§1.3 函数的基本性质

§1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．

1．函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．

(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________． 2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________． 3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．

1

4．函数y＝的单调递减区间为__________________．

x

一、选择题

1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f(0)＝1； ②f(－1)＝1；

③若x>0，则f(x)<0；

④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( ) A．②③ B．①④ C．②④ D．①③

2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1f(x2) D．以上都可能 3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( ) A．至少有一个根 B．至多有一个根 C．无实根 D．必有唯一的实根 4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( ) A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减

5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )

f?x1?－f?x2?A.>0 x1－x2

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)

x1－x2D.>0 f?x1?－f?x2?

6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( ) A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1]

题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题

7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．

8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________. 三、解答题

9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a

11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．

能力提升

12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1)试求f(0)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．

13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值；

(2)解不等式f(m－2)≤3.

1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．

12．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0， x1＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数． x3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性． 4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤： 即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤． 若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”． §1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

知识梳理

1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞) 作业设计 1．B

2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．] 3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，

∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0， ②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，

由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]

4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]

5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1

6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．] 7．m>0

解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0. 8．－3

m2m2

解析 f(x)＝2(x－)＋3－，

48

m

由题意＝2，∴m＝8.

4

∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 9．解 y＝－x2＋2|x|＋3

22???－x＋2x＋3 ?x≥0??－?x－1?＋4 ?x≥0?＝?2＝?. 2

??－x－2x＋3 ?x<0?－?x＋1?＋4 ?x<0???函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．

∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 10．证明 设a

∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)

且a

∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．

11．解 函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下：

任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

2则f(x2)－f(x1)＝x2－1－x21－1

22x2－x1?x2－x1??x2＋x1?

＝2＝. 22x2－1＋x2－1x－1＋x－1121∵1≤x1

2∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x1－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中， 令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2)函数f(x)在R上单调递减． 任取x1，x2∈R，且设x1

则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)， 由于x2－x1>0，所以0

1

当x>0时，01>0，

f?x?

又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，

即f(x2)

(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)． ∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数， ?m－2≥2?∴?，解得m≥4. ??m－2>0

∴不等式的解集为{m|m≥4}．

第2课时 函数的最大(小)值

课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．

1．函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (3)对于任意的x∈I，都有__________． 条件 (1)对于任意的x∈I，都有__________． (4)存在x0∈I，使得__________． (2)存在x0∈I，使得__________. 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 2.函数最值与单调性的联系 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．

一、选择题

1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 2．函数y＝x＋2x－1( )

1

A．有最小值，无最大值

21

B．有最大值，无最小值

21

C．有最小值，最大值2

2

D．无最大值，也无最小值 3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2]

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( ) A．f(－2)

1

6．函数f(x)＝的最大值是( )

1－x?1－x?

45A. B. 54

34C. D. 43题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题

2

7．函数y＝的值域是________．

|x|＋1

8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a

2

9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．

x

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.

1

(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；

2

(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．

11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)

B．有最大值3，无最小值

C．有最大值7－27，无最小值 D．无最大值，也无最小值

13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R. (1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

1．函数的最大(小)值 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解． (2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式． 拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下： 最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min. 2．函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有 1最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． x(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)． 3．二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

第2课时 函数的最大(小)值

知识梳理

1．(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M 2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b) 作业设计

1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)， 解得a≤－3.]

1

2．A [∵y＝x＋2x－1在定义域[，＋∞)上是增函数，

2

111

∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]

222

2

3．D [由y＝x－2x＋3＝(x－1)2＋2知， 当x＝1时，y的最小值为2，

当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.

由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]

1

4．D [依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋

21

c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增

2

区间，

所以f(1)

－4 ?x≥3???

5．C [y＝|x－3|－|x＋1|＝?－2x＋2 ?－1≤x<3?.

??4 ?x<－1?因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，

所以－4

14

6．D [f(x)＝≤.] 133?x－?2＋

24

7．(0,2]

解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值， 所以当x＝0时，y的最大值为2，即0

解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9， 得b＝0(b＝6不合题意，舍去)

－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)． 9．2

2

解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，

x2

故ymax＝－＝2.

－1

1

10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，

2

15

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，

24

所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，

1

即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.

2

(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2， m＋2m＋2∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.

22

故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1， ∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x， ???2a＝2?a＝1∴?，∴?，∴f(x)＝x2－x＋1. ???a＋b＝0?b＝－1

(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立， 即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．

35

令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，

24

3

其对称轴为x＝，

2

∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.

12．C [画图得到F(x)的图象： 射线AC、抛物线?AB及射线BD三段，

??y＝2x＋3，

联立方程组? 2

?y＝x－2x，?

得xA＝2－7，

代入得F(x)的最大值为7－27， 由图可得F(x)无最小值，从而选C.]

2??x＋x＋1， x<0

13．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－|x|＋1＝?2.

?x－x＋1， x≥0?

2

作图(如右所示)．

(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数， g(a)＝f(2)＝－3.

11

若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，

2a4a

1

f(x)图象的对称轴是直线x＝. 2a

11

当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，

2a2g(a)＝f(1)＝3a－2.

111

当1≤≤2，即≤a≤时，

2a4211

g(a)＝f()＝2a－－1，

2a4a11

当>2，即0

??111

综上可得g(a)＝?2a－4a－1， 4≤a≤2

??3a－2， a>12

16a－3， 0≤a<4

.

1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念

课时目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．

1．函数奇偶性的概念

(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数．

2．奇、偶函数的图象

(1)偶函数的图象关于______对称． (2)奇函数的图象关于______对称．

3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．

一、选择题

1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A．f(－x)＋f(x)＝0

B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(x)·f(－x)≤0 f?x?D.＝－1 f?－x?

3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确的命题个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

1

4．函数f(x)＝－x的图象关于( )

x

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2 6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是( ) ．．．A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称 B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称 C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立 D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题

7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________________________________.

8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．

9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________. 三、解答题

10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3，x∈R；

(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]； (3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|； 1－x， x>0，??

(4)f(x)＝?0， x＝0，

??x2－1， x<0.

2

－x＋2x ?x>0???

11．已知奇函数f(x)＝?0 ?x＝0?

??x2＋mx ?x<0?

2

.

(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

能力提升

57

12．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是

22

____________________________． 13．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．

(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性．

1．函数奇偶性

(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．

(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质． (3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数． 2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系

(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．

(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．

1．3.2 奇偶性

第1课时 奇偶性的概念

知识梳理

1．(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意 f(－x)＝－f(x) 2．(1)y轴 (2)原点 作业设计

1．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．

又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．] 2．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确， 因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确． 当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]

1

3．A [函数y＝2是偶函数，但不与y轴相交，故①错；

x

1

函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；

x

函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]

4．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，

1

都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，

x1

∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]

x

5．C [∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)， 即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]

6．C [由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.] 7．2

解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2. 8．(－2,0)∪(2,5]

解析 由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案． 9．0

解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1) ＝－f(1)＝－4，

∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0. 10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．

(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7 ＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，

∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)； 当x<0时f(x)＝x2－1，

此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2， ∴f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.

综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数．

11．解 (1)当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x， ∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2. y＝f(x)的图象如图所示． (2)由(1)知f(x) －x＋2x ?x>0???

＝?0 ?x＝0???x2＋2x ?x<0?

2

，

由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，

??a－2>－1要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需?，

?a－2≤1?

解得1

7512．f()

解析 因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上

75

是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，

22

7575∴f()

2222

13．解 (1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0； 令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)， ∴f(1)＝0.

(2)f(x)是奇函数． 因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，

而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，

∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)， 即f(x)为奇函数．

第2课时 奇偶性的应用

课时目标 1.巩固函数奇偶性概念.2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题．

1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝____.

2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是____函数，且有__________．

3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是______________．

一、选择题

1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)

2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)

A．f(－1)f(1)

3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( ) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)

D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定

f?x?－f?－x?

4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为

x

( )

A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)

5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )

A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5

6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于( ) A．{x|x>3，或－33，或x<－3} D．{x|0

7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.

8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________． 9．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________. 三、解答题

10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)

能力提升

12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数

C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数

13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明； (2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；

(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．

1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．

2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．

(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．

3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：

(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性． (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

第2课时 奇偶性的应用

知识梳理

1．0 2.增 最小值－M 3.增函数 作业设计

1．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)， 又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴f(2)

即f(π)>f(－3)>f(－2)．]

2．D [∵f(－3)＝f(3)， ∴f(3)

∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数． ∴f(0)>f(1)，故选D.]

3．A [f(x)是R上的偶函数， ∴f(－x1)＝f(x1)．

又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0， ∴f(－x2)＝f(x2)

f?x?－f?－x?f?x?

4．C [∵f(x)为奇函数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋

xx

∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－

f?x?

∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，

x

－1)∪(1，＋∞)．]

5．B [由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2) ＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5) ＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]

6．D [依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0； x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0. 由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，

从而找到满足条件的不等式的解集．] 7．－x2＋x＋1

解析 由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1， 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又∵f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1. 8．(－∞，0]

解析 因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1. ∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线． ∴f(x)的递增区间为(－∞，0]． 9．－13

解析 (整体思想)f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17?(a·57－5b)＝－15， ∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13. 10．解 由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)

又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数． －2≤1－m≤2??

∴?－2≤m≤2??1－m>m

－1≤m≤3

??－2≤m≤2，即?

1m

，

1

解得－1≤m<.

2

11．解 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f(x)在(0，＋∞)上递减．

17

∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，

4815

2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，

22

22

且f(2a＋a＋1)

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，

2

即3a－2>0，解得a>.

3

12．C [令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1， 解得f(0)＝－1.

令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1， 即f(－x)＋1＝－f(x)－1，

令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1， 即g(－x)＝－g(x)．

所以函数f(x)＋1为奇函数．]

13．解 (1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.

令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(x)＋f(－x)＝0，

即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数． (2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2， 得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．

设x1>x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0， 则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)0， 得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，

∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)， 又∵f(x)是R上的减函数， ∴kx2

即(k－1)x2＋x－2<0对于x∈R恒成立， ??k－1<07即?，故k<.

8?Δ＝1＋8?k－1?<0?

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