近四年广东高考理科数学试题及答案

广东理科近四年高考数学试卷汇总

绝密★启用前 试卷类型：A

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体的体积公式V=

1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1.若集合A={x|-2＜x＜1},B=A={x|0＜x＜2},则集合A∩B= ( D )

A.{x|-1＜x＜1} B.{x|-2＜x＜1} C.{x|-2＜x＜2} D.{x|0＜x＜1}

2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1?z2? ( A )

A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i

3.若函数f(x)=3+3与g(x)=3?3的定义域均为R，则 ( D )

A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

x?xx?x4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2?a3?2a1,且a4与2a7的等差中项为

5,则S5=( C ) 4A．35 B．33 C．3l D．29 5.“m?12”是“一元二次方程x?x?m?0有实数解”的 ( A ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

6.如图1，VABC为正三角形，AA'//BB//CC，

''CC'?平面ABC且3AA'?''3BB'?CC'?AB 2' 则多面体ABC?ABC的正视图(也称主视图)是 ( D )

7.已知随机量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P(X＞4)= ( B ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙

黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 ( C ) A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分

（一）必做题(9～13题)

9.函数，f(x)=lg(x-2)的定义域是 (2,??) .

???10．若向量a=(1,1，x)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件???(c—a)·2b=-2，则x= 2 . 11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若 a=1， b=3，A+C=2B，则sinC= 1 .

12.若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0

相切，则圆O的方程是 (x?2)?y?2 .

13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民

某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，…，xn (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，

22若n=2且x1，x2分别为1，2，则输出的结果s为

1 . 4

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，

PD?他们相交于AB的中点P，

92a?,OAP=30°则CP= a .

8315．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0??＜2?）中，

曲线??2sin?与?cos???1的极坐标为 (2,3?) . 4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分l4分）

已知函数f?x??Asin?3x???(A＞0，x????,???，0＜?＜?），在x?（1）求f(x)的最小周期（2）求f(x)的解析式2?12（3）若（f?+）=，求sin?.3125?12时取得最大值4。

sin(2??

?2)?3331522，cos2??，1?2sin??，sin??，sin???． 5555517.（12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，??，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量, （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克

的产品数量，求Y的分布列；

（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505

克的概率。

解:(1)重量超过505克的产品数量是:40?(0.05?5+0.01?5)=40?0.3=12. (2)Y的分布列为:

Y 0 1 2 P C228 C1?C1C2281212C240C2 40C2 40(3)设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y?B(5,310),从而P(Y=2)=C2327330875(10)(10)=10000.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为308710000.

18.(本小题满分14分)

如图5，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧

AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，FE=6a. （1）证明：EB?FD；

(2)已知点Q,R为线段FE,FB上的点，FQ?23FE， FR?23FB，求平面BED与平面RQD所成的两面角的正弦值. 17. 18.证明:(1)连结CF.?B,C为线段AD的三等分点,?AB?BC,即B为半圆AEC的圆心, 又E为半圆AEC的中点,?EB?BC.在?BDF中,BF?DF?5a,所以?BDF是等腰三角形,且点C是底边BD的中点,所以CF?BD.故CF=BF2?BC2=(5a)2?a2=2a,在?CEF中,EF2?6a2?(2a)2?(2a)2?CE2?CF2,所以CF?EC.由CF?BD,CF?EC,且EC?BD=C,?FC?平面BED,而EB?平面BED,?FC?EB,?BE?平面BDF,又FD?平面BDF,?EB?FD.（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.

由BQ=

22FE,FR=FB知, QR||EB. 33而EB?平面BDF，∴QR||平面BDF， 而平面BDE?平面RQD= DG， ∴QR||DG||EB.

由（1）知，BE?平面BDF，∴DG?平面BDF， 而DR?平面RQD，BD?平面BDF，

∴DG?DR,DG?DB，∴?RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在Rt?BCF中，CF?BF2?BC2?(5a)2?a2?2a，

sin?RBD?由FR?FC2a212??，cos?RBD?1?sin?RBD?． BF5a55215aFB知,BR?FB?,3335a25a1)?2?2a???33529a.3利用余弦定理:RD?BD2?BR2?2BD?BR?cos?RBD?(2a)2?(5aBRRD3利用正弦定理:?,即?sin?RDBsin?RBDsin?RDB故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为

解法二：利用向量，请同学们自行完成.

29a3,?sin?RDB?229.2295229.29

19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：

?12x?8y?64?3x?2y?16?0?6x?6y?42?x?y?7?0???? x,y满足条件?6x?10y?54即?3x?5y?27?0，

??x?Nx?N??y?Ny?N???? 目标函数为z?2.5x?4y，

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为

5z5zy??x?，得到斜率为?，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线。

84845z 由图可知，当直线y??x?经过可行域上的点

84M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小.

解方程组：??x?y?7?0, 得点M的坐标为(4,3), 所以zmin?22

3x?5y?27?0?答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚

餐，

所花的费用最少,且最少费用为22元.

x2?y2?1的左、右顶点分别为A1,A2,点20.（本小题满分14分）已知双曲线2P(x1,y1),Q(x1,?y1)是双曲线上不同的两个动点.

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程

（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2，求h的值.

20.(本小题满分14分)

解:(1)A1,A2为双曲线的左,右顶点,?它们的坐标为A1(?2,0),A2(2,0).则A1P:y?y1?0x1?2(x?2),A2Q:y?2?y1?0x1?2(x?2),两式相乘得:y?22?y122x1?2(x2?2).x1y1112x222?点P(x1,y1)在双曲线上,所以?y1?1,即2?,故y??(x?2),即?y2?1.222x1?22[来 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E的方程为

x2?y2?1(x?0,且x??2). 2（2）设l1:y?kx?h(k?0)，则由l1?l2知，l2:y??将

1x?h. kx2?(kx?h)2?12，

即

l1:y?kx?h2x2?)k代入

x2?y2?12得

(?1k2 2h??h42x，?20222222若l1与椭圆相切,则??16kh?4(1?2k)(2h?2)?0，即1?2k?h;

同理若l2与椭圆相切,则1?2?1?h2. 2k由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况: [1]直线l1与l2都与椭圆相切,即1?2k?h,且1?2?2211222?h?kh,消去得，即22kkk2?1，

从而h?1?2k?3，即h?3; [2]直线l1过点A1(?2,0),而l2与椭圆相切,此时k?(?2)?h?0,1?2?h?1?17;

2221?h2,解得2k[3]直线l2过点A2(2,0),而l1与椭圆相切,此时?h?1?17; 21?2?h?0,1?2k2?h2,解得k[4] 直线l1过点A1(?2,0),而直线l2过点A2(2,0),此时

k?(?2)?h?0,?1?2?h?0,?h?2. k综上所述,h的值为2,3,1?17. 2（注：本题第(2)问中的“只有一个交点”不知命题的专家们指的是相交时的唯一交点还是把相切时的切点也当成是唯一的交点(严格地说,切点应该算做两个交点，只不过这两个交点重合而已)，如果本题指的是严格意义上的交点，那么上述解答中只需要第四种情况，也就就是说h只能取2这一个值. 如果本题将第(2)问中的“交点”改成“公共点”就不会有这种疑惑了.）

21.(本小题满分14分)

设A(x1,y2)，B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)

为p(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|. 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y2)，

B(x2,y2),

(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明p(A,C)?p(C,B)?p(A,B); （2）在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足:

①p(A,C)?p(C,B)?p(A,B)； ② p(A,C)?p(C,B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.

21.(本题满分14分)

证明:(1)依题意:?(A,C)??(C,B)?|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,而|x?x1|?|x2?x|?|x?x1?x2?x|?|x2?x1|,等号当且仅当x?x1与x2?x同号时取得;又|y?y1|?|y2?y|?|y?y1?y2?y|?|y2?y1|,等号当且仅当y?y1与y2?y同号时取得.故|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|?|x2?x1||y2?y1|,即?(A,C)??(C,B)??(A,B),等号当且仅当x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号时取得.(2)不失一般性,设x1?x2.[1]若y1?y2,假设这样的点存在,由(1)知,当?(A,C)??(C,B)??(A,B)时,x?x1与x2?x同号且y?y1与y2?y也同号,此时有:x1?x?x2且y1?y?y2,即点C的轨迹是以线段AB为对角线,且四边分别平行两坐标轴的矩形区域(含边界),(当y1?y2时点C的轨迹退化成线段AB).而根据C满足的第二个条件?(A,C)??(C,B)可得:|x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y|,考虑到x1?x?x2且y1?y?y2,去掉绝对值得x?x1?y?y1?x2?x?y2?y,即y??x?x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y??x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,故满足条件的点存在,为线段y??x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.(当y1?y2时,线段\退化\成一点(线段AB的中点),即此时满足条件的C点只有一个).[2]同理,若y1?y2,假设这样的点存在,由C满足第一个条件,可得x1?x?x2且y2?y?y1,x1?x2y1?y2?,22设AB的中点为M(x0,y0),则y?x?x0?y0,显然AB的中点M(x0,y0)在该直线上,结合C满足的第二个条件可得y?x?故此时满足条件的点亦存在,为线段y?x?x0?y0(x?[x1,x2],y?[y1,y2])上任意一点.

试卷类型：A

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、

试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式

V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高

??a?中系数计算公式 线性回归方程?y?bx其中x,y表示样本均值。

N是正整数，则an?bn??a?b?(an?1?an?2b??abn?2?bn?1）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z满足?1?i?z?2，其中i为虚数单位，则z= A．1?i B. 1?i C. 2?2i Ｄ．2?2i

2．已知集合A???x,y? ∣x,y为实数，且x2?y2?1?，B???x,y?x,y为实数，且y?x?，则A?B的元素个数为

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c?(a?2b)?Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0

4. 设函数f?x?和g?x?分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．f?x??g?x?是偶函数 Ｂ．f?x??g?x?是奇函数 Ｃ．f?x??g?x?是偶函数 Ｄ．f?x??g?x?是奇函数

?0?x?2?5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定。若M(x,y)??x?2y?????????为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z?OM?ON的最大值为 A．42 B．32 C．4 D．3

6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

1323A． B． C． D．

25347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A. 63 B. 93 C. 123 D. 183 8.设S是整数集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有

abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，则下列结论恒成立的是

A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的

16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）

9. 不等式x?1?x?3?0的解集是 .

2??10. x?x??的展开式中，x4的系数是 （用数字作答）

x??11. 等差数列an前9项的和等于前4项的和. 若a1?1,ak?a4?0，则k=____________.

2f(x)?x?3x?1在x=____________处取得极小值。 12. 函数

713. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为

52?x?t???x?5cos?(t?R)，它们的交点坐标为___________. 4(0????) 和?????y?sin??y?t15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC=∠APB, 则AB= 。

三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

A.（本小题满分12分）

1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R.

365?(1)求f()的值；

4?106???(2)设?,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.

2135?2?

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)

如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA?PD?2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)

设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(3545,),F(5,0)，且P为L上动点，求MP?FP的最大值55及此时点P的坐标. 20.（本小题共14分）

设b>0,数列?an?满足a1=b，an?（1）求数列?an?的通项公式；

nban?1(n?2)

an?1?2n?2.

bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1.

2

21.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y?12x实数p，q满足4.

p2?4q?0，x1，x2是方程x2?px?q?0的两根，记?(p,q)?max?x1,x2?。 （1）过点A(p0,12p0)(p0?0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB4上任一点Q(p，q)有?(p,q)?p0; 2 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,线段

EF

121p1),E?(p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。44上异于两端点的点集记为

p1 2;

X.证明：M(a,b)

?X?P1?P2??(a,b)?（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

15(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求?(p,q)的44最小值 （记为?min）和最大值（记为?max）.

2011年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

题 号 答 案 二、填空题 ９. [1,??)；

10. 84；

1B

2C3D4A

5C6D7B

8A

13. 185；

11. 10； 12. 2；

14. (1,25)； 5 15.

35；

三、解答题 16．解：(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2; 41264(2)f(3???2)?2sin??105?12，?sin??，又??[0,]，?cos??， 1313213)?2cos??63，?cos??， 55f(3??2?)?2sin(??又??[0,?2?2]，?sin??4， 516. 65cos(???)?cos?cos??sin?sin??17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5?（2）样品中优等品的频率为

14?35； 9822，乙厂生产的优等品的数量为35??14； 55i2?iC2C3(i?0,1,2)，?的分布列为 （3）??0,1,2， P(??i)?2C5? P 均值E(?)?1?0 1 2 3103 5 110314?2??. 5105P F 18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，

由题意知ΔABC是等边三角形，?BG?AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，

?AD?平面PGB，

?EF//PB,DE//GB，

A

G DCB

E Ｓ

Ｓ ?平面DEF//平面PGB， ?AD?平面DEF

(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，

在Rt?PGA中，PG?2Ｓ

Ｓ

217132?()2?；在Rt?BGA中，BG2?12?()2?；

2424PG2?BG2?PB221??在?PGB中，cos?PGB?.

2PG?BG719．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(?5,0)、F2(5,0)，

由题意得R?|CF1|?2?|CF2|?2或R?|CF2|?2?|CF1|?2，

?||CF1|?|CF2||?4?25?|FF12|，

x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2?2?1，则

abx22a?4,a?2,c?5,b?c?a?1,b?1，所以轨迹L的方程为?y2?1．

4?????????（２）∵||MP|?|FP||?|MF|?2，仅当PM??PF(??0)时，取＂＝＂，

222由kMF??2知直线lMF:y??2x(?x2?y2?1并整理得，)联立5415x2?325x?9?0解得x?145652565或x?，此时P((舍去）,-)

155553545,)． 55所以||MP|?|FP||最大值等于2，此时P(20．解（１）法一：

anban?1nan?1?2(n?1)12n?1，得， ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设

21n?bn，则bn??bn?1?(n?2)，

bban11为首项，为公差的等差数列， 22（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 222222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb（ⅱ）当b?2时，设bn???令?(211121?1)?，得????(bn?1?)(n?2)， ，?bn?bb2?b2?bb2?b11121?(b1?)?()n?1，又b1?， 是等比数列，?bn?2?b2?b2?bbb知bn?12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???，?an?． nnn2?bb2?b2?bb2?b11法二：（ⅰ）当b?2时，?bn?是以为首项，为公差的等差数列，

22即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 2222b22b2(b?2)3b33b3(b?2)?2?3（ⅱ）当b?2时，a1?b，a2?，a2?2， b?2b?22b?2b?4b?23nbn(b?2)猜想an?，下面用数学归纳法证明：

bn?2n①当n?1时，猜想显然成立；

kbk(b?2)②假设当n?k时，ak?，则 kkb?2ak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2)， ??k?kkk?1k?1ak?2(n?1)kb(b?2)?2k?(b?2)b?2所以当n?k?1时，猜想成立，

nbn(b?2)由①②知，?n?N*，an?．

bn?2n2n?1（２）（ⅰ）当b?2时， an?2?n?1?1，故b?2时，命题成立；

2（ⅱ）当b?2时，b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn，

b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn，

??,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn，以上n个式子相加得

b2n?b2n?1?2???bn?1?2n?1?bn?1?2n?1???b?22n?1?22n?n?2n?1bn，

n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2) an?n?1n?2(b?2n)2n?1(bn?2n)(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2) ?2n?1(bn?2n)(b2n?1?22n?1)?bn?1?2n?bn?2n?1 ?n?1nn2(b?2)(b2n?1?bn?1?2n)?(bn?2n?1?22n?1)bn?1?n?1?1．故当b?2时，命题成立； ?n?1nn22(b?2)综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

21．解：（１）kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?直线AB的方程为y?121p0， 212111p0?p0(x?p0)，即y?p0x?p02， 4224?q?11p0p?p02，方程x2?px?q?0的判别式??p2?4q?(p?p0)2， 24两根x1,2?p?|p0?p|p0p?或p?0，

222p0p|?||p|?|0||，又0?|p|?|p0|， 22?p?p0?0，?|p???|p0ppppp|?|p|?|0|?|0|，得?|p?0|?||p|?|0||?|0|， 222222p0|． 2??(p,q)?|2（２）由a?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方，

①当a?0,b?0时，作图可知，若M(a,b)?X，则p1?p2?0，得|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X； ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|． ②当a?0,b?0时，点M(a,b)在第二象限，

作图可知，若M(a,b)?X，则p1?0?p2，且|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X；

?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．

根据曲线的对称性可知，当a?0时，M(a,b)?X?|p1|?|p2|， 综上所述，M(a,b)?X?|p1|?|p2|（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?同理点M在直线E'F'上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?若?(a,b)?|22p1p或a?1， 22p2p或a?2， 22p1pppp|，则|1|不比|a?1|、|2|、|a?2|小， 22222p1p|?M(a,b)?X；又由（１）知，M(a,b)?X??(a,b)?|1|； 22?|p1|?|p2|，又|p1|?|p2|?M(a,b)?X，

??(a,b)?|??(a,b)?|p1|?M(a,b)?X，综合（*）式，得证． 215(x?1)2?得交点(0,?1),(2,1)，可知0?p?2， 44（３）联立y?x?1，y?12x0?q112?x0， 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x0,x0)，则44x0?p2得x02?2px0?4q?0，解得x0?p?又q?p2?4q，

15(p?1)2?，即p2?4q?4?2p， 44115?x0?p?4?2p，设4?2p?t，?x0??t2?t?2??(t?1)2?，

222??max?|x055|max，又x0?，??max?；

242?q?p?1，?x0?p???min?|

p2?4p?4?p?|p?2|?2，

x0|min?1． 2试卷类型：A

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

6、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、

试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 7、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

8、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 9、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

10、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交

回。

参考公式：柱体的体积公式

V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高

??a?中系数计算公式 线性回归方程?y?bx其中x,y表示样本均值。

N是正整数，则an?bn??a?b?(an?1?an?2b??abn?2?bn?1）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z满足?1?i?z?2，其中i为虚数单位，则z= A．1?i B. 1?i C. 2?2i Ｄ．2?2i

2．已知集合A???x,y? ∣x,y为实数，且x2?y2?1?，B???x,y?x,y为实数，且y?x?，则A?B的元素个数为

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c?(a?2b)?Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0

4. 设函数f?x?和g?x?分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．f?x??g?x?是偶函数 Ｂ．f?x??g?x?是奇函数 Ｃ．f?x??g?x?是偶函数 Ｄ．f?x??g?x?是奇函数

?0?x?2?5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定。若M(x,y)??x?2y?????????为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z?OM?ON的最大值为 A．42 B．32 C．4 D．3

6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

1323A． B． C． D．

25347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A. 63 B. 93 C. 123 D. 183 8.设S是整数集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有

abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，则下列结论恒成立的是

A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的

17. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）

9. 不等式x?1?x?3?0的解集是 .

2??10. x?x??的展开式中，x4的系数是 （用数字作答）

x??11. 等差数列an前9项的和等于前4项的和. 若a1?1,ak?a4?0，则k=____________.

2f(x)?x?3x?1在x=____________处取得极小值。 12. 函数

713. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（三）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为

52?x?t???x?5cos?(t?R)，它们的交点坐标为___________. 4(0????) 和?????y?sin??y?t15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线

和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC=∠APB, 则AB= 。

四．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

B.（本小题满分12分）

1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R.

365?(3)求f()的值；

4?106???(4)设?,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.

2135?2?

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （4）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（5）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（6）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)

如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA?PD?2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)

设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(3545,),F(5,0)，且P为L上动点，求MP?FP的最大值55及此时点P的坐标. 20.（本小题共14分） 设b>0,数列?an?满足a1=b，an?（1）求数列?an?的通项公式；

bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1.

2nban?1(n?2)

an?1?2n?2.

21.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y?12x实数p，q满足4.

p2?4q?0，x1，x2是方程x2?px?q?0的两根，记?(p,q)?max?x1,x2?。 （1）过点A(p0,12p0)(p0?0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB4上任一点Q(p，q)有?(p,q)?p0; 2 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,线段

EF

121p1),E?(p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。44上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)

?X?P1?P2??(a,b)?p1 2;

15(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求?(p,q)的44（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

最小值 （记为?min）和最大值（记为?max）.

2011年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

题 号 答 案 二、填空题 ９. [1,??)； 14. (1,10. 84；

1B 15.

2C3D4A

5C6D7B

8A

13. 185；

11. 10； 12. 2；

25)； 535；

三、解答题 16．解：(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2; 41264(2)f(3???2)?2sin??105?12，?sin??，又??[0,]，?cos??， 1313213)?2cos??63，?cos??， 55f(3??2?)?2sin(??又??[0,?2?2]，?sin??4， 516. 65cos(???)?cos?cos??sin?sin??17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5?（2）样品中优等品的频率为

14?35； 9822，乙厂生产的优等品的数量为35??14； 55i2?iC2C3(i?0,1,2)，?的分布列为 （3）??0,1,2， P(??i)?C52? P 0 1 2 3103 5 110均值E(?)?1?314?2??. 5105P F 18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，

由题意知ΔABC是等边三角形，?BG?AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，

?AD?平面PGB，

?EF//PB,DE//GB，

A

G DCB

E Ｓ

Ｓ?平面DEF//平面PGB， ?AD?平面DEF

(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，

在Rt?PGA中，PG?2Ｓ

Ｓ

17132?()2?；在Rt?BGA中，BG2?12?()2?；

24242PG2?BG2?PB221在?PGB中，cos?PGB?. ??2PG?BG719．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(?5,0)、F2(5,0)，

由题意得R?|CF1|?2?|CF2|?2或R?|CF2|?2?|CF1|?2，

?||CF1|?|CF2||?4?25?|FF12|，

x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2?2?1，则

abx22a?4,a?2,c?5,b?c?a?1,b?1，所以轨迹L的方程为?y2?1．

4?????????（２）∵||MP|?|FP||?|MF|?2，仅当PM??PF(??0)时，取＂＝＂，

222由kMF??2知直线lMF:y??2x(?x2?y2?1并整理得，)联立5415x2??32x?5?解得9x0145652565或x?，此时P((舍去）,-)

155553545,)． 55所以||MP|?|FP||最大值等于2，此时P(20．解（１）法一：

anban?1nan?1?2(n?1)12n?1，得， ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设

21n?bn，则bn??bn?1?(n?2)，

bban11为首项，为公差的等差数列， 22（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 222

k=____________.

2f(x)?x?3x?1在x=____________处取得极小值。 12. 函数

13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（四）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为

52?x?t???x?5cos?(t?R)，它们的交点坐标为___________. 4?(0????) 和????y?sin??y?t15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， ∠BAC=∠APB, 则AB= 。

五．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

C.（本小题满分12分）

1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R.

365?(5)求f()的值；

4?106???(6)设?,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.

2135?2?

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （7）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（8）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（9）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)

如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA?PD?2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)

设圆C与两圆(x?5)2?y2?4,(x?5)2?y2?4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(3545,),F(5,0)，且P为L上动点，求MP?FP的最大值55及此时点P的坐标. 20.（本小题共14分） 设b>0,数列?an?满足a1=b，an?（1）求数列?an?的通项公式；

nban?1(n?2)

an?1?2n?2.

bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1.

2

21.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y?12x实数p，q满足4.

p2?4q?0，x1，x2是方程x2?px?q?0的两根，记?(p,q)?max?x1,x2?。 （1）过点A(p0,12p0)(p0?0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB4上任一点Q(p，q)有?(p,q)?p0; 2 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,线段

EF

121p1),E?(p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。44上异于两端点的点集记为

p1 2;

X.证明：M(a,b)

?X?P1?P2??(a,b)?（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

15(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求?(p,q)的44最小值 （记为?min）和最大值（记为?max）.

2011年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

题 号 答 案 二、填空题 ９. [1,??)； 14. (1,10. 84；

1B 15.

2C3D4A

5C6D7B

8A

13. 185；

11. 10； 12. 2；

25)； 535；

三、解答题 16．解：(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2; 41264(2)f(3???2)?2sin??105?12，?sin??，又??[0,]，?cos??， 1313213)?2cos??63，?cos??， 55f(3??2?)?2sin(??又??[0,?2?2]，?sin??4， 516. 65cos(???)?cos?cos??sin?sin??17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5?（2）样品中优等品的频率为

14?35； 9822，乙厂生产的优等品的数量为35??14； 55i2?iC2C3(i?0,1,2)，?的分布列为 （3）??0,1,2， P(??i)?2C5? P 均值E(?)?1?0 1 2 3103 5 110314?2??. 5105P F 18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，

由题意知ΔABC是等边三角形，?BG?AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，

?AD?平面PGB，

?EF//PB,DE//GB，

A

G DCB

E Ｓ

Ｓ ?平面DEF//平面PGB， ?AD?平面DEF

(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，

在Rt?PGA中，PG?2Ｓ

Ｓ

217132?()2?；在Rt?BGA中，BG2?12?()2?；

2424PG2?BG2?PB221??在?PGB中，cos?PGB?.

2PG?BG719．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(?5,0)、F2(5,0)，

由题意得R?|CF1|?2?|CF2|?2或R?|CF2|?2?|CF1|?2，

?||CF1|?|CF2||?4?25?|FF12|，

x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2?2?1，则

abx22a?4,a?2,c?5,b?c?a?1,b?1，所以轨迹L的方程为?y2?1．

4?????????（２）∵||MP|?|FP||?|MF|?2，仅当PM??PF(??0)时，取＂＝＂，

222由kMF??2知直线lMF:y??2x(?x2?y2?1并整理得，)联立5415x2??32x?5?解得9x0145652565或x?，此时P((舍去）,-)

155553545,)． 55所以||MP|?|FP||最大值等于2，此时P(20．解（１）法一：

anban?1nan?1?2(n?1)12n?1，得， ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设

21n?bn，则bn??bn?1?(n?2)，

bban11为首项，为公差的等差数列， 22（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?111?(n?1)??n，∴an?2 222222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb（ⅱ）当b?2时，设bn???令?(211121?1)?，得????(bn?1?)(n?2)， ，?bn?bb2?b2?bb2?b11121?(b1?)?()n?1，又b1?， 是等比数列，?bn?2?b2?b2?bbb知bn?12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???，?an?． nnn2?bb2?b2?bb2?b法二：（ⅰ）当b?2时，?bn?是以即bn?11为首项，为公差的等差数列， 22111?(n?1)??n，∴an?2 2222b22b2(b?2)3b33b3(b?2)?2?3（ⅱ）当b?2时，a1?b，a2?，a2?2， 23b?2b?2b?2b?4b?2nbn(b?2)猜想an?，下面用数学归纳法证明： nnb?2①当n?1时，猜想显然成立；

kbk(b?2)②假设当n?k时，ak?，则 kkb?2

ak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2)， ??k?kkk?1k?1ak?2(n?1)kb(b?2)?2k?(b?2)b?2所以当n?k?1时，猜想成立，

nbn(b?2)由①②知，?n?N*，an?． nnb?22n?1（２）（ⅰ）当b?2时， an?2?n?1?1，故b?2时，命题成立；

2（ⅱ）当b?2时，b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn，

b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn，

??,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn，以上n个式子相加得

b2n?b2n?1?2???bn?1?2n?1?bn?1?2n?1???b?22n?1?22n?n?2n?1bn，

n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2) an?n?1n?nn?1nn2(b?2)2(b?2)(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2) ?n?1nn2(b?2)(b2n?1?22n?1)?bn?1?2n?bn?2n?1 ?2n?1(bn?2n)(b2n?1?bn?1?2n)?(bn?2n?1?22n?1)bn?1?n?1?1．故当b?2时，命题成立； ?n?1nn22(b?2)综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．

21．解：（１）kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?直线AB的方程为y?121p0， 212111p0?p0(x?p0)，即y?p0x?p02， 4224?q?11p0p?p02，方程x2?px?q?0的判别式??p2?4q?(p?p0)2， 24两根x1,2?p?|p0?p|p0p?或p?0，

222p0p|?||p|?|0||，又0?|p|?|p0|， 22?p?p0?0，?|p???|p0ppppp|?|p|?|0|?|0|，得?|p?0|?||p|?|0||?|0|， 222222??(p,q)?|p0|． 2（２）由a?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方，

①当a?0,b?0时，作图可知，若M(a,b)?X，则p1?p2?0，得|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X； ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|． ②当a?0,b?0时，点M(a,b)在第二象限，

作图可知，若M(a,b)?X，则p1?0?p2，且|p1|?|p2|； 若|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X；

2?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．

根据曲线的对称性可知，当a?0时，M(a,b)?X?|p1|?|p2|， 综上所述，M(a,b)?X?|p1|?|p2|（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?同理点M在直线E'F'上，方程x?ax?b?0的两根x1,2?若?(a,b)?|22p1p或a?1， 22p2p或a?2， 22p1pppp|，则|1|不比|a?1|、|2|、|a?2|小， 22222p1p|?M(a,b)?X；又由（１）知，M(a,b)?X??(a,b)?|1|； 22p1|?M(a,b)?X，综合（*）式，得证． 215(x?1)2?得交点(0,?1),(2,1)，可知0?p?2， 44?|p1|?|p2|，又|p1|?|p2|?M(a,b)?X，

??(a,b)?|??(a,b)?|（３）联立y?x?1，y?12x0?q112?x0， 过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x0,x0)，则44x0?p2得x02?2px0?4q?0，解得x0?p?又q?p2?4q，

15(p?1)2?，即p2?4q?4?2p， 44115?x0?p?4?2p，设4?2p?t，?x0??t2?t?2??(t?1)2?，

222??max?|x055|max，又x0?，??max?；

242p2?4p?4?p?|p?2|?2，

?q?p?1，?x0?p???min?|

x0|min?1． 2

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