(2015)圆的有关性质练习及答案

圆的有关性质

【知识要点】 1．圆的定义：

（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 （2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：

2.圆的相关概念

弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：

3.垂径定理及推论：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：

(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

6．圆心角、弧、弦关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.

（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补

【基础和能力训练】 一、选择题

1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰

2.（2014?毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3

3. （ 2014?珠海）如图，线段AB是⊙O的直径， 弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120°

4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A、50° B、80° C、100° D、130°

O BAD C5.（2015上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）

A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D∠OCA＝∠OCB．

6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点P必（ ） A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等 C．三等分弧AB D.到点B和点C的距离相等 ° °

O 7．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ ）度

A 10 B 15 C 25 D 30

8．下列语句中正确的有（ ）

①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 1

9．A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°（2015湖北荆州）如图，，则∠BAO的度数是（ ）

A． 55° B．60° C． 65° D． 70°

10．（2015?甘肃兰州,）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=

A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

#11．（2015?威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A．68° B．88° C．90° D．112°

#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）． A．(4?5) B．9 C 45 D．62 16．AB是⊙O的直径，（2015?江苏徐州）如图，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm

17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于

18．（2015?江苏泰州,）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°. ，则∠BOD等于__________°

19. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______°.

20．(2015·贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝ 米．

21．（2015?浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 m

22．（2014?菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点 C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E， 则的度数为 P

二．填空

13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________.

14．(2015?江苏南昌,)如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长

,∠B=30°线交AB于点D,∠A=50°则∠ADC的度数为 .

15．(2015?江苏南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= _ ．

C

D B

O

A 23．如图⊙O中，弦AB，DC的延长线相交于点P，如果

?AOD?120?，?BDC?25?，那么?P?

2

三 解答题

24．AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.

25.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD 求证：∠AKD=∠CKF；

26． 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是2、3， 求∠BAC的度数的多少

27．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E． （1）求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CE；

29．（2015?浙江滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长.

3

四、附加题

30．. (2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

30. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.

(1)求证：△DOE是等边三角形. (2)若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 解：（1）∵△BAC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵OD=OB=OE=OC，

∴△OBD和△OEC都是等边三角形． ∴∠BOD=∠COE=60°． ∴∠DOE=60°．

∴△ODE是等边三角形． （2）结论（1）仍成立． 证明：连接CD， ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°． ∴∠ADC=90°． ∵∠A=60°， ∴∠ACD=30°．

∴∠DOE=2∠ACD=60°． ∵OD=OE，

∴△ODE是等边三角形．

32.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF (2) 若AD=2，圆O的半径为3，求BC的长

证明：(1)连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC ∵C是弧BD的中点 ∴弧BC=弧CD ∴∠BAC=∠CBF ∴∠CBF=∠BCF ∴BF=CF

(2) 连接OC，交BD于点M ∵C是弧BD的中点 ∴OC⊥BD

则OM=1/2AD =1 ∴CM =2

根据勾股定理BD=4√2 ∴BM=2√2 ∵CM=2 ∴BC=2√3

33．已知：等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD． （1）若AP过圆心O，如左图，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

△PDC又是什么三角形？（2）若AP不过圆心O，如右图，

为什么？

解：（1）∵△ABC为等腰三角形， ∴AC=BC，∠BAC=60°， ∵AP过圆心O，

∴AP平分∠CAB，AP为直径， ∴∠CAP=30°，∠ACP=90°， ∴CP=AP=×10=5（cm）， 在△CAP和△CBD中 ∵，

∴△CAP≌△CBD， ∴CP=CD，

∵∠CPD=∠CAB=60°， ∴△PCD为等边三角形， ∴CD=PC=5cm；

(2)先证△APC≌△BDC(过程同上) ∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60° ∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC ∴∠CPD=∠BCP+∠PBC =∠BAP+∠PAC=60° ∵PC=DC

∴△PDC为等边三角形． 4

圆的有关性质

【知识要点】 1．圆的定义：

（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 （2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：

2.圆的相关概念

弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：

3.垂径定理及推论：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：

(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

6．圆心角、弧、弦关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.

（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补

【基础和能力训练】 一、选择题

1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ C ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰

2.（2014?毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ B ） A 6 B 5 C 4 D 3

4. （ 2014?珠海）如图，线段AB是⊙O的直径， 弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ C ） A 160° B 150° C 140° D 120°

4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ D ） A、50° B、80° C、100° D、130°

O BAD C5.（2015上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ B ）

A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D∠OCA＝∠OCB．

6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点P必（ A ） A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等 C．三等分弧AB D. 到点B和点C的距离相等 ° °

O 7．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ B）度

A 10 B 15 C 25 D 30

8．下列语句中正确的有（ C ）

①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 5

9．A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°（2015湖北荆州）如图，，则∠BAO的度数是（ C ）

A． 55° B．60° C． 65° D． 70°

10．（2015?兰州,）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=(B )

A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

#11．（2015?威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ B ） A．68° B．88° C．90° D．112°

#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ C ）． A．(4?5) B．9 C 45 D．62 ∠BAC等于 60°

18．（2015?江苏泰州,）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°. ，则∠BOD等于___130°_______°

19. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=___60°___°.

20．(2015·贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝ 25 米．

21．（2015?浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 16 m

22．（2014?菏泽）如图，在△ABC中∠A=25°，以点 C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E， 则的度数为 50°

P C

D B O A

23．如图⊙O中，弦AB，DC的延长线相交于点P，如果

二．填空

13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是___2.5或6.5cm______.

14．(2015?江苏南昌,)如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长

,∠B=30°则∠ADC的度数为 线交AB于点D,∠A=50°

110° .

15．(2015?江苏南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= _215°． 16．AB是⊙O的直径，（2015?江苏徐州）如图，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 4 cm

17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则

?AOD?120?，?BDC?25?，那么?P? 35°

三 解答题

24．AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.

6

25.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD 求证：∠AKD=∠CKF；

证明：连接AD、AC．

∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角， ∴∠CKF+∠AKC=180°， ∠AKC+∠ADC=180° ∴∠CKF=∠ADC；

∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，= BC

∴∠ADC=∠AKD， ∴∠AKD=∠CKF；

26． 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是2、3， 求∠BAC的度数的多少

27．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E． （1）求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CE；

解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°．

（2）证明：连接AG，

∵AB为直径，

且AB⊥CG， ∴AC=AG， 又∵AC=CF， ∴AG=CF，

∴∠ACG=∠CAF， ∴AE=CE．

29．（2015?浙江滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长.

（2）连接OD.

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD， ∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD=45° 在Rt△ABD中，BD=

.

7

四、附加题

29. (2014年天津市)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

∴∠BOD=∠COE=60°．

∴∠DOE=60°．

∴△ODE是等边三角形．

（2）结论（1）仍成立． 证明：连接CD， ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°． ∴∠ADC=90°． ∵∠A=60°， ∴∠ACD=30°．

∴∠DOE=2∠ACD=60°． ∵OD=OE，

∴△ODE是等边三角形．

28.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF (2)若CD=6，AC=8，求圆O的半径和CE的长

证明：

连接AC，则∠ACB=90°，易证∠BCF=∠BAC ∵C是弧BD的中点 ∴弧BC=弧CD ∴∠BAC=∠CBF ∴∠CBF=∠BCF ∴BF=CF

连接OC，交BD于点M ∵C是弧BD的中点 ∴OC⊥BD

则OM=1/2AD =1 ∴CM =2

根据勾股定理BD=4√2 ∴BM=2√2 ∵CM=2 ∴BC=2√3

30．已知：等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD． （1）若AP过圆心O，如左图，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

△PDC又是什么三角形？（2）若AP不过圆心O，如右图，

为什么？

(1)∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC， 又∵在⊙O中

∠PAC=∠DBC∵AP=BD ∴△APC≌△BDC． ∴PC=DC 又∵AP过圆心O，AB=AC， ∠BAC=60°∴∠BAP=1/2∠PAC=∠BAC=3O° ∴BAP=∠BCP=30°， 8

27. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O

交AB、AC于D、E.

(2)求证：△DOE是等边三角形. (2)若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

解：（1）∵△BAC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵OD=OB=OE=OC，

∴△OBD和△OEC都是等边三角形．

∠PBC=∠PAC=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60° ∴△PDC为等边三角形

(2)先证△APC≌△BDC(过程同上) ∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60° ∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC ∴∠CPD=∠BCP+∠PBC =∠BAP+∠PAC=60° ∵PC=DC

∴△PDC为等边三角形．

31．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC?BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE?CD． （1）求证：AE?BD；

（2）若AC?BC，求证：AD?BD?2CD． 证明：

（1）∵CA=CB，

∴弧CA=弧CB， ∠CDE=∠CAB 又∵CE=CD，CA=CB，

∴∠ACB=∠ECD, ∠ECA=∠DCB又∵，CE=CD,CA=CB， ∴△CAE≌△CBD（SAS） ∴AE=BD,

(2)由（1）AE=BD,∴AD+BD=AD+AE=DE ∠ACB=∠ECD=90°，即为等腰RT△CED ∴AD+BD=AD+AE=DE ∴AD?BD?2CD

，

1.如图，已知CA=CB=CD,过三点A,C,D的⊙o交AB于点F.求证：CF平分角BCD

证明：连接AD， ∵CA=CD， ∴∠D=∠CAD． ∵∠D=∠CFA， ∴∠CAD=∠CFA． ∵∠CFA=∠B+∠FCB，

∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB． ∵CA=CB， ∴∠CAF=∠B， ∴∠FAD=∠FCB， ∵∠FAD=∠FCD， ∴∠FCB=∠FCD， ∴CF平分∠BCD．

2.如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC 求证：（1）CD⊥DF； （2）BC=2CD

令∠CFD=x,则∠BAD=∠BFC=2x

∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°-2x 又AB=AD，有图中∠1=∠2，即有∠1=∠2=90°-x ∴△CDF中，∠CFD+∠1=x+(90°-x)=90° ∴∠CDF=90°，即CD⊥DF (2)过F做FG垂直BC 因为∠ACB=∠ADB 又∠BFC=∠BAD

所以∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB 则FB=FC

所以FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=1/2∠BAD=∠DFC 9

证明三角形FGC全等于三角形DFC

（∠GFC=∠DFC,FC=FC,∠ACB=∠ACD） 所以CD=GC=1/2BC BC=2CD

31、如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CE平分 ∠DCO，交⊙O于E，弧AE=弧EB 10

求证： CD⊥AB

AC

DOBE

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC=∵AD平分∠CAB，∴

=

=

，∴CD=BD．

=8．

24．如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?

25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E． （1）求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CE；

(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2， ∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°， ∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD． ∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．

26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC?BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE?CD． （1）求证：AE?BD；

（2）若AC?BC，求证：AD?BD?2CD

证明：（1）因为CA=CB，

所以弧CA=弧CB，所以∠CDE=∠CAB 又因为CE=CD，CA=CB， ∠ACB=∠ECD,∠ECA=∠DCB又因为，CE=CD,CA=CB， 所以△CAE全等于△CBD（SAS） 所以AE=BD,

(2)由（1）AE=BD,所以AD+BD=AD+AE=DE ∠ACB=∠ECD=90°，即为等腰RT△CED AD+BD=AD+AE=DE=根号2CD 11

，

27．已知：等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD． （1）若AP过圆心O，如左图，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

△PDC又是什么三角形？（2）若AP不过圆心O，如右图，

为什么？

(2)∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC，又∵在⊙O中

∠PAC=∠DBC∵AP=BD ∴△APC≌△BDC．∴PC=DC 又∵AP过圆心O，AB=AC， ∠BAC=60°∴∠BAP=1/2∠PAC=∠BAC=3O° ∴BAP=∠BCP=30°， ∠PBC=∠PAC=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60° ∴△PDC为等边三角形 ．(2)先证△APC≌△BDC(过程同上) ∴PC=DC∵∠BAP+∠PAC=60° ∵∠BAP=∠BCP∠PAC=∠PBC

∴∠CPD=∠BCP+∠PBC=∠BAP+∠PAC=60° ∵PC=DC

∴△PDC为等边三角形．

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四、附加题

28.如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

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2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线： （2）若BF=8，DF=

，求⊙O的半径r．

31、如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA的长．

（1）解：连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴弧BC与弧AC的度数为：60°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC， ∴BC=CP， ∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵点B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切线．

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解答： （1）证明： 连接OA、OD， ∵D为弧BE的中点， ∴OD⊥BC， ∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=AF，OA=OD， ∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D， ∵∠CFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠CAF=90°， ∴OA⊥AC， ∵OA为半径， ∴AC是⊙O切线； （2）解：∵⊙O半径是r， 当F在半径OE上时， ∴OD=r，OF=8﹣r， 在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2， r=，r=（舍去）； 当F在半径OB上时， ∴OD=r，OF=r﹣8， 在Rt△DOF中，r2+（r﹣8）2=（）2， r=，r=（舍去）； 即⊙O的半径r为． （1）证明：连结OC，如图， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2，

∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=

DF=

，

∵AF∥CG，

∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，

∴AG=2

．

在Rt△ABC中，∠C?90°，AC?4，BC?，2分别以AC.BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留?）

B

A

C

解：如图

阴影部分面积=阴影1+阴影3+阴影5 大半圆的面积=阴影1+空白2+阴影3=2π 小半圆的面积=阴影3+空白4+阴影5=0.5π 三角形的面积=空白2+阴影3+空白4=4 所以有

阴影部分面积=大半圆的面积+小半圆的面积-三角形的面积=1.5π-4

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# 24. 如图，AB是圆O的直径AB=2,OC是圆O半径OC垂直AB点D在弧AC上，弧AD=2弧CD,P是OC上的动点， 则AP+PD最小值是

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