椭圆离心率的解法（修订加强版）

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，｜PF｜

P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

｜PD｜②e=

｜QF｜｜AO｜｜AF｜

③e=④e=

｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜

｜AO｜

⑤e=

D P Q A B F O

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。（看上去没有

c关联，实际用代入法则易发现规律）

x2 y2

题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，

a b 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A B F1 F2

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内（即利用三角形把已知条件转化为a与c的关系，用c表示a），构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=

c

= 3-1 a

x2 y2

变形1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1

a b

P F2 OF1 为正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°那么假设c=1,2a=1+3图形如上图，e=3-1

x y 变形2: 椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是a b 椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

2 2P B F1 O F2 A

b2 解：∵｜PF1｜= ,｜F2 F1｜=2c ,｜OB｜=b ,｜OA｜=a aPF2 ∥AB ∴

｜PF1｜ b

= 又 ∵b= a2-c2

｜F2 F1｜a 5 5

∴a2=5c2 e=

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 x2 y2

题目2：椭圆2 +2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个

a b 顶点，∠ABF=90°，求e?

B A O F

解：｜AO｜=a ,｜OF｜=c ,｜BF｜=a ,｜AB｜=a+b

勾股定理：a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 -1-5 e=(舍去) 2222

x2 y2 -1+5

变形：椭圆2 +2=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短

a b 2轴的一个顶点，求∠ABF？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

5-1

引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。

2

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 x2 y2 题目3：椭圆2 +2=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交a b 椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?

解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m

22??a –c=m(2a-c)

两式相除22在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：? 2(a-c)=m(2a+c) ??：2a-c12

=?e= 2a+c2 3

设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 作图可知

A为y>0的半平面内直线与椭圆交点 B为y<0的半平面内直线与椭圆交点

作对应于椭圆左焦点的准线x=-a^2/c

分别过A，B做准线的垂线,垂足分别为M，N 设准线与x轴交于P点 根据离心率e的定义

e=|AF|/(|PF|+|AF|cos60)=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)

|AF|=2|BF|

则|PF|+2|BF|cos60=2(|PF|-|BF|cos60) |PF|=2|BF|

代入e=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)=1/(2-1/2)=2/3

x2 y2

题目4：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜

a b F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

｜F1F2｜｜F1P｜｜PF2｜

解：由正弦定理： = =

sin F1PF2 sin F1F2P sin PF1F2 根据和比性质：

｜F1F2｜｜F1P｜+｜PF2｜

=

sin F1PF2 sinF1F2P+sin PF1F2 变形得：

｜F1F2｜ sin F1PF2

==

｜PF2｜+｜F1P｜ sin F1F2P +sin PF1F2

=

2c

=e 2a

∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° sin90°6e= = sin75°+sin15° 3

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 sin F1PF2 e= sin F1F2P +sin PF1F2

x2 y2

变形1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆

a b 上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α

sin F1PF2 sin60°

e=== sin F1F2P +sin PF1F2 sinα+sin(120°-α) 1 11

≥ ∴≤e<1

2sin(α+30°)22

xy

变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点

4 4t2

1αβ1

（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若

3 22 2 求e的取值范围？

分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。 解;根据上题结论e=

sin F1PF2 sin(α+β)

= sin F1F2P +sin PF1F2 sinα+sinβ

22

α+βα+β α β α β 2sin cos cos cos -sin sin 2 2 2 2 2 2

==

α+βα-β α β α β 2sin cos cos cos +sin sin

2 2 2 2 2 2 α β

tan 2 2

==e

α β

1- tan tan

2 2 1- tan

11-e 111

∵<< ∴

三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.

x y

题目5：椭圆2 +2=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆

a b →→→

于A、B两点，OA+OB与 a=(3,-1)共线，

2 2

A(X1,Y1) O B(X2,Y2) 求e?

法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ?b2x2+a2y2=a2b2 ?? ??y=x-c

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 2a2c2a2c-2b2cx1+x2=22 y1+y2=22-2c=22 a+ba+ba+b→→

OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 6

-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a=3b e=

3

2

2

→→→

法二：设AB的中点N，则2ON=OA+OB

???

x12y12 + =1 ①a2 b2

① -② 得：

x22y22

+ =1 ② a2 b2

y1-y2b2x1 +x2 b26

=- 2 ∴1=- 2(-3) 既a2=3b2 e= a 3 x1-x2 a y1+y2四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 x2 y2

题目6：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满

a b

足MF1·MF2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？

→→

M F1 O F2 →→

分析：∵MF1·MF2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。 解：∴c

a2=b2+c2 >2c2 ∴0

2 2

x2 y2

题目7：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准

a b 线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？

P M F1 O F2

分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e a -cc a2y0

解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)

c 2 2 b2y0 a2→

既(, ) 则PF1 =-( +c, y0 ) 2c 2 c

2

by0 →→→

MF2 =-( -c, ) PF1·MF2 =0

2c 2 a2 b2y0

( +c, y0 ) ·( -c, )=0 c 2c 2 a2 b2y02 ( +c)·( -c)+ =0

c 2c 2 a2-3c2≤0 ∴

3

≤e<1 3

2

解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c

a2a2a2

｜PF2｜≥-c 则2c≥-c 3c≥

c c c 3c2≥a2 则

3

≤e<1 3

总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。

离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。