常熟理工学院-高数b（下）期末复习题

高等数学B(下)期末复习题

一、选择题

1．平面3x?5z?1?0 ( )

（A）平行于zox平面 （B）平行于y轴 （C）垂直于y轴 2.向量a?{2,?3,6}，则与a同向的单位向量为（ ） （A） {2,?3,6} （B）? （D）垂直于x轴

??111{2,?3,6} （C） ?{2,?3,6} （D） {2,?3,6} 777??3、当k=（ ）时，向量a??1 , -1, k ?与向量 b??2 , 4, 2 ? 垂直。

（A）-1 （B）1 （C） 2 （D）-2

??????4、设a，b均为非零向量，且满足a?b?a?b，则必有( ).

(A) a?b?0 (B) a?b?0 (C) a?b?0 (D) a?b?0 5、平面2z?3y?0是( ).

(A) 与x轴平行但无公共点的平面 (B) 与yOz平面平行的平面 (C) 通过x轴的平面 (D) 与x轴垂直的平面 6、直线

????????????x?1y?1z?2??与平面x-2y+z=5的位置关系是( ). 234(A) 垂直 (B) 平行 (C) 直线在平面上 (D) 斜交

7、空间坐标系中三点的坐标为O(0,0,0),A(2,1,0),B(2,1,1)，则向量AB与OB的夹角为( ).

(A)

??66 (B) (C) arccos (D) ??arccos 2366x?2y?1z??与平面2x?4y?3z?2的位置关系是( ). 1?228、直线

(A) 平行 (B) 重合 (C) 垂直 (D) 斜交 9、在空间直角坐标系中点(?1,3,?2)关于原点的对称点是( ).

(A) (?1,3,2) (B) (1,3,2) (C) (1,?3,?2) (D) (1,?3,2)

10、点M(4,-3,5)到Oy轴的距离d=( ).

(A) 42?(?3)2?52 (B) (?3)2?52 (C) 42?(?3)2 (D) 42?52 ????11、设向量a?(1,1,0),b?(1,0,1)，则a在b上的投影为（ ）

12 (C) (D) 2

22??12、与向量a??1 , -1, 0?与向量 b??1 , 0, -2 ? 同时垂直的单位向量是( )

(A) 2 (B)

（A）1, 2, 2 ? （B）?, ??2?321??122?, ? （C） ?2, 2, 1 ? （D）?, , ? 33??333?13、yoz平面内的直线y?4z?1绕y轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.

(A) (1?y)2?16(x2?z2) (B) (y2?x2)?16z2?1 (C) y?4(x?z)?1 (D) y2?16z2?1

12、平面Ax?By?Cz?D?0过x轴，则（ ） (A) A?D?0

?(B) B?0,C?0 (C) B?0,C?0 (D) B?C?0

?15、设向量a?(2,?3,6),则与a平行的单位向量是( ) :

111 (A) (2,?3,6) (B) ?(2,?3,6) (C) ?(2,?3,6) (D) (2,?3,6)

777??16.设向量a?{2,?3,6}，则与a反向且平行的单位向量为（ ）

111（A） {2,?3,6} （B） ?{2,?3,6} （C） ?{2,?3,6} （D） {2,?3,6}

777xyz17. 设空间直线 ?? ，则该直线过原点，且（ ）

012(A) 与X轴垂直 (B) 垂直于Y轴，但不平行X轴 (C) 与X轴平行 (D) 垂直于Z轴，但不平行X轴 18. 在空间直角坐标系中，点(1,?3,?1)关于x轴的对称点坐标是（ ）

（1，3，1）（-1，-3，1）（-1，3，1）（-1，-3，-1）(A) (B) (C) (D)

19. 平面3x?5z?1?0 ( ) .

（A）平行于zox平面 （B）平行于y轴 （C）垂直于y轴

（D）垂直于x轴

?x2?y2?22?20. 函数z?arcsin??ln(x?y?1)的定义域是（ ）. ?4???（A） {(x,y)|1?x2?y2?4} （B） {(x,y)|1?x2?y2?4} （C） {(x,y)|1?x2?y2?4} （D） {(x,y)|1?x2?y2?4}

?z?（ ）. ?y21. 设z?cos(x2y)，则

（A） ?sin(x2y) （B）?x2sin(x2y) （C） sin(x2y) （D） x2sin(x2y)

y22. 若f(x?y , )?x2?y2 ,则 f(?1 , 2)? （ ）。

x11A. B. ? C. 3 D. ?3

3323．若fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0。则f(x,y)在(x0,y0)处有（ ） (A) 连续且可微 (B) 连续但不一定可微 (C) 可微但不一定连续 (D) 不一定可微也不一定连续 24. 设f(x,y)?ln(x?2y) ，则fy?(1,0)?（ ） 3x23(A) (B) (C) 1 (D) 0

3225.设f(xy,x?y)?x2?y2，则 f'x(x,y)?f'y(x,y)? ( )

（A）2?2y （B） 2?2y （C） 2x?2y （D） 2x?2y 26、设f(x,y)?ln(x?x2?y2),其中x?y?0,则f(x?y,x?y)?（ ）.

1(A) 2ln(x?y) (B) ln(x?y) (C) (lnx?lny) (D) 2ln(x?y)

2?2z27、设z?e,则?( ).

?x?yxy (A) exy(1?xy) (B) exy(1?y) (C) exy(1?x) (D) exyxy

28、设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且fx?(x0,y0)?0, fy?(x0,y0)?0，fxx??(x0,y0)?0, fyy??(x0,y0)?0，

则函数f(x,y)在(x0,y0)处（ ）.

(A) 必有极值，可能是极大，也可能是极小 (B) 可能有极值，也可能无极值 (C) 必有极大值 (D) 必有极小值

29、设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1, 则fx'(3,2)?( )

(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 55 30、limx?0y?0xyx?y22?（ ）.

1 (D) 不存在、 2(A) 0 (B) 1 (C)

31.设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1, 则fx'(3,2)?( )

(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 55

32、以下命题正确的是（ ）

（A）若f(x,y)可偏导，则f(x,y)全微分一定存在； （B）若f(x,y)可二阶偏导，则fxy(x,y)?fyx(x,y)； （C）若f(x,y)可偏导，则f(x,y)一定连续； （D）若f(x,y)可微；则f(x,y)可偏导.

33、设函数z?f(x,y)具有二阶连续偏导数，在点P0(x0,y0)处，有fx(P0)?fyy(P0)?0, 0)?0,fy(P0)?0, fxx(Pfxy(P0)?fyx(P0)?2，则( ) .

(A)点P0是函数z的极大值点 (B)点P0是函数z的极小值点 (C)点P0非函数z的极值点 (D)条件不够，无法判定

y?2u34、设u?arctan，则= ( ) . 2x?x(A)

4xy 222(x?y)(B)

?4xy 222(x?y)(C)

2xy2xy (D) ?222222(x?y)(x?y)xy??35、函数f(x,y)??x2?y2?0?(A) 偏导数存在但不可微 (C) 连续但偏导数不存在 36、设z?ln(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

在点(0,0)处 ( ).

(B) 可微

(D) 不连续

y?z?（ ）. ，则

x?x1y11(A) (B)2 (C) ?2 (D) ?

xxxxx2y37、对于函数f(x,y)?4 , |x|?|y|?0 , 极限 limf(x,y)= ( ) . 2x?0x?yy?0(A)等于0

38、设f(x,y)?xe，则fx(1,x)? ( ) .

yx' (B)不存在 (C)等于

11 (D)存在且不等于0或 22(A) 0 (B) e (C) e(x?1) (D) 1+ex

xy??39、函数f(x,y)??x2?y2?0?(A) 处处连续

x2?y2?0x2?y2?0

( ).

(B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 40、设f(x,y)?xy? (D) 除（0,0）点外处处连续

x，则f'x(0,1)?（ ） 22x?y(A) 2 (B) ?2 (C)

11 (D) ? 2241、极限limx?0y?0x2?y21?x?y?122＝（ ）

（A） -2 （B） 2 （C） 0 （D） 不存在

242、设z?f(x,y)?cos(xy)，则f'')?（ ） xx(1,2? （A）

?? （B）? （C）? （D）??

22xy23.二重极限lim2的值（ ）

x?0x?y4y?0（A） 0 （B） 1 （C） 43. 若f(x,y)?f(?x,y)，且

1 （D） 不存在 2(x,y)?(?1,1)(x,y)?(1,1)limf(x,y)?1，则limf(x,y)?（ ）

（A） 1 （B） -1 （C）0 （D） 不能确定

?2z44. 设二元函数z?ecosy，则?（ ）

?x?yx （A）esiny （B）e?esiny （C）?ecosy （D）?esiny

4．二次积分 （A）（C）

xxxxx? 1 0dx? 1?x 0f(x,y)dy＝（ ）

1 1?x 0 0 1?y? 1 0dy?f(x,y)dx （B）?dy? 0 1 1 0 0 1f(x,y)dx f(x,y)dx

? 1?x 0dy?f(x,y)dx （D）?dy?22 045. 设D?{(x,y)|x?y?4}，则二重积分

??(xD2?y2)dxdy?（ ）

(A)2? (B) 4? (C)6? (D) 8? 46、变换积分顺序后，

（A）（C）

? 1 0dx? 1 xf(x,y)dy?

1 1 0 0? 1 0dy?f(x,y)dx （B）?dy?f(x,y)dx

0 y? 1 0dy? y2 0f(x,y)dx （D）? x 0dy?f(x,y)dx

0 147、设D是矩形域 0?x?π，?1?y?1，则??xcos(2xy)dxdy的值为( ). 4D(A) 0 (B) ?111 (C) (D) 2422248、设f(x,y)在D:x?y?1,y?0连续，则

??f(x,y)d??( ).

D 1 1-x2 0 0(A)

? 2? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr (B)?dx? 0 1f(x,y)dy

(C)

? ? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr (D)? ?1dx? ? 0 1 1 1?x21?x2f(x,y)dy

?49、在极坐标系下，二次积分(A)

??d??2?2 1 0?d??( ).

?? (B) (C)0 (D) ? 4250．设D是由|x|?1,|y|?1围成的平面区域，则二重积分 (A) 1 (B) 2

(C)

??xd??（ ）

D?

(D) 0

5、.若区域D为?。 (x,y)|x?1，y?1?,则??2dxdy＝（ ）

D(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

51、设D由y?x,y?0及x2?y2?1所围 ,则??d??( ).

D (A) ? (B)

??? (C) (D) 248D52. 设积分区域D是圆环1?x2?y2?4,则二重积分??x2?y2dxdy?（ ）. （A）? 2? 0d??r2dr （B）?d??rdr （C）? 1 4 2? 4 2? 0 1 0d??r2dr （D）?d??rdr

1 2 2? 2 0 153.若区域D为x2?y2?1，则二重积分??f(x,y)dxdy化为累次积分为（ ）

D（A） ?dx? ?1 1 1 1?x2 ?1?x2f(x,y)dy （B） ?dx? ?1 1 21?x2 0f(x,y)dy

f(x,y)dx

（C）

? 0dx? 1?x2 ?1?x2f(x,y)dy （D）

? 1 ?1dy? 1?x2 ?1?x254. 二次积分?dy? 0 1 y yf(x,y)dx?（ ）

1 x2（A）?dx? 0 1 x x2f(x,y)dy （B） ?dx? 0 xf(x,y)dy

（C）? y ydx?f(x,y)dy （D）?dx? 0 0 1 1 y y2f(x,y)dy

55、设D由x?0,y?1,y?x围成,则??f(x,y)dxdy?( )

D(A) ?dy?f(x,y)dx (B) ?dx?f(x,y)dy

0000111x (C)?dy?f(x,y)dx (D) ?dy?f(x,y)dx

0y00111y56、下列级数中收敛的是( )

???1n15?2n(1?) (A)?n (B) ? (C)? (D)?222n?1n?1n?1n?1n?131?nn?57.当|x|?1时，幂级数?(?1)nx3n?1的和函数为（ ）。

n?0?A.

xxxx?? B. C. D.

1?x31?x31?x31?x358. 下列幂级数中收敛区间为??1,1?的是( ).

???1n1n(?1)nn(A)?2x (B) ?x (C) ?x (D) ?xn

nn?1nn?1nn?1n?1??59、 若无穷级数?n?11n a?1收敛，则常数a的所有可能取值为（ ）。

83、微分方程y??2y?0的满足条件y(1)?2的特解为 . 84、微分方程y???2y??0的通解为 .

85、微分方程y???x2?2x的通解为 . 86、微分方程y???4?0的通解为 .

87、设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y?c1?c2e?x，则对应的微分方程为 . 三、解答下列各题

??????1．设a?{1,?1,2},b?{1,2,?1}，求向量a在向量b上的投影以及向量b在向量a上的投影. 2.已知A（1，1，1），B（2，2，1），C（2，1，2），求与AB，AC同时垂直的单位向量.

???x?y?z?1?03、试写出直线?的点向式方程和参数方程.

3x?2y?z?2?0?4. 求过P0(?1,2,9)与平面?:3x?2y?z?5?0垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.

5. 求过点(1,2,?1)且与直线L：x?2y?1z??垂直相交的直线方程. ?21?16、求过点M(?1,0,4)，与直线L：??x?2y?z?0平行的直线方程.

?x?2y?2z?4?0x?3y?2z??垂直的直线方程. 1417、求过点M0(1,0,?2)且与平面3x?4y?z?6?0平行，又与直线L:8、求过点(?1,2,1)且同时平行于两平面?1:x?y?2z?1?0与?2:x?2y?z?1?0的直线方程.

9、设平面经过原点及点（6，-3，2），且与 平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。

10、求平行于x轴，且过点M(3,?1,2)及N(0,1,0)的平面方程.

11．求过点(1,?1,0)且通过直线

x?1y?2z?1??的平面方程. 23112、设平面?过点M(1,?2,1)且通过y轴全轴，试求该平面方程. 13.求过点(0,2,4)且与平面x?2z?1平行的平面方程.

14. 已知平面通过点P1(8,?3,1),P2(4,7,2)且垂直于平面3x?5y?7z?21?0，求这个平面的方程.

15、设有两点A(?7,2,?1)和B(3,4,10)，若平面过点B且垂直于直线AB，求平面方程及点A到平面的距离. 16、设f(x)为连续函数，且满足17、求函数极限limx?0y?0?x1f(t)dt?xf(x)?x2， 求f(x).

1?x2y?1xy32sin(xy).

xyex18、求极限lim.

x?04?16?xyy?0x19、设z?arctan(xy)，而y?e，求

dz dx20. 设z?arctany?lnx2?y2 ，求dz。 x2221、已知 z(x,y)?xy?y?y(x)，且 z(x,1)?x，求

?z?z, ?x?y22、设x?2y?z?2xyz?0，求

?z?z及. ?x?y23．设 z?(lnx)siny， 求全微分dz。

2?2z?2z24、设z?lnx?y,求2,.

?x?x?y2?2z24、求由方程xy?yz?zx?1所确定的函数z(x,y)的偏导数.

?x?y26、设z?ylnx?2z,求.

?x?yy?z?z,求,. x?x?y27、设z?eucosv,其中u?xy,v?28. 设方程 x?2y?3z?2xyz 确定z?f(x,y)，求

?z?z , . ?x?y?2z?2z29．设z?f(x?y)，其中f具有二阶导数，求2,

?x?x?y32?2z30.设z?ln(x?lny)，求.

?x?y?2z31、设z?(x?2y)，求

?x?ylnx32. 设z?f(u,x,y),u?xey，其中f具有连续的偏导数，求33.设z?z(x,y)由方程ez?xyz决定，求全微分dz.

?z?z,. ?x?y34、设f(x,y)?xy?(x?1)tany, 求fx?(1,2),fy?(1,2) 235. 讨论函数z?x3?y3?2x2y?3x2?48y?4的极值。 36. 求函数z?x3?y3?9xy?27的极值.

32y?3xy?6x?3在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和最大值. 22??sinxdx. 38、求I??dy??y??x37、求函数z?x?339、求??xexydxdy,其中D为矩形：0?x?3,?1?y?1

D40. 求使??a2?x2?y2dxdy?1 的 a 值 ，其中D：x2?y2?a2（a?0）。

D41、计算二重积分42、求二重积分

??xydxdy，其中D为y?Dx,y?0,x?y?2所围平面区域.

22(x?y?x)d?，其中D是由直线y＝2,y=x及y=2x所围成的闭区域. ??D43、求

sinxdxdy，D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域. ??xDD44. 设闭区域D是以点O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形区域，求二重积分??x2ydxdy

y45.求??arctg d? D为由y?1?x2与 x轴围成的区域.

xD46、求??Dsinxdxdy,其中D由y?x,y?x2所围 x1y47、求??()2dxdy,其中D由y?x,y?,x?2所围.

xDx48、求??e?xdxdy,其中D由y?x,y?0及x?1所围.

D249. 计算二重积分

22D，是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域. yd???D50、利用极坐标计算二次积分

?2?2dx?4?x20x2?y2dy.

51. 求曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围立体体积.

52. 利用二重积分求由平面x?2y?z?1和三个坐标面围成的体积.

53、设有圆形薄片D:x2?y2?a2,其面密度为f(x,y)?e?(xxn(?1)54、求幂级数?。 2n?3的收敛区间（要讨论端点情况）n?0?n2?y2)求薄片的质量.

55、求幂级数?n?1n的收敛区间（要讨论端点情况）。 (x?1)2n?1n1 （a?0）的敛散性. ?nn?11?a11 +) 的敛散性，若收敛，求和,若不收敛说明理由. nn23??56．讨论数项级数

57、判别级数

?(n?1?58、判别级数

?2nsinn?1???3n的敛散性.

59、判别级数

?( n?1n?1?n) 的敛散性.

60、判别级数

?n?1?12的敛散性. sinnn61.判别级数

n?1 的敛散性. ?n(n?2)n?1?5n61.判别级数?n的敛散性. nn?17?6?62、判别级数

?(?1)nn?1?(n?1)!是绝对敛还是条件收敛. nn?163、将f(x)?lnx展开成(x?1)幂级数，并写出收敛区间.

1展开成关于x?1的幂级数。 1?2x165、将函数f(x)?2 展开成 x 的幂级数，并求出收敛区间.

x?x?664．将f(x)?66. 求微分方程y???2y??y?2e的通解. 67、 求微分方程y??ex?y2x?ex?0通解.

68、求微分方程y??69、求微分方程y??sinxy?的通解. xx11y?2的通解. xx70、求微分方程y??ytanx?sin2x的通解. 71、求微分方程y??ycosx?e?sinx的通解. 72、求微分方程y???6y??9y?(x?1)e?x的通解 73、求微分方程xy??1y?x,y|x?1?1的通解 x?174、求微分方程y''?4y'?5y?x的通解.

75、求微分方程(x2?xy)y??y2?0的通解. 76、求微分方程y?y??1?xy?的通解.

77．求微分方程(x?1)dy?(1?y)dx?0的通解.

78、求微分方程y??1y?ex?0满足初始条件y(1)?0的特解. x79、求微分方程y???y?ex的通解. 80、求微分方程为y???3y??2y?3xe?x的通解

2y81、求微分方程y???(x?1)2的通解.

x?1582、求微分方程y???2y??3y?3x?1的通解. 83.求微分方程

dy?ycosx?e?sinx 的通解. dx84. 求微分方程y??xy??2y2?2y?满足初始条件y|x?0?1的特解. 85. 求微分方程四．综合题

dy?y?e?x的通解. dx?5x?3y?2z?5?01. 证明：直线L:?在平面?：4x?3y?7z?7?0 上.

2x?y?z?1?0??x?2y?52、求点P(1,2,?1)到直线?的距离.

?2x?y?3z?4x23、证明极限lim不存在。

(x,y)?(0,0)x2?y24．设有三个正数x,y,z，它们的和为12，当它们取何值时，函数w?xyz达到最大？

325、在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-16＝0三直线的距离平方之和为最小。

2226．在椭球面2x?y?z?1上求到平面2x?y?z?6的距离最近的点和最近的距离，最远的点和最远的距离.

7、已知三角形一条边长为a，其对角为?，利用拉格朗日乘数法求其它两条边的长，使三角形的面积为最大. 8、将正数30表示成3个正数x、y、z之和，试求x、y、z各等于多少时，函数u?x?2y?3z达到最小. 9、设有一根长为l的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，设圆形的面积为S1，正方形的面积为S2，证明：

222 当S1?S2最小时，

S1??. S2410、求函数z?x3?y3?9xy?27的极值.

y?z?2z2211、设z?arctan?lnx?y,求,.

x?x?x?y12. 设z?f(x2?y2,y2?x2)，f具有连续偏导数，证明： y?z?z?x?0。 ?x?y13、设z?ln(x?y), 证明: x?z?z1?y? ?x?y2zz?z?z, y? )=0 确定，且F具有连续的偏导数，证明： x?y?z?xy。 yx?x?y14、设函数z?z(x,y)由方程F( x?15．求

2222D，其中是圆周x?y?4及坐标轴所围及成的在第二象限内的闭区域。 ln(1?x?y)d???D16、设f(x)在?0,a?上连续，积分区域D?(x,y)x?y?a,0?x?a，试证明：

????D21?a?f(x)f(y)dxdy???f(x)dx? .

?2?024?x217、利用极坐标计算二次积分

???20x2?y2dxdy

1?x2?y22218、计算二重积分 ??，其中D为闭区域x?y?1. dxdy22D1?x?y19、计算二重积分

??D1?x2?y2dxdy，其中D为圆周x2?y2?1及坐标轴所围成第一象限内的闭区域. 221?x?yy20、求??arctand?，D为由y?1?x2与x轴围成的区域。

xD21、利用极坐标计算二重积分

2222，其中D是由圆周x?y?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭ln(1?x?y)d???D区域.

22、求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积. 23.求由曲面z?4?x2?y2与xoy平面围成的立体的体积。

(?1)nx3n24. 求幂级数? 的收敛区间及和函数。 nn?2n?0?25、用部分和数列证明

1 是收敛的，并求出级数的和. ?n?1n(1?n)?26、证明：

1?1. ?(n?1)(n?2)n?0x?1在x?1处展开成泰勒级数. 4?x?27．将f(x)?28、将函数f(x)?ln(3?2x)展开为x?1的幂级数.

1展开成x的幂级数

x2?3x?2130、将函数f(x)?2 展开成 x 的幂级数，并求出收敛区间.

x?x?629、将函数f(x)?31、试将f(x)?x2e2x展开为x的幂级数.

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