塑性力学教案 - 一维条件弹塑性变形

第一章 一维条件下的弹塑性变形

一、 教学目标

了解塑性力学中的两个基本实验：单向拉伸实验和静水压力实验；

掌握塑性强化材料和理想弹塑性材料的应力应变曲线异同； 了解刚塑性模型和幂次强化模型；

掌握包氏效益应力-应变变化过程，两种强化模型：随动强化和等向强化模型； 了解塑性变形的细观机理和等效比拟；

明确弹塑性力学与弹性力学解题的差异：应力-应变过程相依关系； 掌握塑性强化和理想弹塑性材料的本构关系：增量本构和全量本构。

二、 教学内容

介绍金属的单向拉伸压缩实验和静水压力实验结果——应力-应变曲线，讲解两种不同材料拉伸曲线异同和简化模型，介绍静水压力对变形过程的影响；

介绍应变强化现象，讲解两种强化模型的后继屈服限的异同；

介绍弹塑形变形的细观机理和一维变形行为的等效模型，更直观的说明材料在拉压和加卸载时的变形； 介绍弹性和塑形应力-应变曲线的异同，过程相依的概念；

讲解塑形强化材料和理想弹塑性材料的一维增量本构关系和全量本构关系。

三、 重点难点

1) 重点：

两种材料模型，及相应的应力-应变简化曲线；两个强化模型；两种细观机理；两种本构关系。 2) 难点：

本构关系的推导。

四、 讲课提纲 塑性强化 两种材料 金属材料 模型 简单拉压 现象 拉压对称 理想弹塑形 屈服平台 静水压力 体积变化基本是弹性的 弹性 可恢复变形 体积改变 细观机理 滑移（塑性） 永久变形 体积不变 本质 弹性元件 等效模型 滑移元件

0 全量本构关系

一维全量本构关系 理论公式化 增量本构关系

一维增量本构关系

屈服后任抵抗变形

随动强化 应变强化 （包氏效应） 等向强化

两种强化模型 d?d? 两种增量 五、 讲课内容

1一维应力条件下的弹塑性变形

1.1金属材料基本实验

在塑性力学中有两个基本实验：单向拉伸（或压缩）实验；材料在静水压力作用下物体体积变形的实

验。这两个实验的结果是建立各种塑性理论的基础，现分别介绍：

1.1.1金属材料受单轴拉伸和压缩

引例：

材料力学中低碳钢试样的拉伸实验。以标准形状（尺寸）的试件在材料试验机上进行，试件在受到拉力F作用时可以认为其中一段是处于均匀的单向应力状态。

σ 真实应力曲线ε

比例弹性 非线性弹性 屈服 强化 局部变形

弹性 塑性

屈服阶段：试样经过抛光可观察到与轴线成45?方向的条纹，材料沿试样的最大切应力面发生滑移，出现不可恢复变形。

强化阶段：材料在塑性变形过程中不断发生强化，试件的抗力不断增长，横向尺寸明显缩小。 局部变形：横截面面积显著收缩（颈缩），主要是（颈缩）部位伸长。

金属材料的拉伸曲线大致归纳为两种类型:弹塑性强化材料（低碳钢）和理想塑性材料， 1) 塑形强化材料：比例弹性 非线性弹性 弹塑性（弹性应变+塑性应变）

塑形强化材料应力-应变曲线和简化曲线：

σσBOBAMCσ简化σsAE'BεPεeNKεEOεsε（P3，图1-2；P5，图1-3）

加载到达?B前卸载，材料的应力-应变状态仍沿加载时走过路径退回出发点O；超过弹性极限点，如到达M，将延MN线下行至N点，此时?N?0,而?N?0（残余应变），说明

?M??e??p（弹+塑）

?e 可恢复，弹性部分；?p 不可恢复，塑形部分。a) 拉伸加载，应力超出弹性极限后，体元变形为弹塑性性质（此前为弹性性质），其中含不可恢复变

形（塑性变形）；

b) 弹塑性加载段， 应力增量d?造成应变增量由两部分构成d?=d??d?,弹性应变部分仍 服从胡克定律。

为处理问题方便，此类拉伸曲线简化为两段，A点是屈服极限点（比例、弹性极限点合并），对应应力为拉升屈服限，对应应变为屈服应变值。E为弹性模量，E’为弹塑性模量。AB段有

ep??=??/E'???e???p其中 ??e???/E ??p??????e???/E'???/E???/hEE'?11?(此处，h??) ???E?E'?E'E?2) 理想弹塑性材料：线弹性 塑形流动（屈服平台、无弹性应变）

理想弹塑性材料应力-应变曲线和简化曲线：

?1

σABOMB'Cσ简化εNσsAEOεsε（P6，图1-4、1-5）

按弹性规律上升至屈服点A后，进入屈服平台BB’（塑形流动段），应变有很长的发展，后上抬至C迅速破断。在流动过程中卸载,延MN下行，残余应变ON基本与AM长度相等，AM段变形都是塑形变形性质。

此类拉伸曲线也简化为两段，根据有：A、B两点接近，且体元塑性流动段变形可以很大（弹性变形20倍）。

3) 线性强化刚塑性/理想刚塑性:

弹性变形比塑性变形小的多，可忽略，其它部分与塑性强化材料和理想弹塑性材料相对应。

σCABσABCO线性强化刚塑性εO理想刚塑性ε

幂次强化

??A?n?0?n?1?，解析式简单，但不能准确表示材料性质

n=1表示理想弹性体模型，n=0表示理想塑性体模型

σn=1n=0.5n=0.25n=0Oε

1.1.2压缩实验

以上塑性强化材料和理想弹塑性材料的单向压缩实验表明其弹塑性变形行为与拉伸时表现大致相同，认为材料单向拉压时屈服限（屈服应力）绝对值相等，强化和流动表现相同，卸载表现也相同。

静水压力（各向均匀受压）实验对变形过程的影响：体积应变与静水压力成正比；对于一般金属，体积变化基本是弹性的，除去静水压后体积变形可以完全恢复；在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比可忽略，所以假设材料不可压缩。

1.1.3应变强化

应变强化现象：塑性强化材料的加载—卸载—再加载实验 （理想弹塑形材料初始屈服限与后继屈服限重合）

塑性强化材料在到达屈服后仍有抵抗变形的能力（拉伸曲线继续上抬）。应变强化性质：材料的现期塑性应变会造成后继受载时，屈服应力发生改变的现象。

两种强化模型:随动强化（包氏效应）和等向强化（P11） 包氏效应过程：加载—卸载—反向加载—卸载

σσM'σsMAεOA'M'σM'Nσs（P9,图1-9）

讨论对象：后继拉伸屈服限，后继压缩屈服限

随动：后继拉伸屈服限与后继压缩屈服限的改变量相等 等向：后继拉伸屈服限与后继压缩屈服限绝对值相等

1.2塑性力学的细观机理与应变强化现象（本质）

1.2.1细观机理（金属/均匀各向同性）（P7） 弹性：原子间距离改变、可恢复、晶粒体积改变

滑移（塑性）：滑移面、滑移方向、永久性、体积不变

1.2.2等效模型（一维）：（P8）

弹性元件 不同的串并连组合可以构成理想 弹塑性、线性强化 弹塑性 滑移元件 刚塑性 刚塑性 也可以解释包氏效应。

1.3本构关系

1.3.1基本概念

不同于弹性本构关系的重要原因：加卸载过程应力-应变非一一对应 过程相依 （P12）

弹性变形

全量本构关系

塑形变形（单调拉压）

根据应力的发展过程确定应变的发展过程 d??d? 增量本构关系

根据应变的发展过程确定应力的发展过程 d??d?

1.3.2一维弹塑性本构关系

一维弹塑性全量本构关系：

??E? ?0????S?单调拉?=????=????S+E'????S? ????S?线性强化： ??E? ???S???0?单调压?=????=?????S+E'????S? ?????S?????S???E? ?0单调拉?=????=????S ????S?理想弹塑性： ??E? ???S???0?单调压?=????=?????S ?????S?

一维弹塑性增量本构关系：

线性强化： 理想弹塑性：

????当-?S??O??S时 d??d?/Ed??d?????d???当?O ?若d??0??O??S时 d????d?/E ?若d??0??????当??d??O ?若d??0??O???S时 d??????d?/E ?若d??0?????当-?S??O??S时 d??E?d?d??d?????0 ?若d??0?当??O??S时 d??????E?d? ?若d??0???当?????0 ?若d??0??O?S时 d???????E?d? ?若d??0? ????当?**???O???时 d??d?/Ed??d?????当?*?d?/E ?若d??0?O???时 d?????d?/E'= d?/E?d?/h ???若d??0???当?*??d?/E ?若d??0??O???时 d??????d?/E'= d?/E?d?/h ?若d??0?????当?*??*???O?时 d??E?d?d??d?????当?*?E?d? ?若d??0??O???时 d??????E'?d? ?若d??0????当??*?E?d? ?若d??0??O??时 d??????E'?d? ?若d??0?

????S???E? ?0单调拉?=????=????S ????S?理想弹塑性： ??E? ???S???0?单调压?=????=?????S ?????S?

一维弹塑性增量本构关系：

线性强化： 理想弹塑性：

????当-?S??O??S时 d??d?/Ed??d?????d???当?O ?若d??0??O??S时 d????d?/E ?若d??0??????当??d??O ?若d??0??O???S时 d??????d?/E ?若d??0?????当-?S??O??S时 d??E?d?d??d?????0 ?若d??0?当??O??S时 d??????E?d? ?若d??0???当?????0 ?若d??0??O?S时 d???????E?d? ?若d??0? ????当?**???O???时 d??d?/Ed??d?????当?*?d?/E ?若d??0?O???时 d?????d?/E'= d?/E?d?/h ???若d??0???当?*??d?/E ?若d??0??O???时 d??????d?/E'= d?/E?d?/h ?若d??0?????当?*??*???O?时 d??E?d?d??d?????当?*?E?d? ?若d??0??O???时 d??????E'?d? ?若d??0????当??*?E?d? ?若d??0??O??时 d??????E'?d? ?若d??0?

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