C语言100例，C++100例 经典、实用、趣味程序设计编程百例精解

C/C++语言经典、实用、趣味程序设计编程百例精解

1.绘制余弦曲线

在屏幕上用―*‖显示0~360度的余弦函数cos(x)曲线 *问题分析与算法设计

如果在程序中使用数组，这个问题十分简单。但若规定不能使用数组，问题就变得不容易了。 关键在于余弦曲线在0~360度的区间内，一行中要显示两个点，而对一般的显示器来说，只能按行输出，即：输出第一行信息后，只能向下一行输出，不能再返回到上一行。为了获得本文要求的图形就必须在一行中一次输出两个―*‖。

为了同时得到余弦函数cos(x)图形在一行上的两个点，考虑利用cos(x)的左右对称性。将屏幕的行方向定义为x，列方向定义为y，则0~180度的图形与180~360度的图形是左右对称的，若定义图形的总宽度为62列，计算出x行0~180度时y点的坐标m，那么在同一行与之对称的180~360度的y点的坐标就 应为62-m。程序中利用反余弦函数acos计算坐标(x,y)的对应关系。

使用这种方法编出的程序短小精炼，体现了一定的技巧。 *程序说明与注释 #include #include int main() {

double y; int x,m;

for(y=1;y>=-1;y-=0.1) /*y为列方向，值从1到-1，步长为0.1*/ {

m=acos(y)*10; /*计算出y对应的弧度m，乘以10为图形放大倍数*/ for(x=1;x

printf(\控制打印同一行中对称的右侧*号*/ } return 0; } *思考题

如何实现用―*‖显示0~360度的sin(x)曲线。

在屏幕上显示0~360度的cos(x)曲线与直线f(x)=45*(y-1)+31的迭加图形。其中cos(x)图形用―*‖表示，f(x)用―+‖表示，在两个图形相交的点上则用f(x)图形的符号。 2.绘制余弦曲线和直线 *问题分析与算法设计

本题可以在上题的基础上进行修改。图形迭加的关键是要在分别计算出同一行中两个图形的列方

向点坐标后，正确判断相互的位置关系。为此，可以先判断图形的交点，再分别控制打印两个不同的图形。 *程序注释与说明 #include #include int main() {

double y; int x,m,n,yy;

for(yy=0;yy<=20;yy++) /*对于第一个y坐标进行计算并在一行中打印图形*/ {

y=0.1*yy; /*y：屏幕行方向坐标*/

m=acos(1-y)*10; /*m: cos(x)曲线上y点对应的屏幕列坐标*/ n=45*(y-1)+31; /*n: 直线上y点对应的列坐标*/ for(x=0;x<=62;x++) /*x: 屏幕列方向坐标*/

if(x==m&&x==n) printf(\直线与cos(x)相交时打印―+‖*/ else if(x==n) printf(\打印不相交时的直线图形*/

else if(x==m||x==62-m) printf(\打印不相交时的cos(x)图形*/ else printf(\其它情况打印空格*/ printf(\} return 0; } *思考题

如何实现sin(x)曲线与cos(x)曲线图形的同时显示。 3.绘制圆

在屏幕上用―*‖画一个空心的圆 *问题分析与算法设计

打印圆可利用图形的左右对称性。根据圆的方程： R*R=X*X+Y*Y

可以算出圆上每一点行和列的对应关系。 *程序说明与注释 #include #include int main() {

double y; int x,m;

for(y=10;y>=-10;y–) {

m=2.5*sqrt(100-y*y); /*计算行y对应的列坐标m，2.5是屏幕纵横比调节系数因为屏幕

的

行距大于列距，不进行调节显示出来的将是椭圆*/

for(x=1;x<30-m;x++) printf(\图形左侧空白控制*/ printf(\圆的左侧*/

for(;x<30+m;x++) printf(\图形的空心部分控制*/ printf(\圆的右侧*/ }

return 0; } *思考题

实现函数y=x2的图形与圆的图形叠加显示 4.歌星大奖赛

在歌星大奖赛中，有10个评委为参赛的选手打分，分数为1~100分。选手最后得分为：去掉一个最高分和一个最低分后其余8个分数的平均值。请编写一个程序实现。 *问题分析与算法设计

这个问题的算法十分简单，但是要注意在程序中判断最大、最小值的变量是如何赋值的。 *程序说明与注释 #include int main() {

int integer,i,max,min,sum;

max=-32768; /*先假设当前的最大值max为C语言整型数的最小值*/ min=32767; /*先假设当前的最小值min为C语言整型数的最大值*/ sum=0; /*将求累加和变量的初值置为0*/ for(i=1;i<=10;i++) {

printf(\

scanf(\输入评委的评分*/ sum+=integer; /*计算总分*/

if(integer>max)max=integer; /*通过比较筛选出其中的最高分*/ if(integer

printf(\printf(\输出结果*/ } *运行结果

Input number1=90 Input number2=91 Input number3=93 Input number4=94 Input number5=90 Input number6=99

Input number7=97 Input number8=92 Input number9=91 Input number10=95 Canceled max score:99 Canceled min score:90 Average score:92 *思考题

题目条件不变，但考虑同时对评委评分进行裁判，即在10个评委中找出最公平(即评分最接返平均分)和最不公平(即与平均分的差距最大)的评委，程序应该怎样实现？ 5.求最大数

问555555的约数中最大的三位数是多少？ *问题分析与算法设计

根据约数的定义，对于一个整数N，除去1和它自身外，凡能整除N的数即为N的约数。因此，最简单的方法是用2到N-1之间的所有数去除N，即可求出N的全部约数。本题只要求取约数中最大的三位数，则其取值范围可限制在100到999之间。 *程序说明与注释 #include int main() { long i; int j;

printf(\scanf(\for(j=999;j>=100;j–) if(i%j==0) {

printf(\break; } }

*运行结果 输入：555555

输出：The max factor with 3 digits in 555555 is:777 6.高次方数的尾数

求13的13次方的最后三位数 *问题分析与算法设计

解本题最直接的方法是：将13累乘13次方截取最后三位即可。

但是由于计算机所能表示的整数范围有限，用这种―正确‖的算法不可能得到正确的结果。事实上，题目仅要求最后三位的值，完全没有必要求13的13次方的完整结果。

研究乘法的规律发现：乘积的最后三位的值只与乘数和被乘数的后三位有关，与乘数和被乘数的高位无关。利用这一规律，可以大大简化程序。 *程序说明与注释 #include int main() {

int i,x,y,last=1; /*变量last保存求X的Y次方过程中的部分乘积的后三位*/ printf(\scanf(\for(i=1;i<=y;i++) /*X自乘Y次*/

last=last*x00; /*将last乘X后对1000取模，即求积的后三位*/

printf(\打印结果*/ }

*运行结果

Input X and Y(X**Y):13**13 The last 3 digits of 13**13 is:253 Input X and Y(X**Y):13**20 The last 3 digits of 13**20 is:801 7.阶乘尾数零的个数 100!的尾数有多少个零？

*问题分析与算法设计

可以设想：先求出100!的值，然后数一下末尾有多少个零。事实上，与上题一样，由于计算机所能表示的整数范围有限，这是不可能的。

为了解决这个问题，必须首先从数学上分析在100!结果值的末尾产生零的条件。不难看出：一个整数若含有一个因子5，则必然会在求100!时产生一个零。因此问题转化为求1到100这100个整数中包含了多少个因子5。若整数N能被25整除，则N包含2个因子5；若整数N能被5整除，则N包含1个因子5。 *程序说明与注释 #include int main() {

int a,count =0;

for(a=5;a<=100;a+=5) //循环从5开始，以5的倍数为步长，考察整数 {

++count; //若为5的倍数，计数器加1

if(!(a%)) ++count; //若为25的倍数，计数器再加1 }

printf(\打印结果 return 0; }

*运行结果

The number of 0 in the end of 100! is: 24. *问题进一步讨论

本题的求解程序是正确的，但是存在明显的缺点。程序中判断整数N包含多少个因子5的方法是与程序中的100有关的，若题目中的100改为1000，则就要修改程序中求因子5的数目的算法了。 *思考题

修改程序中求因子5的数目的算法，使程序可以求出任意N!的末尾有多少个零。 8.借书方案知多少

小明有五本新书，要借给A，B，C三位小朋友，若每人每次只能借一本，则可以有多少种不同的借法？

*问题分析与算法设计

本问题实际上是一个排列问题，即求从5个中取3个进行排列的方法的总数。首先对五本书从1至5进行编号，然后使用穷举的方法。假设三个人分别借这五本书中的一本，当三个人所借的书的编号都不相同时，就是满足题意的一种借阅方法。 *程序说明与注释 int main() {

int a,b,c,count=0;

printf(\for(a=1;a<=5;a++) /*穷举第一个人借5本书中的1本的全部情况*/ for(b=1;b<=5;b++) /*穷举第二个人借5本书中的一本的全部情况*/

for(c=1;a!=b&&c<=5;c++) /*当前两个人借不同的书时，穷举第三个人借5本书 中的1本的全部情况*/

if(c!=a&&c!=b) /*判断第三人与前两个人借的书是否不同*/

printf(count%8?\/*打印可能的借阅方法*/ }

*运行结果

There are diffrent methods for XM to distribute books to 3 readers: 1: 1,2,3 2: 1,2,4 3: 1,2,5 4: 1,3,2 5: 1,3,4 6: 1,3,5 7: 1,4,2 8: 1,4,3 9: 1,4,5 10:1,5,2 11:1,5,3 12:1,5,4 13:2,1,3 14:2,1,4 15:2,1,5 16:2,3,1 17:2,3,4 18:2,3,5 19:2,4,1 20:2,4,3 21:2,4,5 22:2,5,1 23:2,5,3 24:2,5,4 25:3,1,2 26:3,1,4 27:3,1,5 28:3,2,1 29:3,2,4 30:3,2,5 31:3,4,1 32:3,4,2 33:3,4,5 34:3,5,1 35:3,5,2 36:3,5,4 37:4,1,2 38:4,1,3 39:4,1,5 40:4,2,1 41:4,2,3 42:4,2,5 43:4,3,1 44:4,3,2 45:4,3,5 46:4,5,1 47:4,5,2 48:4,5,3 49:5,1,2 50:5,1,3

51:5,1,4 52:5,2,1 53:5,2,3 54:5,2,4 55:5,3,1 56:5,3,2 57:5,3,4 58:5,4,1 59:5,4,2 60:5,4,3 9.杨辉三角形

在屏幕上显示杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ……………………………….. *问题分析与算法设计

杨辉三角形中的数，正是(x+y)的N次方幂展开式各项的系数。本题作为程序设计中具有代表性的题目，求解的方法很多，这里仅给出一种。 从杨辉三角形的特点出发，可以总结出： 1)第N行有N+1个值(设起始行为第0行) 2)对于第N行的第J个值：(N>=2) 当J=1或J=N+1时：其值为1

J!=1且J!=N+1时：其值为第N-1行的第J-1个值与第N-1行第J个值 之和

将这些特点提炼成数学公式可表示为： 1 x=1或x=N+1 c(x,y)=

c(x-1,y-1)+c(x-1,y) 其它

本程序应是根据以上递归的数学表达式编制的。 *程序说明与注释 #include int main() {

int i,j,n=13; printf(\while(n>12)

scanf(\控制输入正确的值以保证屏幕显示的图形正确*/ for(i=0;i<=n;i++) /*控制输出N行*/ {

for(j-0;j<24-2*i;j++) printf(\控制输出第i行前面的空格*/ for(j=1;j

void int c(int x,int y) /*求杨辉三角形中第x行第y列的值*/ { int z;

if((y==1)||(y==x+1)) return 1; /*若为x行的第1或第x+1列，则输出1*/ z=c(x-1,y-1)+c(x-1,y); /*否则，其值为前一行中第y-1列与第y列值之和*/ return z; } *思考题

自行设计一种实现杨辉三角形的方法 10.数制转换

将任一整数转换为二进制形式 *问题分析与算法设计

将十进制整数转换为二进制的方法很多，这里介绍的实现方法利用了C语言能够对位进行操作的特点。对于C语言来说，一个整数在计算机内就是以二进制的形式存储的，所以没有必要再将一个整数经过一系列的运算转换为二进制形式，只要将整数在内存中的二进制表示输出即可。 *程序说明与注释 #include void printb(int,int); int main() {

int x;printf(\scanf(\

printf(\printf(\

printb(x,sizeof(int)*8); /*x:整数 sizeof(int):int型在内存中所占的字节数 sizeof(int)*8:int型对应的位数*/ putchar('\\n'); }

void printb(int x,int n) { if(n>0) {

putchar('0'+((unsigned)(x&(1<<(n-1)))>>(n-1))); /*输出第n位*/ printb(x,n-1); /*归调用，输出x的后n-1位*/ } }

*运行结果 输入：8 输出：

number of decimal form:8

it's bunary form:0000000000001000

输入：-8

输出：number of decimal form:-8 it's binary form:1111111111111000 输入：32767

输出：number of decimal form:32767 it's binary form:0111111111111111 输入：-32768

输出：number of decimal form:-32768 it's binary form:1000000000000000 输入：128

输出：number of decimal form:128 it's binary form:0000000010000000 *问题的进一步讨论

充分利用C语言可以对位进行操作的特点，可以编写许多其它高级语言不便于编写甚至根本无法编写的程序。位操作是C语言的一大特点，在深入学习C语言的过程中应力求很好掌握。 程序中使用的位运算方法不是最佳的，也可以不用递归操作，大家可以自行对程序进行优化。 *思考题

将任意正整数转换为四进制或八进制数

C/C++语言经典、实用、趣味程序设计编程百例精解（2） 11.打鱼还是晒网

中国有句俗语叫―三天打鱼两天晒网‖。某人从1990年1月1日起开始―三天打鱼两天晒网‖，问这个人在以后的某一天中是―打鱼‖还是―晒网‖。 *问题分析与算法设计

根据题意可以将解题过程分为三步：

1)计算从1990年1月1日开始至指定日期共有多少天；

2)由于―打鱼‖和―晒网‖的周期为5天，所以将计算出的天数用5去除； 3)根据余数判断他是在―打鱼‖还是在―晒网‖； 若 余数为1，2，3，则他是在―打鱼‖ 否则 是在―晒网‖

在这三步中，关键是第一步。求从1990年1月1日至指定日期有多少天，要判断经历年份中是否有闰年，二月为29天，平年为28天。闰年的方法可以用伪语句描述如下： 如果 ((年能被4除尽 且 不能被100除尽)或 能被400除尽) 则 该年是闰年； 否则 不是闰年。

C语言中判断能否整除可以使用求余运算(即求模) *程序说明与注释 #include int days(struct date day); struct date{ int year;

int month; int day; }; int main() {

struct date today,term; int yearday,year,day;

printf(\

scanf(\输入日期*/ term.month=12; /*设置变量的初始值：月*/ term.day=31; /*设置变量的初始值：日*/

for(yearday=0,year=1990;year

term.year=year;

yearday+=days(term); /*计算从1990年至指定年的前一年共有多少天*/ }

yearday+=days(today); /*加上指定年中到指定日期的天数*/ day=yearday%5; /*求余数*/

if(day>0&&day<4) printf(\打印结果*/ else printf(\}

int days(struct date day) {

static int day_tab[2][13]=

{{0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31,}, /*平均每月的天数*/ {0,31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31,}, }; int i,lp;

lp=day.year%4==0&&day.year0!=0||day.year@0==0; /*判定year为闰年还是平年，lp=0为平年，非0为闰年*/ for(i=1;i

*运行结果

Enter year/month/day:1991 10 25 He was fishing at day.

Enter year/month/day:1992 10 25 He was sleeping at day.

Enter year/month/day:1993 10 25 He was sleeping at day.

*思考题

请打印出任意年份的日历 12.抓交通肇事犯

一辆卡车违反交通规则，撞人后逃跑。现场有三人目击事件，但都没有记住车号，只记下车号的一些特征。甲说：牌照的前两位数字是相同的；乙说：牌照的后两位数字是相同的，但与前两位不同； 丙是数学家，他说：四位的车号刚好是一个整数的平方。请根据以上线索求出车号。 *问题分析与算法设计

按照题目的要求造出一个前两位数相同、后两位数相同且相互间又不同的整数，然后判断该整数是否是另一个整数的平方。 *程序说明与注释 #include #include int main() {

int i,j,k,c;

for(i=1;i<=9;i++) /*i:车号前二位的取值*/ for(j=0;j<=9;j++) /*j:车号后二位的取值*/ if(i!=j) /*判断二位数字是否相异*/ {

k=i*1000+i*100+j*10+j; /*计算出可能的整数*/

for(c=31;c*c

*运行结果

Lorry _No.is 7744

13.该存多少钱

假设银行一年整存零取的月息为0.63%。现在某人手中有一笔钱，他打算在今后的五年中的年底取出1000元，到第五年时刚好取完，请算出他存钱时应存入多少。 *问题分析与算法设计

分析存钱和取钱的过程，可以采用倒推的方法。若第五年年底连本带息要取1000元，则要先求出第五年年初银行存款的钱数： 第五年初存款=1000/(1+12*0.0063)

依次类推可以求出第四年、第三年……的年初银行存款的钱数： 第四年年初存款=(第五年年初存款+1000)/(1+12*0.0063) 第三年年初存款=(第四年年初存款+1000)/(1+12*0.0063) 第二年年初存款=(第三年年初存款+1000)/(1+12*0.0063) 第一年年初存款=(第二年年初存款+1000)/(1+12*0.0063) 通过以上过程就可以很容易地求出第一年年初要存入多少钱。

*程序说明与注释 #include int main() { int i;

float total=0;

for(i=0;i<5;i++) /*i 为年数，取值为0~4年*/

total=(total+1000)/(1+0.0063*12); /*累计算出年初存款数额，第五次的计算 结果即为题解*/

printf(\}

*运行结果

He must save 4039.44 at first 14.怎样存钱利最大

假设银行整存整取存款不同期限的月息利率分别为： 0.63% 期限=1年 0.66% 期限=2年 0.69% 期限=3年 0.75% 期限=5年 0.84% 期限=8年

利息=本金*月息利率*12*存款年限。

现在某人手中有2000元钱，请通过计算选择一种存钱方案，使得钱存入银行20年后得到的利息最多(假定银行对超过存款期限的那一部分时间不付利息)。 *问题分析与算法设计

为了得到最多的利息，存入银行的钱应在到期时马上取出来，然后立刻将原来的本金和利息加起来再作为新的本金存入银行，这样不断地滚动直到满20年为止，由于存款的利率不同，所以不同的存款方法(年限)存20年得到的利息是不一样的。

分析题意，设2000元存20年，其中1年存i1次，2年存i2次，3年存i3次，5年存i5次，8年存i8次，则到期时存款人应得到的本利合计为：

2000*(1+rate1)i1*(1+rate2)i2*(1+rate3)i3*(1+rate5)i5*(1+rate8)i8 其中rateN为对应存款年限的利率。根据题意还可得到以下限制条件： 0<=i8<=2

0<=i5<=(20-8*i8)/5 0<=i3<=(20-8*i8-5*i5)/3 0<=i2<=(20-8*i8-5*i5-3*i3)/2 0<=i1=20-8*i8-5*i5-3*i3-2*i2

可以用穷举法穷举所有的i8、i5、i3、i2和i1的组合，代入求本利的公式计算出最大值，就是最佳存款方案。 *程序说明与注释 #include #include int main()

{

int i8,i5,i3,i2,i1,n8,n5,n3,n2,n1; float max=0,term;

for(i8=0;i8<3;i8++) /*穷举所有可能的存款方式*/ for(i5=0;i5<=(20-8*i8)/5;i5++) for(i3=0;i3<=(20-8*i8-5*i5)/3;i3++) for(i2=0;i2<=(20-8*i8-5*i5-3*i3)/2;i2++) {

i1=20-8*i8-5*i5-3*i3-2*i2;

term=2000.0*pow((double)(1+0.0063*12),(double)i1) *pow((double)(1+2*0.0063*12),(double)i2) *pow((double)(1+3*0.0069*12),(double)i3) *pow((double)(1+5*0.0075*12),(double)i5) *pow((double)(1+8*0.0084*12),(double)i8); /*计算到期时的本利合计*/ if(term>max) {

max=term;n1=i1;n2=i2;n3=i3;n5=i5;n8=i8; } }

printf(\printf(\printf(\printf(\printf(\printf(\printf(\/*输出存款方式*/ }

*运行结果

For maxinum profit,he should so save his money in a bank: made fixed deposit for 8 year: 0times made fixed deposit for 5 year: 4times made fixed deposit for 3 year: 0times made fixed deposit for 2 year: 0times made fixed deposit for 1 year: 0times Total:8841.01

可见最佳的存款方案为连续四次存5年期。 *思考题

某单位对职工出售住房，每套为2万元。买房付款的方法是： 一次交清，优惠20%

从第一年开始，每年年初分期付款： 5年交清，优惠50%； 10年交清，优惠10%；

20年交清，没有优惠。

现在有人手中正好有2万元，若假定在今后20年中物价和银行利率均保持不变，问他应当选择哪种付款方式可以使应付的钱最少？ 15.捕鱼和分鱼

A、B、C、D、E五个人在某天夜里合伙去捕鱼，到第二天凌晨时都疲惫不堪，于是各自找地方睡觉。日上三杆，A第一个醒来，他将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，拿走自己的一份。B第二个醒来，也将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，保持走自己的一份。C、D、E依次醒来，也按同样的方法拿走鱼。问他们合伙至少捕了多少条鱼？ *问题分析与算法设计

根据题意，总计将所有的鱼进行了五次平均分配，每次分配时的策略是相同的，即扔掉一条鱼后剩下的鱼正好分成五份，然后拿走自己的一份，余下其它的四份。

假定鱼的总数为X，则X可以按照题目的要求进行五次分配：X-1后可被5整除，余下的鱼为4*(X-1)、5。若X满足上述要求，则X就是题目的解。 *程序说明与注释 #include int main() {

int n,i,x,flag=1; /*flag：控制标记*/

for(n=6;flag;n++) /*采用试探的方法。令试探值n逐步加大*/ {

for(x=n,i=1&&flag;i<=5;i++) if((x-1)%5==0) x=4*(x-1)/5;

else flag=0; /*若不能分配则置标记falg=0退出分配过程*/ if(flag) break; /*若分配过程正常结束则找到结果退出试探的过程*/ else flag=1; /*否则继续试探下一个数*/ }

printf(\输出结果*/ }

*运行结果

Total number of fish catched = 3121 *问题的进一步讨论

程序采用试探法，试探的初值为6，每次试探的步长为1。这是过分保守的做法。可以在进一步分析题目的基础上修改此值，增大试探的步长值，以减少试探次数。 *思考题

请使用其它的方法求解本题。 16.出售金鱼

买卖提将养的一缸金鱼分五次出售系统上一次卖出全部的一半加二分之一条；第二次卖出余下的三分之一加三分之一条；第三次卖出余下的四分之一加四分之一条；第四次卖出余下的五分之一加五分之一条；最后卖出余下的11条。问原来的鱼缸中共有几条金鱼？

*问题分析与算法设计

题目中所有的鱼是分五次出售的，每次卖出的策略相同；第j次卖剩下的(j+1)分之一再加1/(j+1)条。第五次将第四次余下的11条全卖了。 假定第j次鱼的总数为X，则第j次留下： x-(x+1)/(j+1)

当第四次出售完毕时，应该剩下11条。若X满足上述要求，则X就是题目的解。

应当注意的是：\应满足整除条件。试探X的初值可以从23开始，试探的步长为2，因为X的值一定为奇数。 *程序说明与注释 #include int main() {

int i,j,n=0,x; /*n为标志变量*/

for(i=23;n==0;i+=2) /*控制试探的步长和过程*/ {

for(j=1,x=i;j<=4&&x>=11;j++) /*完成出售四次的操作*/ if((x+1)%(j+1)==0) /*若满足整除条件则进行实际的出售操作*/ x-=(x+1)/(j+1);

else {x=0;break;} /*否则停止计算过程*/

if(j==5&&x==11) /*若第四次余下11条则满足题意*/ {

printf(\输出结果*/ n=1; /*控制退出试探过程*/ } } }

*运行结果

There are 59 fishes at first. *思考题

日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：―老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大‖。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？ 17.平分七筐鱼

甲、乙、丙三位鱼夫出海打鱼，他们随船带了21只箩筐。当晚返航时，他们发现有七筐装满了鱼，还有七筐装了半筐鱼，另外七筐则是空的，由于他们没有秤，只好通过目测认为七个满筐鱼的重量是相等的，7个半筐鱼的重量是相等的。在不将鱼倒出来的前提下，怎样将鱼和筐平分为三份？

*问题分析与算法设计

根据题意可以知道：每个人应分得七个箩筐，其中有3.5筐鱼。采用一个3*3的数组a来表示

三个人分到的东西。其中每个人对应数组a的一行，数组的第0列放分到的鱼的整筐数，数组的第1列放分到的半筐数，数组的第2列放分到的空筐数。由题目可以推出： 。数组的每行或每列的元素之和都为7； 。对数组的行来说，满筐数加半筐数=3.5； 。每个人所得的满筐数不能超过3筐；

。每个人都必须至少有1 个半筐，且半筐数一定为奇数

对于找到的某种分鱼方案，三个人谁拿哪一份都是相同的，为了避免出现重复的分配方案，可以规定：第二个人的满筐数等于第一个人的满筐数；第二个人的半筐数大于等于第一个人的半筐数。 *程序说明与注释 #include int a[3][3],count; int main() {

int i,j,k,m,n,flag;

printf(\

for(i=0;i<=3;i++) /*试探第一个人满筐a[0][0]的值，满筐数不能>3*/ {

a[0][0]=i;

for(j=i;j<=7-i&&j<=3;j++) /*试探第二个人满筐a[1][0]的值，满筐数不能>3*/ {

a[1][0]=j;

if((a[2][0]=7-j-a[0][0])>3)continue; /*第三个人满筐数不能>3*/

if(a[2][0]=前一个人，以排除重复情况*/ for(k=1;k<=5;k+=2) /*试探半筐a[0][1]的值，半筐数为奇数*/ {

a[0][1]=k;

for(m=1;m<7-k;m+=2) /*试探 半筐a[1][1]的值，半筐数为奇数*/ {

a[1][1]=m; a[2][1]=7-k-m;

for(flag=1,n=0;flag&&n<3;n++)

/*判断每个人分到的鱼是 3.5筐，flag为满足题意的标记变量*/ if(a[n][0]+a[n][1]<7&&a[n][0]*2+a[n][1]==7) a[n][2]=7-a[n][0]-a[n][1]; /*计算应得到的空筐数量*/ else flag=0; /*不符合题意则置标记为0*/ if(flag) {

printf(\–basket Empty\\n\for(n=0;n<3;n++)

printf(\'A'+n,a[n][0],a[n][1],a[n][2]); } } }

} } }

* 运行结果

It exists possible distribution plans: No.1 Full basket Semi–basket Empty fisher A: 1 5 1 fisher B: 3 1 3 fisher C: 3 1 3

No.2 Full basket Semi–basket Empty fisher A: 2 3 2 fisher B: 2 3 2 fisher C: 3 1 3 *思考题

晏会上数学家出了一道难题：假定桌子上有三瓶啤酒，癣瓶子中的酒分给几个人喝，但喝各瓶酒的人数是不一样的。不过其中有一个人喝了每一瓶中的酒，且加起来刚好是一瓶，请问喝这三瓶酒的各有多少人？

(答案：喝三瓶酒的人数分别是2人、3人和6人)

18.有限5位数

个位数为6且能被3整除的五位数共有多少？ *题目分析与算法设计

根据题意可知，满足条件的五位数的选择范围是10006、10016。。。99996。可设基础数i=1000，通过计算i*10+6即可得到欲选的数(i的变化范围是1000~999)，再判断该数能否被3整除。 *程序说明与注释 #include int main() {

long int i;

int count=0; /*count:统计满足条件的五位数的个数*/ for(i=1000;i<9999;i++)

if(!((i*10+6)%3)) /*判断所选的数能否被3整除*/ count++; /*若满足条件则计数*/ printf(\}

*运行结果 count=2999

*思考题

求100到1000之间有多少个其数字之和为5的整数。

(答案：104，113，122，131，140，203，212，221，230，302，311，320，401，410，500) 19.8除不尽的自然数

一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再将第二次的商被8除后余7，最后得到一个商为a。又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍。求这个自然数。 *问题分析与算法设计

根据题意，可设最后的商为i(i从0开始取值)，用逆推法可以列出关系式： (((i*8+7)*8)+1)*8+1=((2*i*17)+15)*18+4 再用试探法求出商i的值。 *程序说明与注释 #include int main() { int i;

for(i=0;;i++) /*试探商的值*/

if(((i*8+7)*8+1)*8+1==(34*i+15)*17+4) { /*逆推判断所取得的当前i值是否满足关系式*/ /*若满足则输出结果*/

printf(\break; /*退出循环*/ } }

*运行结果

The required number is:1993 20.一个奇异的三位数

一个自然数的七进制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进制表示也是一个三位数，且这两个三位数的数码正好相反，求这个三位数。 *问题分析与算法设计

根据题意可知，七进制和九进制表示的这全自然数的每一位一定小于7，可设其七进制数形式为kji(i、j、k的取值分别为1~6)，然后设其九进制表示形式为ijk。 *程序说明与注释 #include int main() { int i,j,k;

for(i=1;i<7;i++)

for(j=0;j<7;j++) for(k=1;k<7;k++)

if(i*9*9+j*9+k==i+j*7+k*7*7) {

printf(\

printf(\} }

*运行结果

The special number with 3 digits is:503(7)=305(9)=248(10)

C/C++语言经典、实用、趣味程序设计编程百例精解（3）

21.位反序数

设N是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数，求N。反序数就是将整数的数字倒过来形成的整数。例如：1234的反序数是4321。 *问题分析与算法设计

可设整数N的千、百、十、个位为i、j、k、l，其取值均为0~9，则满足关系式： (i*103+j*102+10*k+l)*9=(l*103+k*102+10*j+i) 的i、j、k、l即构成N。 *程序说明与注释 #include int main() { int i;

for(i=1002;i<1111;i++) /*穷举四位数可能的值*/

if(i*1000+i/10*100+i/100*10+i/1000==i*9) /*判断反序数是否是原整数的9倍*/

printf(\/*若是则输出*/ }

*运行结果

The number satisfied states condition is:1089 22.求车速

一辆以固定速度行驶的汽车，司机在上午10点看到里程表上的读数是一个对称数(即这个数从左向右读和从右向左读是完全一样的)，为95859。两小时后里程表上出现了一个新的对称数。问该车的速度是多少？新的对称数是多少？ *问题分析与算法设计

根据题意，设所求对称数为i，其初值为95589，对其依次递增取值，将i值的每一位分解后与其对称位置上的数进行比较，若每个对称位置上的数皆相等，则可判定i即为所求的对称数。

*程序说明与注释 #include int main() {

int t,a[5]; /*数组a存放分解的数字位*/ long int k,i;

for(i=95860;;i++) /*以95860为初值，循环试探*/ {

for(t=0,k=100000;k>=10;t++) /*从高到低分解所取i值的每位数*/ { /* 字，依次存放于a[0]~a[5]中*/ a[t]=(i%k)/(k/10); k/=10; }

if((a[0]==a[4])&&(a[1]==a[3])) {

printf(\a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]);

printf(\break; } } }

*运行结果

The new symmetrical number kelometers is:95959. The velocity of the car is:50.00 *思考题

将一个数的数码倒过来所得到的新数叫原数的反序数。如果一个数等于它的反序数，则称它为对称数。求不超过1993的最大的二进制的对称数。

23.由两个平方三位数获得三个平方二位数

已知两个平方三位数abc和xyz，其中a、b、c、x、y、z未必是不同的；而ax、by、cz是三个平方二位数。请编程求三位数abc和xyz。 *问题分析与算法设计

任取两个平方三位数n和n1，将n从高向低分解为a、b、c，将n1从高到低分解为x、y、z。判断ax、by、cz是否均为完全平方数。 *程序说明与注释 #include #include void f(int n,float* s); int main()

{ int i,t;

float a[3],b[3];

print(\for(i=11;i<=31;++i) //穷举平方三位数的取值范围 for(t=11;t<=31;++t) {

f(i*i,a); //分解平方三位数的各位，每位数字分别存入数组中 f(t*t,b);

if(sqrt(a[0]*10+b[0]) == (int)sqrt(a[0]*10+b[0]) && sqrt(a[1]*10+b[1]) == (int)sqrt(a[1]*10+b[1]) && sqrt(a[2]*10+b[2]) == (int)sqrt(a[2]*10+b[2]) ) {

printf(\若三个新的数均是完全平方数，则输出 } } }

/* ———————————————-

分解三位数n的各位数字，将各个数字从高到低依次存入指针s所指向的数组中 ————————————————*/ void f(int n,float* s) { int k;

for(k=1000;k>=10;++s) {

*s = (n%k) /(k/10); k /=10; } }

*运行结果

The possible perfect squares combinations are: 400 and 900 841 and 196 *思考题

求这样一个三位数，该三位数等于其每位数字的阶乘之和。 即 abc = a! + b! + c!

(正确结果：145 = 1! + 4! +5!)

24.阿姆斯特朗数

如果一个正整数等于其各个数字的立方和，则称该数为阿姆斯特朗数(亦称为自恋性数)。 如 407=43+03+73就是一个阿姆斯特朗数。试编程求1000以内的所有阿姆斯特朗数。 *问题分析与算法设计

可采用穷举法，依次取1000以内的各数(设为i)，将i的各位数字分解后，据阿姆斯特朗数的性质进行计算和判断。 *程序说明与注释 #include int main() {

int i,t,k,a[3];

printf(\for(i=2;i<1000;i++) /*穷举要判定的数i的取值范围2~1000*/ {

for(t=0,k=1000;k>=10;t++) /*截取整数i的各位(从高向低位)*/ {

a[t]=(i%k)/(k/10); /*分别赋于a[0]~a[2}*/ k/=10; }

if(a[0]*a[0]*a[0]+a[1]*a[1]*a[1]+a[2]*a[2]*a[2]==i) /*判断i是否为阿姆斯特朗数*/

printf(\若满足条件，则输出*/ }

printf(\}

*运行结果

There are following Armstrong number smaller than 1000: 153 370 371 407 25.完全数

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为―完全数‖。 *问题分析与算法设计

根据完全数的定义，先计算所选取的整数a(a的取值1~1000)的因子，将各因子累加于m，若m等于a，则可确认a为完全数。 *程序说明与注释 #include int main() {

int a,i,m;

printf(\

for(a=1;a<1000;a++) /*循环控制选取1~1000中的各数进行判断*/ {

for(m=0,i=1;i<=a/2;i++) /*计算a的因子，并将各因子之和m=a，则a是完全数输出*/ if(!(a%i))m+=i; if(m==a) printf(\}

printf(\}

*运行结果

TThere are following perfect numbers smaller than 1000: 6 28 496

26.亲密数

如果整数A的全部因子(包括1，不包括A本身)之和等于B；且整数B的全部因子(包括1，不包括B本身)之和等于A，则将整数A和B称为亲密数。求3000以内的全部亲密数。 *问题分析与算法设计

按照亲密数定义，要判断数a是否有亲密数，只要计算出a的全部因子的累加和为b，再计算b的全部因子的累加和为n，若n等于a则可判定a和b是亲密数。计算数a的各因子的算法： 用a依次对i(i=1~a/2)进行模运算，若模运算结果等于0，则i为a的一个因子；否则i就不是a的因子。 *程序说明与注释 #include int main() {

int a,i,b,n;

printf(\–numbers pair smaller than 3000:\\n\for(a=1;a<3000;a++) /*穷举1000以内的全部整数*/ {

for(b=0,i=1;i<=a/2;i++) /*计算数a的各因子，各因子之和存放于b*/ if(!(a%i))b+=i; /*计算b的各因子，各因子之和存于n*/ for(n=0,i=1;i<=b/2;i++) if(!(b%i))n+=i; if(n==a&&a

printf(\若n=a，则a和b是一对亲密数，输出*/ } }

*运行结果

There are following friendly–numbers pair smaller than 3000: 220.. 284 1184.. 1210 2620.. 2924

27.自守数

自守数是指一个数的平方的尾数等于该数自身的自然数。例如： 252=625 762=5776 93762=87909376 请求出200000以内的自守数 *问题分析与算法设计

若采用―求出一个数的平方后再截取最后相应位数‖的方法显然是不可取的，因为计算机无法表示过大的整数。

分析手工方式下整数平方(乘法)的计算过程，以376为例： 376 被乘数 X 376 乘数 ———-

2256 第一个部分积=被乘数*乘数的倒数第一位 2632 第二个部分积=被乘数*乘数的倒数第二位 1128 第三个部分积=被乘数*乘数的倒数第三位 ———- 141376 积

本问题所关心的是积的最后三位。分析产生积的后三位的过程，可以看出，在每一次的部分积中，并不是它的每一位都会对积的后三位产生影响。总结规律可以得到：在三位数乘法中，对积的后三位产生影响的部分积分别为：

第一个部分积中：被乘数最后三位*乘数的倒数第一位 第二个部分积中：被乘数最后二位*乘数的倒数第二位 第三个部分积中：被乘数最后一位*乘数的倒数第三位

将以上的部分积的后三位求和后截取后三位就是三位数乘积的后三位。这样的规律可以推广到同样问题的不同位数乘积。

按照手工计算的过程可以设计算法编写程序。 *程序说明与注释 #include int main() {

long mul,number,k,ll,kk;

printf(\for(number=0;number<200000;number++) {

for(mul=number,k=1;(mul/=10)>0;k*=10); /*由number的位数确定截取数字进行乘法时的系数k*/ kk=k*10; /*kk为截取部分积时的系数*/ mul=0; /*积的最后n位*/

ll=10; /*ll为截取乘数相应位时的系数*/ while(k>0) {

mul=(mul+(number%(k*10))*(number%ll-number%(ll/10)))%kk; /*(部分积+截取被乘数的后N位*截取乘数的第M位)，%kk再截取部分积*/ k/=10; /*k为截取被乘数时的系数*/

ll*=10; }

if(number==mul) /*判断若为自守数则输出*/ printf(\} }

*运行结果

It exsts following automorphic numbners smaller than 200000: 0 1 5 6 25 76 376 625 9376 90625 109376 28.回文数

打印所有不超过n(取n<256) 的其平方具有对称性质的数(也称回文数)。 *问题分析与算法设计

对于要判断的数n，计算出其平方后(存于a)，将a的每一位进行分解，再按a的从低到高的顺序将其恢复成一个数k(如n=13，则a=169且k=961)，若a等于k则可判定n为回亠数。 *程序说明与注释

原程序好像有错，而且比较费解，现基于原程序修改如下（如果读者还发现错误请提出）： #include int main(void) {

int m[16],n,i,t,count=0; long unsigned a,k;

printf(\for(n=1;n<256;n++) /*穷举n的取值范围*/ {

k=0;t=1;a=n*n; /*计算n的平方*/

for(i=0;a!=0;i++) /*从低到高分解数a的每一位存于数组m[0]~m[16]*/ {

m[i]=a;//这个是取得a的个位，整个循环合起来就可以取得各个位 a/=10; } int j=0;

for(i–;j=i)printf(\} return 0; }

*运行结果

No. number it's square(palindrome) 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 11 121 5 22 484 6 26 676 7 101 10201 8 111 12321 9 121 14641 10 202 40804 11 212 44944

//下面程序是原来的，有错，而且费解 #include int main(void) {

int m[16],n,i,t,count=0; long unsigned a,k;

printf(\for(n=1;n<256;n++) /*穷举n的取值范围*/ {

k=0;t=1;a=n*n; /*计算n的平方*/

for(i=1;a!=0;i++) /*从低到高分解数a的每一位存于数组m[1]~m[16]*/ {

m[i]=a;//安安注：这个是取得a的个位，整个循环合起来就可以取得各个位,并存于数组中，为了是下面判断是不是对称 a/=10; }

for(;i>1;i–) {

k+=m[i-1]*t; t*=10; }

if(k==n*n)

printf(\} return 0; }

*运行结果

No. number it's square(palindrome) 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 11 121 5 22 484 6 26 676 7 101 10201 8 111 12321 9 121 14641

29.求具有abcd=(ab+cd)2性质的四位数

3025这个数具有一种独特的性质：将它平分为二段，即30和25，使之相加后求平方，即(30+25)2，恰好等于3025本身。请求出具有这样性质的全部四位数。 *问题分析与算法设计

具有这种性质的四位数没有分布规律，可以采用穷举法，对所有四位数进行判断，从而筛选出符合这种性质的四位数。具体算法实现，可任取一个四位数，将其截为两部分，前两位为a，后两位为b，然后套用公式计算并判断。 *程序说明与注释 #include int main() {

int n,a,b;

printf(\for(n=1000;n<10000;n++) /*四位数N的取值范围1000~9999*/ {

a=n/100; /*截取N的前两位数存于a*/ b=n0; /*截取N的后两位存于b*/

if((a+b)*(a+b)==n) /*判断N是否为符合题目所规定的性质的四位数*/ printf(\} }

*运行结果

There are following numbers with 4 digits satisfied condition: 2025 3025 9801 30.求素数

求素数表中1~1000之间的所有素数 *问题分析与算法设计

素数就是仅能衩1和它自身整除的整数。判定一个整数n是否为素数就是要判定整数n能否被除1和它自身之外的任意整数整除，若都不能整除，则n为素数。

程序设计时i可以从2开始，到该整数n的1/2为止，用i依次去除需要判定的整数，只要存在可以整除该数的情况，即可确定要判断的整数不是素数，否则是素数。 *程序说明与注释 #include int main() {

int n1,nm,i,j,flag,count=0; do{

printf(\

scanf(\输入求素数的范围*/ }while(!(n1>0&&n1

printf(\\\n\if(n1==1||n1==2) /*处理素数2*/ {

printf(\n1=3;count++; }

for(i=n1;i<=nm;i++) /*判定指定范围内的整数是否为素数*/ {

if(!(i%2))continue;

for(flag=1,j=3;flag&&j

/*判定能否被从3到整数的一半中的某一数所整除*/ if(!(i%j))flag=0; /*若能整除则不是素数*/ if(flag) printf(++count?\} } *思考题

请找出十个最小的连续自然数，它们个个都是合数(非素数)

C/C++语言经典、实用、趣味程序设计编程百例精解（4） 31.歌德巴赫猜想

验证：2000以内的正偶数都能够分解为两个素数之和(即验证歌德巴赫猜想对2000以内的正偶数成立)。

*问题分析与算法设计

为了验证歌德巴赫猜想对2000以内的正偶数都是成立的，要将整数分解为两部分，然后判断出分解出的两个整数是否均为素数。若是，则满足题意；否则重新进行分解和判断。 程序中对判断是否为素数的算法进行了改进，对整数判断―用从2开始到该整数的一半‖改为―2开始到该整数的平方根‖。原因何在请自行分析。 *程序说明与注释 #include

#include int fflag(int n); int main() { int i,n;

for(i=4;i<=2000;i+=2) {

for(n=2;n

printf(\若均是素数则输出*/ break; }

if(n==i) printf(\} }

int fflag(int i) /*判断是否为素数*/ { int j;

if(i<=1)return 0; if(i==2)return 1;

if(!(i%2))return 0; /*if no,return 0*/ for(j=3;j<=(int)(sqrt((double)i)+1);j+=2) if(!(i%j))return 0;

return 1; /*if yes,return 1*/ }

32.可逆素数

求四位的可逆素数。可逆素数指：一个素数将其各位数字的顺序倒过来构成的反序数也是素数。 *问题分析与算法设计

本题的重点不是判断素数的方法，而是求一个整数的反序数。求反序数的方法是从整数的末尾依次截取最后一位数字，每截取一次后整数缩小10倍，将截取的数字作为新的整数的最后一位（新的整数扩大10倍后加上被截取的数字）。这样原来的整数的数字从低到高被不断地截取，依次作为新的整数从高到低的各位数字。 *程序说明与注释 #include #include int num(int number); int ok(int number); int main()

{

int i,count;

printf(\for(count=0,i=1001;i<9999;i+=2) //穷举全部的奇数 {

if(num(i)) //若是可逆素数，则输出

printf(count%9 ? \} return 0; }

int num(int number) { int i,j;

if(!ok(number))return 0; //判断是否为素数

for(i=number,j=0;i>0;i/=10) //按位将整数倒过来，产生反序数 {

j=j*10 + i; }

if(number

if(!ok(i)) //判断对应的反序数是否为可逆素数 { return 0; } else {

return 1; //若是可逆数素数，则返回1 } } else {

return 0; }

getchar(); return 0; }

int ok(int number) { int i,j;

if(number%2 ==0) //判断是否为素数 return 0;

j= sqrt((double)number) +1 ; //取整数的平方根为判断的上限 for(i=3;i

{

if(number %i ==0) //若为素数则返回1，否则返回0 return 0; } return 1; } *思考题

求1000以内的孪生素数。孪生素数是指：若a为素数，且a+2也是素数，则素数a和a+2称为孪生素数。 33.回文素数

求不超过1000的回文素数。 *问题分析与算法设计

所谓回文素数是指，对一个整数n从左向右和从由向左读其结果值相同且是素数，即称n为回文素数。所以本题的重点不是判断素数的方法，而是求回文整数。构造回文数的方法很多，这里仅介绍一种最简单的算法。实现思路是先求出一个整数的回文数，再判断是否为素数。 不超过1000的回文数包括二位和三位的回文数，我们采用穷举法来构造一个整数并求与其对应的反序数，若整数与其反序数相等，则该整数是回文数。 *程序说明与注释 #include int a(int n) int main() {

int i,j,t,k,s;

printf(\for(i=0;i<=9;++i) //穷举第一位 for(j=0;j<=9;++j) //穷举第二位 for(k=0;k<=9;++k) //穷举第三位 {

s=i*100 + j*10 + k; //计算组成的整数 t=ik*100 + j*10 + i; //计算对应的反序数

if(i == 0 && j==0) //处理整数的前两位为0的情况 { t/100; }

else if(i ==0) //处理整数的第一位为0的情况 { t/10; }

if(s.10 && s==t && a(s)) //若大于10且为回文素数，则输出 {

printf(\

} } return 0; }

//判断参数n是否为素数 int a(int n) { int i;

for(i=2;i<(n-1)/2;+=i) {

if(n%i == 0) return 0; } return 1; }

*运行结果

Following are palindrome primes not greater than 1000: 11 101 131 151 181 191 313 353 373 383 727 787 797 919 929 *思考题

优化生成回文数的算法。 34.要发就发

―1898–要发就发‖。请将不超过1993的所有素数从小到大排成第一行，第二行上的每个素数都等于它右肩上的素数之差。编程求出：第二行数中是否存在这样的若干个连续的整数，它们的和恰好是1898？假好存在的话，又有几种这样的情况？ 第一行：2 3 5 7 11 13 17……1979 1987 1993 第二行：1 2 2 4 2 4…… 8 6 *问题分析与算法设计 首先从数学上分析该问题：

假设第一行中的素数为n[1]、n[2]、n[3]….n[i]、…第二行中的差值为m[1]、m[2]、m[3]…m[j]…。其中m[j]为： m[j]=n[j+1]-n[j]。 则第二行连续N个数的和为： SUM=m[1]+m[2]+m[3]+…+m[j]

=(n[2]-n[1])+(n[3]-n[2])+(n[4]-n[3])+…+(n[j+1]-n[j]) =n[j+1]-n[1]

由此题目就变成了：在不超过1993的所有素数中是否存在这样两个素数，它们的差恰好是1898。若存在，则第二行中必有所需整数序列，其和恰为1898，。

对等价问题的求解是比较简单的。

由分析可知，在素数序列中不必包含2，因为任意素数与2的差一定为奇数，所以不必考虑。 *程序与程序注释： #include #include #define NUM 320

int number[NUM]; /*存放不超过1993的全部奇数*/ int fflag(int i); int main() {

int i,j,count=0;

printf(\for(j=0,i=3;i<=1993;i+=2) /*求出不超过1993的全部奇数*/ if(fflag(i)) number[j++]=i;

for(j–;number[j]>1898;j–) /*从最大的素数开始向1898搜索*/ {

for(i=0;number[j]-number[i]>1898;i++); /*循环查找满足条件的素数*/ if(number[j]-number[i]==1898) /*若两个素数的差为1898，则输出*/ printf(\\\n\} }

int fflag(int i) { int j;

if(i<=1) return 0; /*判断是否为素数*/ if(i==2) return 1;

if(!(i%2)) return 0; /*if no, return 0*/ for(j=3;j<=(int)(sqrt((double)i)+1);j+=2) if(!(i%j)) return 0; return 1; }

*运行结果

There are follwing primes sequences in first row: (1).89,……,1987 (2).53,……,1951 (3). 3,……,1901 *思考题

将1,2，3，。。。,20这20个连续的自然数排成一圈，使任意两个相邻的自然数之和均为素数。 35.素数幻方

求四阶的素数幻方。即在一个4X4 的矩阵中，每一个格填 入一个数字，使每一行、每一列和两条对角线上的4 个数字所组成的四位数，均为可逆素数。 *问题分析与算法设计

有了前面的基础，本题应当说是不困难的。

最简单的算法是：采用穷举法，设定4X4矩阵中每一个元素的值后，判断每一行、每一列和两条对角线上的4个数字组成的四位数是否都是可逆素数，若是则求出了满足题意的一个解。 这种算法在原理是对的，也一定可以求出满足题意的全部解。但是，按照这一思路编出的程序效率很低，在微机上几个小时也不会运行结束。这一算法致命的缺陷是：要穷举和判断的情况过多。 充分利用题目中的―每一个四位数都是可逆素数‖这一条件，可以放弃对矩阵中每个元素进行的穷举的算法，先求出全部的四位可逆素数(204个)，以矩阵的行为单位，在四位可逆素数的范围内进行穷举，然后将穷举的四位整数分解为数字后，再进行列和对角线方向的条件判断，改进的算法与最初的算法相比，大大地减少了穷举的次数。

考虑矩阵的第一行和最后一行数字，它们分别是列方向四位数的第一个数字和最后一个数字，由于这些四位数也必须是可逆素数，所以矩阵的每一行和最后一行中的各个数字都不能为偶数或5。这样穷举矩阵的第一行和最后一行时，它们的取值范围是：所有位的数字均不是偶数或5的四位可逆数。由于符合这一条件的四位可逆素数很少，所以这一范围限制又一次减少了穷举的次数。

对算法的进一步研究会发现：当设定了第一和第二行的值后，就已经可以判断出当前的这种组合是否一定是错误的(尚不能肯定该组合一定是正确的)。若按列方向上的四个两位数与四位可逆数的前两位矛盾(不是其中的一种组合)，则第一、二行的取值一定是错误的。同理在设定了前三行数据后，可以立刻判断出当前的这种组合是否一定是错误的，若判断出矛盾情况，则可以立刻设置新的一组数据。这样就可以避免将四个数据全部设定好以后再进行判断所造成的低效。 根据以上分析，可以用伪语言描述以上改进的算法： 开始

找出全部四位的可逆素数；

确定全部出现在第一和最后一行的四位可逆素数； 在指定范围 内穷举第一行 在指定范围内穷举第二行

若第一、第二、三行已出现矛盾，则继续穷举下一个数； 在指定范围内穷举第四行 判断列和对角方向是否符合题意 若符合题意，则输出矩阵； 否则继续穷举下一个数； 结束

在实际编程中，采用了很多程序设计技巧，假如设置若干辅助数组，其目的就是要最大限度的提高程序的执行效率，缩短运行时间。下面的程序运行效率是比较高的。 *程序说明与注释 #include #include

int number[210][5]; /*存放可逆素数及素数分解后的各位数字*/ int select[110]; /*可以放在矩阵第一行和最后一行的素数的下标*/ int array[4][5]; /*4X4的矩阵，每行0号元素存可逆素数对应的数组下标*/ int count; /*可逆素数的数目*/

int selecount; /*可以放在矩阵第一行和最后一行的可逆素数的数目*/

int larray[2][200]; /*存放素数前二、三位数的临时数组所对应的数量计数器*/ int lcount[2];

int num(int number); int ok(int number); void process(int i); void copy_num(int i); int comp_num(int n); int find1(int i); int find2(void); int find0(int num); void p_array(void); int main() {

int i,k,flag,cc=0,i1,i4;

printf(\for(i=1001;i<9999;i+=2) /*求满足条件的可逆素数*/ {

k=i/1000;

if(k%2!=0&&k!=5&&num(i)) /*若可逆素数的第一位不是偶数或5*/ {

number[count][0]=i; /*存入数组*/ process(count++); /*分解素数的各位数字*/

if(number[count-1][2]%2!=0&& /*若可逆素数满足放在矩阵第一行*/ number[count-1][3]%2!=0&& /*和最后一行的条件，记录可逆素数的*/ number[count-1][2]!=5&& /*下标，计数器加1*/ number[count-1][3]!=5) select[selecount++]=count-1; } }

larray[0][lcount[0]++]=number[0][0]/100; /*临时数组的第一行存前二位*/ larray[1][lcount[1]++]=number[0][0]/10; /*临时数组的第二行存前三位*/ for(i=1;i

if(larray[0][lcount[0]-1]!=number[i][0]/100) larray[0][lcount[0]++]=number[i][0]/100; if(larray[1][lcount[1]-1]!=number[i][0]/10) larray[1][lcount[1]++]=number[i][0]/10; }

for(i1=0;i1

array[0][0]=select[i1]; /*取对应的素数下标*/ copy_num(0); /*复制分解的素数*/

for(array[1][0]=0;array[1][0]

{

copy_num(1); /*复制分解的数字*/ if(!comp_num(2))

continue; /*若每列的前两位的组成与素数相矛盾，则试探下一个数*/ for(array[2][0]=0;array[2][0]

copy_num(2); /*复制分解的数字*/ if(!comp_num(3))

continue; /*若每列的前三位的组成与素数相矛盾，则试探下一个数*/ for(i4=0;i4

array[3][0]=select[i4];

copy_num(3); /*复制分解的数字*/

for(flag=1,i=1;flag&&i<=4;i++) /*判断每列是否可逆素数*/ if(!find1(i))flag=0;

if(flag&&find2()) /*判断对角线是否为可逆素数*/

{ printf(\输出幻方矩阵*/ } } } } }

int num(int number) /*判断是否可逆素数*/ { int j;

if(!ok(number)) return 0;

for(j=0;number>0;number/=10) /*将素数变为反序数*/ j=j*10+number;

if(!ok(j)) return 0; /*判断反序数是否为素数*/ return 1; }

int ok(int number) /*判断是否为素数*/ { int i,j;

if(number%2==0) return 0; j=sqrt((double)number)+1; for(i=3;i<=j;i+=2)

if(number%i==0) return 0; return 1; }

void process(int i) /*将第i个整数分解为数字并存入数组*/ {

int j,num;

num=number[i][0]; for(j=4;j>=1;j–,num/=10) number[i][j]=num; }

void copy_num(int i) /*将array[i][0]指向的素数的各位数字复制到array[i]中*/ { int j;

for(j=1;j<=4;j++)

array[i][j]=number[array[i][0>[j]; }

int comp_num(int n) /*判断array中每列的前n位是否与可逆素数允许的前n位矛盾*/ {

static int ii; /*用内部静态变量保存前一次查找到的元素下标*/

static int jj; /*ii:前一次查找前二位的下标，jj:前一次查找前三位的下标*/ int i,num,k,*p; /*p:指向对应的要使用的前一次下标ii或jj*/ int *pcount; /*pcount:指向要使用的临时数组数量的计数器*/ switch(n){ /*根据n的值选择对应的一组控制变量*/ case 2:pcount=&lcount[0];p=ⅈbreak; case 3:pcount=&lcount[1];p=&jj;break; default:return 0; }

for(i=1;i<=4;i++) /*对四列分别进行处理*/ {

for(num=0,k=0;k

if(num<=larray[n-2][*p]) /*与前一次最后查找到的元素进行比较*/

for(;*p>=0&&num

for(;plarray[n-2][*p];(*p)++); /*否则向后找*/ if(*p<0||*p>=*pcount) {

*p=0; return 0; }

if(num!=larray[n-2][*p])

return 0; /*前n位不是可逆素数允许的值则返回0*/ } return 1; }

int find1(int i) /*判断列方向是否是可逆素数*/ {

int num,j;

for(num=0,j=0;j<4;j++) num=num*10+array[j][i];

return find0(num); }

int find2(void) /*判断对角线方向是否是可逆素数*/ {

int num1,num2,i,j; for(num1=0,j=0;j<4;j++) num1=num1*10+array[j][j+1]; for(num2=0,j=0,i=4;j<4;j++,i–) num2=num2*10+array[j][i];

if(find0(num1)) return(find0(num2)); else return 0; }

int find0(int num) /*查找是否为满足要求的可逆素数*/ {

static int j;

if(num<=number[j][0])for(;j>=0&&numnumber[j][0];j++); if(j<0||j>=count){ j=0;return 0; } if(num==number[j][0]) return 1; else return 0; }

void p_array(void) /*输出矩阵*/ { int i,j;

for(i=0;i<4;i++) {

for(j=1;j<=4;j++) printf(\printf(\} }

*问题的进一步讨论

程序中大量技巧是用于尽早发现矛盾，减少循环次数，缩短运行时间。从实际效果看是相当不错的。但目前的程序仍然可以进一步优化。

当第四行设定了前三行后，尚未设定的行就没必要再使用穷举的方法，因为列方向设定好的三位数字已经限制了最后一个数字可能的取值，在可逆数中找出前三位数字与设定好的三位数字相同的素数。这些素数就是在这一列前面已设定好的三位数字的限制条件下可能的取值。此时每一列上只有不超过四个可能的取值。找出全部各列可能的取值(可能的四位可逆素数)，求出它们的交集。若交集为空，即没有共同的可能取值，则列间数据相互矛盾否满足则将交集中的数据填 入矩阵中就是题目的一个解。

算法可再进一步优化。先穷举一、二和四列的数据，然后用上面的算法来确定第三行的值，这样可进一步缩小穷举的范围，提高运行效率。

分析输出的结果。可以看出本题的基本解只有17种，每个解可通过旋转与反射获得同构的其它7个解，可以进一步改进程序，只输出17个基本解。 *思考题

用1到16构成一个四阶幻方，要求任意相邻两个方格中的数字之和均为素数。 36.百钱百鸡问题

中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的―百钱买百鸡问题‖：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？ *问题分析与算法设计

设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别为x,y,z，题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多买20只，显然x的值在0~20之间；同理，y的取值范围在0~33之间，可得到下面的不定方程： 5x+3y+z/3=100 x+y+z=100

所以此问题可归结为求这个不定方程的整数解。

由程序设计实现不定方程的求解与手工计算不同。在分析确定方程中未知数变化范围的前提下，可通过对未知数可变范围的穷举，验证方程在什么情况下成立，从而得到相应的解。 *程序说明与注释 #include int main() {

int x,y,z,j=0;

printf(\for(x=0;x<=20;x++) /*外层循环控制鸡翁数*/

for(y=0;y<=33;y++) /*内层循环控制鸡母数y在0~33变化*/ {

z=100-x-y; /*内外层循环控制下，鸡雏数z的值受x,y的值的制约*/ if(z%3==0&&5*x+3*y+z/3==100) /*验证取z值的合理性及得到一组解的合理性*/

printf(\} }

*运行结果

Follwing are possible plans to buy 100 fowls with 100 Yuan. 1:cock=0 hen=25 chicken=75 2:cock=4 hen=18 chicken=78 3:cock=8 hen=11 chicken=81 4:cock=12 hen=4 chicken=84 *问题的进一步讨论

这类求解不定方程总理的实现，各层循环的控制变量直接与方程未知数有关，且采用对未知数的

取值范上穷举和组合的方法来复盖可能得到的全部各组解。能否根据题意更合理的设置循环控制条件来减少这种穷举和组合的次数，提高程序的执行效率，请读者考虑 37.爱因斯坦的数学题

爱因斯坦出了一道这样的数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最最后剩一阶，若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才正好一阶不剩。请问这条阶梯共有多少阶？ *问题分析与算法设计

根据题意，阶梯数满足下面一组同余式： x≡1 (mod2) x≡2 (mod3) x≡4 (mod5) x≡5 (mod6) x≡0 (mod7) *程序说明与注释 #include int main() {

int i=1; /*i为所设的阶梯数*/

while(!((i%2==1)&&(i%3==2)&&(i%5==4)&&(i%6==5)&&(i%7==0))) ++i; /*满足一组同余式的判别*/ printf(\}

*运行结果

Staris_number=119 *问题的进一步讨论

此题算法还可考虑求1、2、4、5的最小公倍数n，然后判t(t为n-1)≡0(mod7)是否成立，若不成立则t=t+n,再进行判别，直至选出满足条件的t值。请自行编写程序实现 38.换分币

用一元人民币兑换成1分、2分和5分硬币，共有多少种不同的兑换方法。 *问题分析与算法设计

根据题意设i,j,k分别为兑换的1分、2分、5分硬币所具有的钱数(分)，则i,j,k的值应满足： i+j+k=100 *程序说明与注释 #include int main() {

int i,j,k,count=1;

printf(\for(i=0;i<=100;i++) /*i为1分硬币钱数，可取值0,1，2…,100*/

for(j=0;j<=100-i;j+=2) /*j为2分硬币钱数，可取0值，2，4，…，100*/