2019_2020学年高中数学课时分层作业13从位移、速度、力到向量(含解析)北师大版必修4

课时分层作业(十三) 从位移、速度、力到向量

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

C [②③④⑤是向量．]

2．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定( )

A ．不共线

B ．长度不相等

C ．不都是单位向量

D ．不都是零向量 D [若向量a 与向量b 不相等，则说明向量a 与向量b 的方向和长度至少有一个不同．所以a 与b 有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A ，B ，C 都是错误的．但是a 与b 一定不都是零向量．]

3．如图所示，?ABCD 中，相等的向量是( )

A.AD →与CB →

B.OA →与OC →

C.AC →与BD →

D.DO →与OB →

D [DO →与OB →方向相同且长度相等．]

4．下列说法中正确的个数是( )

(1)单位向量都平行；

(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(3)向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；

(4)有相同起点的两个非零向量不平行；

(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 A [(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．

(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．

(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向

量．

(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．

(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]

5．设四边形ABCD 中，有AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( )

A ．正方形

B ．矩形

C ．等腰梯形

D ．菱形

D [由AB →＝DC →可知四边形ABCD 为平行四边形，又|AD →|＝|AB →|，该四边形为菱形．]

二、填空题

6．设数轴上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，C 对应的实数分别是1和－3，且AC →＝CB →，CD

→为单位向量，则点B 对应的实数为________；点D 对应的实数为________；|BC →|＝________.

－7 －4或－2 4 [由题意知点C 是线段AB 的中点，所以点B 对应的实数为－7.CD →为

单位向量，所以点D 对应的实数为－4或－2，|BC →|＝－3－(－7)＝4.]

7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向

量，在这6个向量中：

(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等

于________．

(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和

等于________．

(1)CH →，AE → 10 (2)DG →，HF → 5 2 [(1)模相等的两个向量是CH →，AE →，

|CH →|＝|AE →|＝12＋32＝10.

(2)共线的向量是DG →，HF →，

且|DG →|＋|HF →|＝22＋32＝5 2.]

8．给出下列几种叙述：

①两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a ＝b ；

③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形；

④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；

⑤若a∥b ，b∥c ，则a∥c .

其中正确的有________．(填序号)

④ [①错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．

②错误．若|a|＝|b|，则a 与b 方向未必相同，故a 与b 不一定相等．

③错误．若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD 不一定是

平行四边形．

④正确．平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝DC 且有向线段AB →与DC →方向相同，所以AB →＝DC →.

⑤错误．若a∥b ，b∥c ，b ＝0，则a 与c 不一定平行．]

三、解答题

9．△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，

试求下列问题：

(1)写出与EF →共线的向量；

(2)写出与EF →的模大小相等的向量；

(3)写出与EF →相等的向量．

[解] (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，

所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，

所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.

(2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.

(3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.

10.如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上

的点，且CN →＝MA →.

求证：DN →＝MB →.

[证明] ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形，

∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .

又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.

同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.

∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，

又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.

[等级过关练]

1．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是( )

A ．①④

B ．③

C ．①②③

D ．②③

B [a 为任一非零向量，故|a |>0.]

2.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是

( )

A ．与A

B →相等的向量只有一个(不含AB →)

B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)

C.BD →的模恰为DA →的模的3倍

D.CB →与DA →不共线

D [由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，

AD →，CD →，CA →，BC →，BA →.因此选项B 正确，而Rt △AOD 中， ∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|.因此选项C 正确．由于CB →＝DA →，因此CB →与DA →是共线的，故错误的选项是D.]

3．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________．

梯形 [∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，

∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，

∴四边形ABCD 是梯形．]

4．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.

2 3 [易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12

AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.]

5.如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交

点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．

[解] 由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，

即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.

由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，

OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．

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