统计热力学--小结与习题

统计热力学初步

第9章 统计热力学初步小结与练习

核心内容：配分函数（q）及其与热力学函数（U,S…）之间的关系 主要内容：各种运动形式的q及由q求U,S…的计算公式 一、内容提要

1、微观粒子的运动形式和能级公式

???t??r??v??e??n

式中，?：粒子的总能量，?：粒子整体的平动能，?：转动能，?：

trv振动能，

?e：电子运动能，?：核运动能。

n（1）三维平动子

?t?(2?2?2) 8mabch2nx2ny2nz2式中，h：普朗克常数；m：粒子的质量；a，b，c：容器的三个边长，nx，ny，nz分别为x，y，z轴方向的平动量子数，取值1，2，3……。

对立方容器

?t?h22(nx?ny?nz)

22238mV基态nx = 1，ny = 1，nz = 1，简并度g要具体情况具体分析，如?t（2）刚性转子

双原子分子 ?r?h22t,0?1，而其他能级的简并度

?6h8mV22的能级，其简并度g = 3。

38?IJ(J?1)

224

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式中，J：转动量子数，取值0，1，2……，I：转动惯量，I??R02，

?：分子的折合质量，?简并度 gr = 2J+1 （3）一维谐振子

?m1m2m1?m2，R0：分子的平衡键长，能级?r的

?v?(??12)h?

式中，?：分子的振动频率，?：振动量子数，取值0，1，2……，各能级都是非简并的，gv = 1

对三维谐振子，

gv?(s?1)(s?2)2?v?(?x??y??z?32)h?

， 其中s=?x + ?y + ?z

（4）运动自由度：描述粒子的空间位置所必须的独立坐标的数目。

线性分子 非线性分3 子 2、能级分布的微态数和Boltzmann分布 （1）能级分布的微态数

能级分布：N个粒子分布在各个能级上的粒子数，叫做能级

分布数，每一套能级分布数称为一种分布。

微态数：实现一种分布的方式数。 定域子系统能级分布微态数 WD?N!?i平动 3 转动 2 3 振动 3n-5 3n-6 giini!n

225

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离域子系统能级分布微态数 WD 系统总的微态数 （2）最概然分布

????igiini!n

?W

DD 等概率定理：对N，U，V确定的系统，每个可能的微态出

现的概率相等。

P?1，某个分布的概率 ?PD?WD?

最概然分布：微态数最大的分布称为最概然分布。最概然分布可以用来代表平衡分布。 （3）玻耳兹曼分布定律

对于一个N，U，V确定的大量独立子系统，

ni?Nqgie??ikT

ninj?giegjegie??i?kTj

?kTniN??ikT?q

??ikTq配分函数：q??gie

式中，gi：能级i的简并度，n：分布在能级i上的粒子数。

3、配分函数 由于?i??t,i??r,i??v,i??e,i??n,i，gi?gt,i?gr,i?gv,i?ge,i?gn,i可得：

q?qtqrqvqeqn 为配分函数的析因子性质。

（1）能量零点的选择

选择各独立运动形式的基态能级作为各自能量的零点，则能级

226

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i的能量有?（2）平动配分函数

qt?(2?mkTh1320i??i??0，

q?qe0??0kT

q?q?e0?0kT

)32V12

ft?qt?2?mkT????2?h?

V13

ft：立方容器中平动子一个平动自由度的配分函数。

t,0 因为：??0，所以：q0t?qt

（3）转动配分函数 双原子分子

qr?8?IkT22?h?T??r

式中，I：分子的转动惯量。?：分子的对称数，异核双原子分子

?=1，同核双原子分子?=2。?r1?h28?Ik2 为转动特征温度。

fr?qr12?T?????r?????2

fr：一个转动自由度上的配分函数。

由于

?r,0?0，qr0?qr

8?2对非线型分子qr（4）振动配分函数

??2?kT??h332?IxIyIz?12

qv?e1h?2kT?e?h??2kT1e?v2T?e??v

2Tq?eh?k0v?v,0kTqv?11?e??vT

其中，?v? 为振动特征温度，一般情况 ?v>>T。

fv =qv 一个振动自由度上的配分函数

227

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多原子线型分子

3n?5qv??i?1e?h?ikT1?e3n?6?h?i

kTkT多原子非线型分子

qv??i?1e?h?i1?e?h?i

kT（5）电子运动的配分函数

通常情况下，电子运动全部处于基态。

??e,0qe?ge,0eqe?e0kT?e,0kT

?qe?ge,0?常数（6）核运动的配分函数

对于化学变化，通常情况下，核运动处于基态。

??n,0qn?gn,0eqn?e0kT?n,0kT

?qn?gn,0?常数4、热力学函数与配分函数之间的关系 （1）玻耳兹曼熵定理：S?kln? ，S?klnWB 摘取最大项原理：lnWB?ln?

式中，WB：最概然分布的微态数。 （2）热力学函数与配分函数之间的关系

①热力学能

U?NkT2(?lnq?T)V U0?NkT(2?lnq?T0

0)V

其中，U0?U?N?0?U?U0，U=U+U0

0K时的

N?0是系统中全部粒子均处于基态时的能量。U0是系统处于

热力学能。

∴U?Ut?Ur?Uv?Ue?Un

228

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U0?Ut?Ur?U0t0000v?Ue?Un000

,Ue?0,Un?0

00其中 UUt?00?Ut,Ur?Ur,Uv?Uv?Nh?232NkT , Ur01e?vT?NkT

Uv?Nk?v

?1②摩尔定容热容

CV,m???2??lnq???RT??????T??T??T?V?VR??RT??2??lnq0???T?2????V?????CV,t?CV,r?CV,vV

CV,t?32 ,

CV,r?R

CV,v??v??vT?R??e?T???vT??1??e???2

③熵 离域子系统

S?NklnqN?UT?Nk?Nklnq0N?UT0?Nk

S?St?Sr?Sv?Se?Sn

St?Nklnqt0N0v?UtT0?Nk，

oeSr?Nklnq?0rUrT0，

Sv?Nklnq?UvTUnT0,Se?Nklnq?UeTo

0Sn?Nklnq?0n

S?Nklnq?UT?Nklnq?0定域子系统 ④其它函数

UT0

亥姆霍兹函数A： 离域子系统 定域子系统

A??kTln(qN)??kTlnN!??kTln(q)229

0(q)N!N0N?U0

A??kTlnqN?U0

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压力p：

??lnq?p?NkT???Nk?V??T??lnq0T???V?????T

吉布斯函数G： ∵ G=A+PV 离域子系统

G??kTln(qN?lnq)?NkTV()TN!?V

??kTln{(q)N!0N}?NkTV(N?lnq?Vo)T?U0)T 定域子系统 焓H：

G??kTlnq?NkTV(?lnq?V0

??kTln(q)?NkTV(0N?lnq?V)T?U0

H?U?pV?NkT2??lnq???lnq????NkTV????T?V??V?T

?NkT2??lnq0???T????lnq0??NkTV????V?V????U0 ??T选取基态能级为能量零点时，U、A、G、H表达式中多一个U0项。 5、理想气体反应平衡常数 （1）标准摩尔吉布斯函数

Gm,T??RTln(?q0L)?U0,m

标准摩尔吉布斯自由能函数

Gm,T?U0,mT???Rln(q0L)

标准摩尔焓函数

Hm,T?U0,mTU???lnq0?RT???T?????R?V

0,m：单位物质的量的纯理想气体降至0K时的热力学能。

（2）理想气体反应的标准平衡常数

230

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反应

?lnK?0???BBB

)?1RT?rU0,m

??1R?r(Gm?U0,mT?? 其中

??rU0,m??rHm,29K??r(Hm,29K?U0,m) 88?r(Hm,298K?U0,m)???B(Hm,298K?U0,m)

?B（3）理想气体反应标准平衡常数与配分函数 理想气体反应

0???BBB

KC?(?qB??BB分子浓度表示的平衡常数

)e??r?0kT

??r?0 物质的量浓度表示的平衡常数 压力表示的平衡常数

q*BKc?(?qB*?BB)L???B?ekT

Kp?(?qB?*?BB)(kTp?)??Be??r?0kT，其中

?qB0V

二、思考题

1、什么是独立子系统？什么是近独立子系统？什么是相依子系统？

2、CO2分子有几个平动、转动、振动自由度？H2O又如何？ 3、平动、转动、振动能级间隔大约是多少？ 4、为什么最概然分布是平衡分布？

5、有三个一维谐振子，在三个定点上振动，E能的分布及每种分布的微态数。

6、能量零点的不同选择是否会影响能级分布数。 7、对一维谐振子，振动能?v?92h?，有几种可

??j的粒子数所占的百分数是多少？

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（j为振动量子数）

8、沟通化学热力学与统计热力学的重要公式是什么？ 9、在两个不同能级E1和E2上粒子数的比值为多少？ （1）E2- E1=8.368J·mol-1 （2）E2- E1=418.4J·mol-1 已知T=298.15K，各能级的简并度均为1。

10、对实际分子的振动来讲，为什么?只能取有限的值？ 11、今有处于不同状态下的CO为理想气体 （1）p，V，T（2）2p，V，T

两状态下的CO的配分函数是否相同?

12、从统计热力学上证明理想气体的热力学能只是温度的函数。 13、为什么双原子理想气体分子的CV,m有

52R或

72R的值？

14、为什么有些物质的统计熵和量热熵有一定的差别？

15、选择不同的能量零点对配分函数和热力学函数的影响是怎样的？

16、由统计热力学计算出的理想气体反应的标准平衡常数，其准确度如何？ 三、例题解析

2、在边长为a的立方容器中，质量为m的粒子作三维平动子运动，其中

h228ma?0.1kT，试计算状态（1，2，3）与状态（1，1，1）的粒

子数之比。

解题思路：本题利用平动子的能级公式和玻耳兹曼分布，求得不同能

级的分布数之比。

232

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解：立

222方

22容

2器

?t?

h228ma(nx?ny?nz)?(nx?ny?nz)?0.1kT状态（1，1，1） g1=1, 状态（1，2，3） g2=6, ∵ni∴

?Nqgie??ikT?1?0.3kT，

?2?1.4kT

n2n1?g2eg1e??2kT6?exp(?1.4kT?1?exp(?0.3kTkTkT)?1.997)?20??1kT

3、某分子的振动能级间隔 ??v?5.942?10J，试计算

（1）分别在298K，900K时，某一能级和其较低能级上的分子数之比。

（2）若振动能级间隔为??v?0.43?10?20J，情况又将如何变化？

解题思路：本题利用玻耳兹曼分布和两个能级上分布数之比

ninj?giegie??ikT??j来讨论不同温度、不同能级差对分布的影响。

kT解：（1）对分子的振动 gi=1 εi-εj=Δεv=5.942?10-20J

ni1?e1?e??ikT?(?i??j)∴n???j?ekTkTj

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解：84K时，Ar (s) = Ar (g)

?S?Sm(g)?Sm(s)??Hm(升华)T?7940J?mol84K?K?1?1?94.5J?mol?1?K?1

∴Sm(g)??S?Sm(s)?94.5J?mol?1?38.3J?mol?1?K?1

?132.8J?mol?1?K?1

对单原子理想气体，只考虑平动

qt?(2?mkTh2)2V3

?1∴Sm,t?3?R?ln(Mkg?mol?2?1?1)?52ln(TK)?ln(p?)?20.723? Pa??8.314J?mol?132.8J?mol?K?K5?3?p?3???ln39.9?10??ln84?ln()?20.723?Pa2?2?

?1?1∴p=59571Pa

10、单原子理想气体，电子处于基态能级，试依据熵的统计表达式证明该气体的绝热可逆过程方程为

TV23?TV??1?常数

解题思路：根据化学热力学熵增原理，绝热可逆过程熵保持不变，利用熵的表达式可得出结果，注意单原子理想气体C解：单原子理想气体配分函数

q?qt?(2?mkT)h332V,m?32R,Cp,m?52R。

V

0tSt?Nklnq0tN?UT?Nk?Nkln(2?mkT)Nh332?V?52Nk

∵ 绝热可逆过程的熵保持不变，S=常数 ∴T32V?常数 ∴TV23?常数

239

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∵ 单原子理想气体 ∴??Cp,mCV,m23CV,m?32R

?1?53Cp,m?2352R

?5 ∴?3

?1?

∴TV?TV??1?常数11、证明：对于单纯物质的理想气体

H?NkT(2?lnq?T)p

解题思路：归纳与演绎是最基本的科学方法，学习演绎法，有利于培养我们抽象思维的能力，本题就是一例。在推导过程中使用理想气体状态方程的另一种表达式pV=NkT，由于配分函数是温度、体积的函数，可表示为q?q(T,V)或lnq?求得(?lnq?T)pf(T,V)，利用状态函数的全微分性质，

。

证明：对于理想气体，pV=NkT

∴H?U?pV?NkT2(?lnq?T)V?NkT

∵q是T，V的函数 ∴lnq?lnq(T,V) ∴dlnq?(∴(?lnq?T)p?lnq)TdV

?T?V?lnq?lnq?V?()V?()T()p ?T?V?T)VdT?(?lnq对于理想气体

Nk??V????p??T?p

配分函数中只有平动配分函数与V有关

qt?(2?mkT)h332?V1V

)V?1V?Nkp?(?lnq?T)V?1T∴(∴(?lnq?V)T??lnq?T)p?(?lnq?T

240

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∴(∴H?lnq?T)V?(2?lnq?T)p?1T1T

2?NkT{(?lnq?T)p?}?NkT?NkT(?lnq?T)p

13、试计算150℃时某分子的转动特征温度?r，转动配分函数qr,qr0，振动特征温度?v，振动配分函数

qv,qv0。已知该分子的

I=42.70×10-48kg·m2，?=66.85×1012 s-1，?=1。 解题思路：依据?r?h228?Ik,?v?h?k以及转动配分函数和振动配分函数

的表达式，比较容易地计算出结果来。 解

：

∵

?r?

h228?Ik?(6.626?108?(3.14)?42.70?102?48?34J?s)22?23kg?m?1.381?10J

?9.439K

(150?273.15)K1?9.439K?44.83qr?T∴

0r??r?

q?qr?44.83∵

?v?

qv?eh?k?6.626?10?34J?s?66.85?10?2312s?11.381?10J?K?1?3207.4K1?v2T?e??v?2T1exp{3207.4K2?(150?273.15)K}?exp{?3207.4K2?(150?273.15)K}241

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?0.0226

11?e??vT

qv?0?1?exp{?13207.4K(150?273.15)K}?1.000 514、利用统计热力学方法推导出单原子理想气体的CV,m?32R

解题思路：单原子理想气体的运动形式只考虑平动，依据热力学能和

摩尔定容热容的表达式，即可推导出表达式。

解：对单原子理想气体

?2?mkT?2q?qt???V2?h?3??lnqt?U?NkT???NkT2??T?V23

CV,m33??Um?????Lk?R22??T?V

15、在25℃，101.325kPa下，有1摩尔的HCl和1摩尔的N2，二者均可认为是理想气体，试计算二者的平动熵之差。

解题思路：本题主要应用平动配分函数的表达式和熵的表达式，在计算过程中，HCl和N2两气体分子的一些相同项会抵消掉，才能得出所求结果来。 解：平动配分函数

?2?mkT?2qt???V2h??3

对于HCl和N2， V(HCl)= V(N2)

M(HCl ) = 36.46 g·mol-1 M(N2) = 28.00 g·mol-1

242

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Ut(HCl) = Ut(N2)

?Sm,t?HCl??Sm,t?N2?

?Ut(HCl)T?Lk}?{Lklnqt(N2)L?Ut(N2)T?Lk}

?{Lklnqt(HCl)L?Rlnqt(HCl)qt(N2)

?32RlnM(HCl)M(N2)?32Rlnm(HCl)m(N2)

?1?1?32?8.314J?mol?1?1?K?1?1?ln36.46g?mol28.00g?mol

?3.292J?mol?K

由此可见在同等条件下，相对分子质量大的气体分子的平动熵要比相对分子质量小的气体分子的熵来得大。 18、证明

（1）(（2）(?ln??V?ln??U)N,U?)N,V?pkT1kT

解题思路：这是一道热力学演绎法练习，由偏微商下标来看，似乎应由热力学基本方程dU=TdS-pdV和玻耳兹曼熵定理S=kln?入手，建立ln?与U，V的关系。

证明（1）?dU ?(?S?V?TdS?pdVpT dS?1TdU?pTdV

)N,U?

而S=kln? ?(?ln??V?1T)N,U?dU?pkTpT

dV （2）?dS

243

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gt62.html