优化方案数学必修1(北师大版)第二章§5应用案巩固提升

[A 基础达标]

1

x＋2，x∈（0，2]，2

??

1．已知函数f(x)＝?0，x＝0，则f(x)为( )

1??2x－2，x∈[－2，0），

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

??

解析：选A.因为f(－x)＝?0，x＝0，

1?－?2x＋2，x∈[－2，0）

＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数．

1

2．函数f(x)＝－x的图像关于( )

xA．坐标原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称

D．直线y＝x对称

1

－x－2，x∈（0，2]，2

解析：选A.f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 1

f(－x)＝x－＝－f(x)为奇函数．

x

3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是递减的是( ) A．y＝x2

－

B．y＝x1

－

C．y＝x

2

D．y＝x

－2

13

解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y＝x和y＝x是偶函数，y＝x

2－1

和y＝x不是

－2

13

偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上是递增的，不合题意，y＝x间(0，＋∞)上是递减的，符合题意，故选A.

4．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则( )

在区

A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1

解析：选B.在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m＜1，n＜－1.

5．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－2，则不等式f(x)>－1的解集为( )

A．(1，＋∞)

B．(－2，0]∪(2，＋∞) C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－3，0]∪(1，＋∞)

解析：选D.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x＋2，当x＝0时，f(x)＝0，f(x)的图像如图，

所以f(x)>－1的解集为(－3，0]∪(1，＋∞)．

1

－2，－?，则满足f(x)＝27的x的值是________． 6．幂函数y＝f(x)的图像经过点?8??111

－2，－?代入y＝xα得－＝(－2)α，所以α＝－3，由x－3＝27，得x＝. 解析：将点?8??831

答案： 3

7．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 解析：因为y＝f(x)＋x2为奇函数，且x＝1时 f(1)＝1，

所以当x＝－1时，f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋1]， 所以f(－1)＝－3， 又因为g(x)＝f(x)＋2，

所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1. 答案：－1

8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)．

解析：由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)， 因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)． 所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数， 所以a<－b，即a＋b<0. 答案：<

9．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时的解析式为f(x)＝x2＋2. (1)求这个函数在R上的解析式；

(2)画出函数的图像并直接写出函数在R上的值域． 解：(1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 因为x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋2， 所以f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2， 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2，x<0，

又因为f(x)为奇函数，且x＝0时有定义，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. x＋2，x>0，??

综上所述，f(x)＝?0，x＝0，

??－x2－2，x<0.(2)图像如图所示：

2

由图像可得，函数f(x)的值域为(－∞，－2)∪{0}∪(2，＋∞)．

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有f（a）＋f（b）>0.

a＋b

(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；

(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为a>b，所以a－b>0， f（a）＋f（－b）

由题意得>0，

a－b所以f(a)＋f(－b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)，

所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数， 因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]．

[B 能力提升]

1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式为( )

A．y＝x(x－2) C．y＝|x|(x－2)

B．y＝x(|x|＋2) D．y＝x(|x|－2)

解析：选D.当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x. 又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，

2??x－2x，x≥0，

所以f(x)＝?2所以f(x)＝x(|x|－2)．

?－x－2x，x<0，?

2．若函数f(x)＝(x2－1)(－x2＋ax－b)的图像关于直线x＝2对称，则ab＝________． 解析：令f(x)＝0得(x2－1)(－x2＋ax－b)＝0得(±1，0)．其关于x＝2的对称点(3，0)，(5，0)也在f(x)的图像上，即x＝3，x＝5是方程－x2＋ax－b＝0的两个根，

??3＋5＝a，

所以?

?3×5＝b，?

所以ab＝8×15＝120. 答案：120

3．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数．

(1)求函数f(x)的解析式，并画出它的图像； (2)讨论函数g(x)＝af（x）－

b

(a，b∈R)的奇偶性．

xf（x）

解：(1)由幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数，得m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.

又m∈Z，得m＝0，1，2.

因为函数f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)是偶函数， 所以m2－2m－3是偶数．

将m＝0，1，2分别代入m2－2m－3检验，得m＝1. 所以f(x)＝x4.

－

f(x)＝x

－4

的图像如图所示．

(2)把f(x)＝x＝

－4

ba－3

代入g(x)的解析式，得g(x)＝ax4－－4＝2－bx(x≠0)，则g(－x)xx·x

aa33

－b(－x)＝2＋bx. 2x（－x）

所以当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数； 当a＝0，b≠0时，g(x)为奇函数； 当a≠0，b＝0时，g(x)为偶函数；

当a＝0，b＝0时，g(x)既为奇函数又为偶函数．

4．(选做题)已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若x，y∈[－1，1]，

x＋y≠0，有(x＋y)·[f(x)＋f(y)]>0.

(1)判断f(x)的单调性，并证明； 1

x＋?

解：(1)f(x)在[－1，1]上为增函数．证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1

－x1>0.

由题意(x2－x1)[f(x2)＋f(－x1)]>0，

因为f(x)为奇函数，所以(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在[－1，1]上是增函数．

－1≤x＋≤1，?2?

(2)由题意，?－1≤1－2x≤1，

1?x＋?2<1－2x，11

0，?. 所以0≤x<.故不等式的解集为??6?6

(3)由f(x)在[－1，1]上是递增的，得f(x)max＝f(1)＝1. 由题意，1≤m2－2am＋1，

即m2－2am≥0对任意a∈[－1，1]恒成立， 令g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1，1]，

?g（－1）＝2m＋m2≥0，?

? 2?g（1）＝－2m＋m≥0，?

1

所以m＝0或m≤－2或m≥2，

综上所述，m的取值范围为{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．

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