华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1

华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)

考试时间：2009年6月6日(星期六) 上午8：30—11：00

境内（外）生 院别 班级 准考证号 姓名 成绩

一、填空题(本题共7小题，每小题4分，满分28分，

把答案直接填在题中的横线上)

１、设向量 a (2,1,2)，b (4, 1,10)，c b a，且 a c，则数 .

11 x2

xe, x 2 22

２、设函数 f(x) ， 则 1f(x 1)dx .

12 1,x

2

d2y

３、设 y ln(x 则

dx2

.

x 1

222

４、设 (x,y,z)x y (z 1) 1，则

3

(x xyz 3)dv .

５、微分方程 y (x y) y 的通解为. ６、对数螺线

2

e 在对应于

2

的点处的切线的直角坐标方程为.

７、设曲线积分

L

[f(x) ex]sinydx f(x)cosydy 在xOy面内与路径无关，其中f(x)具有一阶连续

导数，且f(0) 0，则f(x) .

并在每张答题纸写上：姓名、准考证号。 ．．．．．．

二、(本题满分8分) 已知f(x,y)具有一阶连续偏导数，z

x2y0

2z

f(t,e)dt，求．

x y

t

三、(本题满分8分) 设f(x)

1111 ,x [,1)． xsin( x) (1 x)2

1

,1]上连续． 2

试补充定义f(1)，使得函数f(x)在闭区间[

x2z22

y 1 上求一切平面，使得该切平面平行于平面四、(本题满分10分) 在曲面 :24

:2x 2y z 5 0，且点P(0,0,2)到该切平面的距离等于点P到原点的距离．

五、(本题满分10分) 计算

22

，其中为有向曲面z x y(0 z 1)，其法(2x z)dydz zdxdy

向量与z轴正向的夹角为锐角．

六、(本题满分12分) 证明不等式：当0 t 1时，2t 1 sin

并由此求数列极限：

1

n

t

2

2；

t 1

lim (1 sin)ndt ． n 2 0

七、(本题满分12分) 设L为一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x 0)到y轴的距离，恒等于该点处

的切线在y轴上的截距，且L经过点(1,2)． (1) 试求曲线L的方程；

(2) 在L(x e的部分)上求一点, 使得在该点处的切线与两坐标轴所围成的平面图形面积最小． 八、(本题满分6分) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 2，且在开区间(a,b)内取得最小值．

证明：

f (a) f (b) 2(b a)．

九、(本题满分6分) 设函数f(x)在闭区间[0,

]上连续，且在[0,]上满足：

22

2

x

f(t x)f(t)dt cos4x,

求

20

f(x)dx．

考试时间：2009年6月6日(星期六) 上午8：30—11：00

华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)

参考答案与评分标准

一、 填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）

x x

1e e1、3； 2、 ； 3

、； 4、 4 ； 5、x y(y C)； 6、x y e2； 7．

222 z

2xyf(x2y,exy),【4】 二、(本题满分8分) 解：

x

22 2z

2xf(x2y,exy) 2xy[x2f1 (x2y,exy) x y

222222

x2exyf2 (x2y,exy)] 2xf(x2y,exy) 2yx3f1 (x2y,exy) 2yx3exyf2 (x2y,exy) ．

【8】

三、(本题满分8分) 解：设y 1 x，则

1 1 (1 x) sin( x) 1 y sin( y)11

limlimf(x) lim lim x 1 y 0 ysin( y) x 1 x 1 xsin( x) (1 x) x (1 x)sin( x)

【3】

y sin( y)1 cos( y)1 2sin( y)1

lim lim lim y 0 2y2 y 02 2y y 02 2

1

．

【6】

由于f(x)在[1/2,1)上连续，因此补充定义f(1) 1/ , 就可使f(x)在[1/2,1]上连续． 【8】

四、(本题满分10分) 解：设切点为(x0,y0,z0)，则法向量n (x0,2y0,z0/2)． 【2】

x02y0z0/2 x0 z0 2y0， 22122x0z012

y0 1，解得y0 ,x0 z0 1． 又因为点(x0,y0,z0)在曲面上，所以有

224

1

2x ( ) 2z (， 从而切平面方程为即)

2

2x 2y z ． 【7】

又点P到原点的距离为d 2，点P到切平面2x 2y z 4 0的距离

为

要使得切平面平行于已知平面，应有

(

d |2 0 2 0 2 4| 2．

故

所

2x

【2】 则

由

求切平面

2y z ． 【10】

2

2

为

五、(本题满分10分) 解：取 0为z 1(x y 1)的下侧, 记 为 与 0所围成的闭区域,

Gau公式，有

(2x z)dydz zdxdy (2x z)dydz zdxdy (2 1)dv

0

【5】

3

【8】

2 0

1113

d d 2dz 6 ( 3)d

0 02

．

于是

3

(x zdydz zdxdy 2 0

【10】

x zdydz zdxdy dxdy

Dxy

．2

六、(本题满分12分) 证：(1)显然，当0 t 1时, 有 1 si

t

2

2 【1】．

令f(t) 2t 1 sin加． 【4】 于

是

当

t

2

, 则f (t) 2

2

cos

t

2

0（0 t 1），故f(t)在[0,1]上单调增

0 t 1

时,有

f(t) f(1) 0

, 即

2t 1 sin

t

2

．从而

2t 1 sin

(2)

t

2

2(0 t 1)． 【6】

(1)

知

n

n

由

n

，当

0 t 1

时，

(t

从

2

t

2

)s i 【n． ( 1 7】 )

而

2

12n

(tndt 0n 1

，

1

n

t

2

n

dt

n

dt

n

12 tn1

[ (1 sin)dt]n 2． 【10】1/n0(1 n)2

2

而

lim(1 n) 1

n

1

n

由夹逼准则可知

lim[ (1 sin

n

1

t

2

)dt] 2． 【12】

n

七、(本题满分12分) 解：(1)L在点P(x,y)处的切线方程为Y y y (X x)，其在y轴上的截距为:y xy ．

由题意建立方程:y xy x(x 0), 即:y 解得 y e 由

( )dx1

y 1． 【3】 x

( )dx [ edx C] x( lnx C)． 【5】

L过点(1,，得：C 2． 故曲线L的方程为

y 2x xlnx． 【6】

(2)由y 1 lnx得L在点P(x,y)处的切线方程为Y y (1 lnx)(X x),(x e)．

yx

x 其在x轴、y轴上的截距分别为:a 、b x．从而所围成图形的面积为

lnx 1lnx 1

1x2S ． 【8】

2lnx 1

x2x(2lnx 3) 0,得唯一驻点x e, 又在(e,e)内f(x) 0，在(e, )设f(x) ,由f(x) 2

lnx 1(lnx 1)

内f (x) 0，故f(x) (x在ex e值． 【11】

33

处取得唯一极小值即最小

13

从而点(e,e)即为L(x e部分)上所求点. 【12】

2

八、(本题满分6分) 证: 设f(x)在(a,b)内的最小值为m f(c)(a c b),

又由条件知f(x)在x c处可导，故f (c) 0． 【1】 由题设知f (x)在[a,c]与[c,b]上可导从而连续, 故由Lagrange中值定理有

f (a) f (c) f (a) f ( 1)(c a),(a 1 c)；

f (b) f (b) f (c) f ( 2)(b c),(c 2 b) ． 【5】

从而

f (a) f (b) f ( 1)(c a) f ( 2)(b c) 2(c a) 2(b c) 2(b a)． 【6】

九、(本题满分6分)

2x

解：由条件知

[

20f(t x)f(t)dt]dx

20

cos4xdx 【1】

2

31 31 cos2x1 2cos2x cos2x42

，(或 2cosxdx 2()dx 2dx 而 2cosxdx

00004221624

4

1 111 33

2(1 2cos2x cos4x)dx ）； 【3】 402242216

2

x

又

[

20

f(t x)f(t)dt]dx f(t x)f(t)dxdt （其中D (x,t)0 x ,x t ）

D

t

20

20

dt f(t x)f(t)dx f(t)dt f(t x)dx f(t)dt f(u)du （令u t x）

20

t

t

20

f(u)du d 0 0

2

tt

1t

f(u)du f(u)du

2 0

2201

2

20

1 f(u)du

2

2

2

f(x)dx 【5】

2

1 3

，故

从而 2f(x)dx

02 16

2

f(x)dx

【6】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gtr1.html