04184 线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点

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第一章 行列式

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如 ，且； （2

）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：

所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减

次对角线的乘积） 例如

（

3

）符号

叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如 =0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的

对角线法记忆

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方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

（1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

（2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 例1 a 为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问]

解 因为

所以8-3a=0，时

例2 当x 取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问]

解：.

解得 0

所以当0

它由n 行、n 列元素（共个元素）组成，称之为n 阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i 称为行标，它表示这个数在第i 行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j 列上。所以在行列式的第i 行和第j 列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n 阶行列式通常也简记作。

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 n 阶行列式

也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。 （1）在n

阶行列式中，划去它的第i 行和第j 列，余下的数按照原来相对顺序组成

的一个(n-1)阶行列式叫元素

的余子式，记作

例如，在三阶行列式

中，

的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以

相似地，的余子式

表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以

例1 若

，求：

（1） [答疑编号10010103：针对该题提问]

（2） [答疑编号10010104：针对该题提问]

（3）

[答疑编号10010105：针对该题提问] （4） [答疑编号10010106：针对该题提问]

解（1）

（2）

（3）

（4）

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 （2）符号叫元素的代数余子式

定义：（系数其实是个正负符号） 例2 求例1中的代数余子式

（1）

[答疑编号10010107：针对该题提问]

（2）

[答疑编号10010108：针对该题提问] （3）

[答疑编号10010109：针对该题提问]

（4

）

[答疑编号10010110：针对该题提问]

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数） 例3 若

计算 （以上两组数相等）

[答疑编号10010111：针对该题提问]

解：

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由于

与例3的结果比较，发现

这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n 阶行列式作为定义。

定义：n 阶行列式

即规定n 阶行列式

的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果

中因为

所以有

特别情形

例4 计算下列行列式

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（1）

[答疑编号10010112：针对该题提问]

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

（2）

[答疑编号10010113：针对该题提问]

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 一般地可推得

即任意n 阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积

同理有

1.2 行列式按行（列）展开

在1.1节讲n 阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。 现在给出下面的重要定理，其证明从略。 定理1.2.1（行列式展开定理）n 阶行列式

等于它的任意一行（列）的各元素与

其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n ） （1.8） 或 （j=1,2,…,n ） （1.9） 其中，是元素在D 中的代数余子式。

定理1.2.1（行列式展开定理）n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n ） （1.8）

或 （j=1,2,…,n ） （1.9）

其中，是元素在D 中的代数余子式。

（1.8）式称为D 按第i 行的展开式，（1.9）式称为D 按第j 列的展开式，这里i,j=1,2,… 上述展开定理也可以表示成

（i=1,2,…,n ）

（j=1,2,…,n ）

这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号

以及它后面的

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余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。

根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。

特别情形

（1）

（2）

例5计算

[答疑编号10010201：针对该题提问]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

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可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

例5的结果可推广为

我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。

例6计算

[答疑编号10010202：针对该题提问]

解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开

例7计算

[答疑编号10010203：针对该题提问]

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 解：将

按第6行展开得

例8 计算 （1）

[答疑编号10010204：针对该题提问]

解：按第4行展开

（2）

[答疑编号10010205：针对该题提问]

解：将D 按第一行展开

（重新分组后得出）

1.3 行列式的性质与计算

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因为n 阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n 个数的乘积，当n 比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1 行列式的性质

将行列式D 的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n 行改为第n 列，仍得到一个n 阶行列式，这个新的行列式称为D 的转置行列式，记为或。即如果

则

性质1

行列式和它的转置行列式相等，即

或

根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。 （运用最多）

性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD 。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数

：

证 将左边的行列式按其第i 行展开以后，再提出公因数k ，即得右边的值：

注意 如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。

例1 计算行列式：

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 [答疑编号10010206：针对该题提问]

解

=30（4+6+5-2-4-15）

=30（-6）=-180

在例1的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3，得到第一个等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求出原行列式的值。

例2

[答疑编号10010207：针对该题提问]

因为

所以原式=4abcdef

这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f ，第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e ，化简后再求出其值。 例3 计算行列式：

在行列式D 的每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到

[答疑编号10010208：针对该题提问]

因为行列式D 是一个数，所以由D= -D ，可知行列式D=0。

用这种方法可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。

即若是反对称行列式，则它满足条件

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（运用最多）性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式

有

根据这个性质可以得到下面的重要推论：

推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。

因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为-D，因此D=-D，所以D=0。

性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。

证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的，则

由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证明。

例4验算x=3是否是方程的根。

[答疑编号10010209：针对该题提问]

解：因为（第二行与第四行成倍数）

∴x=3是方程f(x)=0的根。

性质5行列式可以按行（列）拆开，即

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证 将左边的行列式按其第i 行展开即得

这就是右边两个行列式之和。

（运用最多）性质6 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一数

k 以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D 。

即：

例5 证明：

的充要条件是k=1或k=±2

[答疑编号10010301：针对该题提问]

证 因为

（第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）

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所以，D=0的充要条件是k=1或k=±2。

此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中的②+（-1）×①表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：

定理1.3.1 n 阶行列式

的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即

， （1.10）

， （1.11）

1.3.2 行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法。

（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k 。

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行或列展开。 例6 计算行列式

[答疑编号10010302：针对该题提问]

解 由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，

所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。

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我们在计算例6中的行列式时，是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求出它的值，事实上在计算行列式的值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。

例7 计算行列式：

[答疑编号10010303：针对该题提问]

解 观察到行列式的第一行第一列位置的元素a 11=1，利用这个（1，1）位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0，然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算，具体步骤如下：

按第一列展开，得

=（-1）×2×

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 例8 计算行列式

（把最简单的调到第一列或是第一旬）

[答疑编号10010304：针对该题提问]

在本例中，记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。

例9 计算行列式： （例子很特殊）

[答疑编号10010305：针对该题提问]

解 这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行：

（32）？ 例10 计算行列式：

a 2-

b 2=(a+b)(a-b) [答疑编号10010306：针对该题提问]

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例11 计算n 阶行列式（n>1）：

[答疑编号10010307：针对该题提问]

解 将行列式按第一列展开，得

（简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等

例12 计算范德蒙德（V anderMonde ）行列式：

[答疑编号10010308：针对该题提问]（第一行乘（-X 1）加到第二行上；第二行乘（-X 1）加到第三行上）

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例13 计算

[答疑编号10010309：针对该题提问]

（这是个定律）

例14 计算 （解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）

[答疑编号10010310：针对该题提问]

=（x+4a ）（x-a ）4

1.4 克拉默法则

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自考会计本科群 7084 1026, 交流经验，资料共享 由定理1.2.1和定理1.3.1合并有

或

（一）二元一次方程组（方程1、2左右同乘以一个数，上下对减）

由a 22*①-a 12*②得

由a 11②-a 21①得

令 =D

=D 1

=D 2

则有

A 是常数项 ∴当

D≠0时，二元一次方程组有唯一解

（二）三元一次方程组

令叫系数行列式

，

， 由D 中的A 11①+A 21②

+A 31③得

即

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