一圈有多少种方法呢？ 我们必须注意环形排列的特别之处， 环形的开始也就是结束。首尾相连的。 所以没有绝对位置之分，只有相对位置。 所以第一个人一般是作为参照物。不参与全排列。所以5个人围成一圈是P44＝24种方法

再看这个题目。

先看 三对夫妇六个人全排列应该是P55＝120种 满足条件的情况：我们我可以先将这三对夫妇捆绑 视为3个人 那么围成一桌的全排列是 P22＝2种，然后我们再对每对夫妇进行调换位置 那就是

2*2*2=2^3

所以满足情况的方法有2×8＝16种 答案是16/120=2/15

53. 一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次?

A 55 B 87 C 41 D 91 ----------------------------- 【天字一号解析】

这个题目是一个典型的“抽屉原理”题目！ 碰到抽屉原理类型的题目，我们首先需要去寻找什么是抽屉。其次是抽屉的个数。 当这些都确定以后。我们可以根据题目提供的条件 对抽屉进行极限化分配。

什么是抽屉，题目中告诉我们 四种不同颜色的小球任意取2个小球组成的不同组合，这里就是指不同颜色的搭配形成的组合

那么我们看 有多少个抽屉（组合）呢 4种颜色的搭配应该是 分两种情况

（1） 不同颜色的组合： C（4，2）＝6 （2） 相同颜色的组合： C（4，1）＝4

很明显了 抽屉（组合）的种数就是6＋4＝10种 要的10次所摸的结果一样。最坏的情况就是每种组合都会摸到最大限度 最大限度就是10－1＝9种 所以答案是9×10＋1＝91 选D

54. 已知连续四个自然数的积是1680,这四个数的和是（ ）

A、22 B、24 C、26 D、28 ------------------------------ 【天字一号解析】

此题是个不错的题目，属于比较简单的题目。方法有3种。

方法一：分解因式法

1680＝2×2×2×5×6×7 一目了然 这四个数是5，6，7，8 和为26。这个方法对于比较小的数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数的情况，那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。

方法二：数字特性法

这里告诉大家一个数字规律常识：连续四个自然数的乘积必是一个数的平方－1

数字概念特性 N的平方＝（N＋1）×（N－1）＋1 也就是说 一个数的平方＝这个数的两边数字乘积＋1。根据这个我们可以确定1681是某个数字的平方＝41的平方 可以直接估算出来。根据上述特性 1680＝40×42 则结果出来了 42＝6×7 40＝5×8

方法三：排除法

根据选项我们发现最小的是22，最大的是28 连续四个自然数之和。大概是在4～9这个范围内的某四个连续自然数，稍微试一试就出来了

55. 甲乙丙三人共同进货回来，在平均分配的时候，甲比丙多了3吨，丙比乙少了3吨， 为了公平起见，甲乙各自给了丙12000元。 则每吨货值（ ）元

A、4000元 B、8000元 C、16000元 D、12000元

―――――――――――――― 【天字一号解析】

此题非常的好，这是一个参照物选择的问题。从题目表面看似乎就是甲乙跟丙的比较。其实是三者跟平均数的比较。平均数才是这个题目的参照标准。如此题：

我们知道，甲乙比丙都多了3吨，则总共多了3×2＝6吨。平均分给3个人。则每个人是2吨。相比原先多出3吨的情况，甲乙其实都是只比平均数多了1吨。公平起见。每个人都应该分得平均数。现在甲乙都是多拿了1吨，则 每个人付出的12000元就是1吨货物的钱。此题选D

56.有8件产品，其中有3件是次品，能够恰好在第5次找出3件次品的概率是（） A 3/28 B 1/8 C 1/7 D 3/56 ---------------------------- 【天字一号解析】

这个题目我们先看8件产品里面任意去3种次品的情况是多少种 C（8，3）＝56

再看恰好是第5次找到 注意这句话的“恰好”这个词

一般情况是 第5次肯定就是最后第3个次品被找到

前面4种情况就出现了2个次品，所以是C（4，2）＝6种

注意，这里还隐藏了一种情况，那就是前面5次都是好成品，没有次品。那么就可以确定剩下的3个都是次品。

则第5次能够恰好找到次品的种数是 6＋1＝7种 则概率是 7/56=1/8

57.某食堂有大、中、小三种碗共计1060只、按照规定，2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗。某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光。问此时来进餐的有（ ）人

A、480 B、600 C、640 D、720 ―――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目相对比较简单，我们先来介绍基础的方法 解法一：

根据食堂规定：2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗 则表示1个人占用了1/2个小碗，2/3个中碗，3/5个大碗 则一个人需要（1/2+2/3+3/5）=53/30个碗。1060个碗中有1060÷53/30＝600个 说明就有600个人 解法二：

我们看2，3，5的最小公倍数是30 ，那么我们看30人需要30÷2＝15个小碗，30÷3×2＝20个中碗，30÷5×3＝18个大碗。则30个人总共需要15＋20＋18＝53个碗，1060中有多少53个碗 就有多少个30人，1060÷53＝20 则总人数是20×30＝600人

58－1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？

A 13 B 14 C 15 D16

58－2. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ ―――――――――――――

【天字一号解析】

这2道题目是同属姐妹题。

58－1这道题目 是通过3个空瓶去换1瓶啤酒。这里需要了解的是 存在酒瓶相差1个的情况下可以借空瓶的说法。 3空瓶＝1瓶酒 我们发现这换

来的1瓶酒 也有一个酒瓶 实际上我们发现是2个空瓶换了一瓶酒（不含瓶子） 而最重的结果也是不留任何空瓶全部兑换出去了

所以我们实际上就是看10个空瓶可以换多少酒瓶里面的酒 10/2=5瓶 答案就是10＋5＝15

再看58－2，

我们先知道了 总共喝了161瓶。 还知道空瓶换酒是 4个空瓶换1瓶酒。假设原来是购买了a瓶酒。根据上述推理 我们可以得到 a＋a/(5-1)=161 解得 a＝644/5=128.8 这里注意 因为存在借酒瓶的问题。所以碰到小数不管是多少 直接进一 所以答案是129

或者你可以采用“求余反商”的方法

我们知道5个空瓶换一个。 那么实际上这个同学是喝掉了161个空瓶的汽水。 应该说 5个空瓶跟换来的1瓶看作一组 就是5＋1＝6个瓶子。 我们看看这161里面有多少个 161/6=26 余数是5 (26＋5)/6=5 余数是 1

(5＋1)/6=1

实际上就是多喝了 26＋5＋1＝32瓶

原来购买的就是161－32＝129瓶！

59. 甲乙2人相约中午12点至1点钟见面，并约定“第一人到达后可以在等第二人15分钟后不见人来就可离去。”假设他们都以各自设想的时间来到见面地点，则他们2人能见上面的机率有多大？ A.1/16; B.1/4; C.3/8; D.以上三者均不对

――――――――――――――― 【天字一号解析】

我们先看这个图形：

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题。 x，y坐标表示2个人等待的时间时刻。 中间部分构成的就是其相交的面积

真个面积 我们把一个单位看作15分钟， 那么整个面积就是4×4＝16个单位。 其中相交的部分就是中间斜着的部分 面积是1×1+根号2×3根号2＝1＋6＝7 所以 概率

是 7/16

60. 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？

A 200 B 208 C 216 D 243 ---------------------- 【天字一号解析】

这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究 那么就是 C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。所以计算重复了我们按照三个堆各不相同为标准，如果三个各不相同，那么插孔法得到的结果就是P33＝6种，但是这个题目里面插孔法得到的情况有些不是6种的，下面我们就对这些不是6种的情况进行研究。 努力把这些情况恢复到6种， 事实上因为不去分组，所以的6种情况都是一样的，所以除以6就是我们需要的结果 1，1，48 2，2，46， 3，3，44 4，4，42 .。。。。。 50/2=25

所以直到 24，24，2

这样的情况少算了 P33-P33/P22=3次 所以一共少算了 24×3＝72

按照标准情况来看应该是 1176＋72＝1248种 所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种 因为不区分组 所以答案是

1248/P33=208种

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gtz3.html