《圆锥曲线—轨迹方程》

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 并代入圆锥曲线方程， 然而作差求出曲线的轨迹方程。

二、注意事项：1.直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。 2.要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

小结

一、求轨迹的一般方法： 1.直接法，2.定义法，3.代入法，4.参数法， 5.交轨法，6.几何法，7.待定系数法， 8.点差法。 二、注意事项： 1.直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方

程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2.要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

课前热身

1.动点P到定点(-1,0)的距离与到点(1,0)距离之差为2,则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1,则点P(x、y) -2x2+y2=1 的轨迹方程是______________________

3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x>0)或y=0(x<0) 程是______________________.

4.△ABC的顶点为A(0,-2),C(0,2),三边长a、b、c成等 差数列，公差d<0;则动点B的轨迹方程为_____________x2 y2 1 y 0,x 0 _____________________. 12 16

5.动点M(x,y)满足 x - 1 2 y - 3 2 (D) (A)圆 (B)双曲线

3x 4 y - 1 5

则点M轨迹是

(C)椭圆

(D)抛物线

返回

6.当θ∈[0,π/2]时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 X2=-2y-2 点的轨迹方程是_____________ 7.已知线段AB的两个端点A 、 B分别在x轴、y轴上滑 动，|AB|=3,点P是AB上一点，且|AP|=1,则点P的

x2 y2 1 轨迹方程是_________________________ 4

 8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1,0),长轴长为

9 1 2 4,则动椭圆中心的轨迹方程为_________________ x- y 4 2

2

9.已知A+B+C=0,则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0

返回

能力·思维·方法1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点， → → P是l 上满足PA· PB=1的点，求点P的轨迹方程

【解题回顾】求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化 简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要 挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念， 前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)

2.已知两点，M(-1,0),N(1,0),且点P使MP· MN,PM· , PN NM· NP成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 → → 点P坐标为(x0,y0),若θ为PM与PN的夹角，求tanθ.→ →

→

→

→ →

【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.

3.一圆被两直线x+2y=0,x-2y=0截得的弦长分别为8和4,求 动圆圆心的轨迹方程

【解题分析】本例中动点M的几何特征并不是直接给定的， 而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的

4. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0,4), 求内分AQ所成比为12的点P的轨迹方程

【解题回顾】此题中动点P(x,y)是随着动点Q(x1 ,y1) 的运动而运动的，而Q点 在已知曲线

C上，因此只 要将x1,y1用x、y表示后 代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求 轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).

5. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点), 作正方形MNPO,求动点P的轨迹方程.

【解题回顾】再次体会相关点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式 (即含有x、y的表达式)表示 已知动点M的坐标(x0 , y0),

即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即 得所求.

6.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1,0)作弦，求诸弦中 点的轨迹方程

9k 2 【解题回顾】解一求出 x0 后不必求y0,直接 2 9k 4

利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的 两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可 用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时 较为简便，但是要注意这样的弦的存在性

7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA,OB, 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程.

【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、 OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程. 返回

延伸·拓展1.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离 之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围. 【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情 况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间 的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得λ 的范围 返回

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gtp4.html