由一道排列组合题的错误解答引起的思考

突破：由一道排列组合题的错误

解答引起的思考

江苏省靖江职业高级中学 何纪龙

笔者日前在本校2010级单招班讲解中等职业学校国家审定教材修订版《数学》（2006年7月）第三册的第十七章“计数法”后面的“课内练习8”（P160页）中第一大题的第2小题：“将15本不同的书分给甲乙丙丁四个人，2人各得4本，1人得5本，1人得2本”时发现与其配套的《数学教学参考书》上的答案是：

c15?c11?c7，此答案存在明显的错误，这实际上就是我们平时所说的分组问题中

的“均等分组与非均等分组混合问题”，此类分配问题在本节是一个难点，许多同学在掌握上存在诸多的困难，那么如何突破这些难点呢？教师在向同学们讲授这方面知识的时候可采取对错辨析、对比讲解，归纳概括的教学方法，让同学们产生思维的冲突、升华，能自己够辨别哪些是无差异元素的分配问题，哪些是互异元素的分配问题，哪些是定向分配，哪些是非定向分配，以及各种情况的注意点，只有这样才能在解题中游刃有余、得心应手。

一、无差异元素的分配问题

1．每一个接受主体都必须接收的情况

例：将8个全国人大代表的名额分给5个市，每个市至少分得一个名额，问

445共有多少种方法？

分析：本题中8个人大代表属于8个无差异元素，接收主体是5个市，这5个市是属于必须接收的主体，这类问题如果采用分类法较繁琐，采用隔板法就简单多了。

解：将8个名额排成一排，中间有7个空隙，分给5个市就用4个隔板随机的插入7个空隙中，每一种插法对应一种方案则有c7中方法。

2．无需每个接收主体都必须接收的情况

例：将8个全国人大代表的名额分给5个市，（允许有的城市没有名额），问

4共有多少种方法？

分析：本题中8个人大代表属于8个无差异元素，接收主体是5个市，这5个市是属于不必须全接收的主体，这类问题也是采用隔板法来的简单，但不能简单的想象成上题那样。由于允许接收主体可以不接受被分配的元素，因此可以将

分配元素和接收主体排在一起用4块隔板来分隔，如果两块隔板之间有一个接收主体而没有分配元素就说明这个接收主体没有接收任何元素。反之，此接收主体就接收了分配元素。

解：将8个名额和5个市排成一排，中间有12个空隙，分给5个市就用4个隔板随机的插入12个空隙中，每一种插法对应一种方案则有c12中方法。

在使用隔板法解决无差异元素的分配问题的时候一定要分清对接收主体有没有限制的情况，否则很容易出现错误。通常情况下，n个无差异元素分配给m

Cm?1种方法；n

n?14个无差异元素分配给m个

n?1体（不必每一个接收主体都必须接收）则有Cm种。 ?n?1二、互异元素的分组问题

1．互异元素不均等分组

例：有10本不同的书：（1）甲1本，乙2本，丙3本，丁4本，（2）分成四堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，一堆4本，问：分别有多少种方法？

分析：这两题的题意大体上相同，每一组的所分配的元素都是各不相同的，只不过第一题对各接收主体的名称做了限制，而第二题没有限制，根据分步原理

12344C9C7C4，这里经常有同学还将第二个问题的答案再乘以A4，这答案均为：C10是错误的，因为一旦分成四堆之后不管怎么排列只能算一种情况。

2.互异元素均等分组

例：有12本不同的书：（1）平均分给甲乙丙丁四个人； （2）平均分成四份；

求各有多少种方法？

分析：第一题是定向接收的均等分组问题，第二题是非定向接收的均等分组问题，第一组指定了接收主体，相当于已经把甲乙丙丁固定在四个位置上，根据

3333C9C6C3，而第二题有的同学也做成跟上一分步原理，第一题的答案应该是：C12题的答案一样，这就错了，因为在没有指定接收主体的情况下，甲得A、B、C

三本书，乙得D、E、F三本书，丙得G、H、I三本书，丁得J、K、L三本书，与乙得A、B、C三本书应该是，甲得D、E、F三本书，丙得G、H、I三本书，丁

3333C9C6C3得J、K、L三本书等均属于平均分成四份中的同一种情况，因此答案C12是平均分成四份的总数再乘以这四份对四个位置的全排列数A44之后得到的答案，故第二题的答案应该是

C12C9C6C3A443333。

3．互异元素部分均等分组与部分非均等分组并存

例：有12本不同的书：（1）分给甲、乙两人各三本，丙一本，丁五本； （2）分成四份两份各三本，一份一本，一份五本

求各有多少种方法？

分析：第一题中甲乙二人各得3本属于部分均等分组，丙丁二人各得1本和5本属于非均等分组，而且此题具体到接收主体的名称属于定向分配，根据计数的

3315C9C6C5；第二题和第一题大致相同，不同的是第二题分步原理，答案应该是C12属于没有指定接收主体名称的非定向分组，因此结果还必须用第一题的答案再除

33152C9C6C5/A2。 以两个元素均等的组个数的全排列数，故答案应该是C124．互异元素的多个部分均等分组并存

例：有10本不同的书：（1）分给甲、乙两人各三本，丙二本，丁二本； （2）分成四份两份各三本，另两份各二本

求各有多少种方法？

分析：第一题中甲乙各分得三本丙丁各分得二本属于两个均等分组并存的情况，

3322C7C4C2，第二题而且都属于定向分配，因此根据计数的分步原理答案应该是C10属于非定向分组，因此还要再一一除以元素相同的组个数的全排列，否则答案就

332222C7C4C2/A2A2。 重复了，故第二题的答案是C10通常情况下，在计算互异元素的非定向均等分组分配问题时，根据计数的分步原理计算出结果之后还必须再除以元素相同的组个数的全排列。

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