2010-2011线性代数内招试卷A答案(1)

暨 南 大 学 考 试 试 卷

20_ 10 __ - 20_ 11 _ 学年度第__1__学期 教 课程名称：____ 线性代数 ____ 考试方式 师 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 填 授课教师姓名：____ ______________ 写 考试时间:__2011___年___1___月___19___日 试卷类别(A、B) [ A ] 共 7 页 课程类别 必修[ √ ] 选修[ ] 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[√] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评阅人 101一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 1.已知行列式211?0，则x =___3___。 30x

2.设齐次线性方程组为x1?x2???xn?0，则它的基础解系所含向量个数为n-1 。

3.设4?4矩阵A?(?,?2,?3,?4), B?(?,?2,?3,?4)，其中 ?,?,?2,?3,?4均为4维列向量，且已知行列式A?4, B?1，则行列式A?B?____40___。

4.设A为n?n矩阵，且(A?I)2?O，则=___?(A?2I)____。

5.假设已知n (n?3)阶方阵A的伴随矩阵A*，且已知常数k?0，则

(kA)*?__kn?1A*______。

6.已知A为5?7矩阵，且r(A)?5，则A的列向量组线性 相关 。

7.设向量?, ?是相互正交的单位行向量，其中??分量非负，则??___

?22,22，?的第一个

??22,?22________。

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?暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

8.设A为n阶方阵，Ax?0有非零解，则A必有一个特征值为__0 。

19.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3，则B?1? 。

12

10.设f(x,y,z)?x2?4xy?ky2?z2为正定二次型，则实数k的取值范围是____k?4______。 得分 评阅人 二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）

x?30x12x211.设f(x)?，则x3项的系数为 （ D ）。

20xx312xA.-2 B.-4 C.-6 D.-10

2.设?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的解，?是对应的齐次方程组Ax?0的解，则Ax?b必有一个解是 （ D ）。

11A. ?1??2 B. ?1??2 C. ???1??2 D.???1??2

22

3.设向量组?1?(1,a,a2),?2?(1,b,b2),?3?(1,c,c2)，则?1,?2,?3线性相关的充分必要条件是 （ A ）。

A. a,b,c不全相等 B. a,b,c互不相等 C. a,b,c全不为0 D. a,b,c不全为0

a22a23??a11a12a13??a21????a12a13?，另有矩阵4.设矩阵A??a21a22a23?，B??a11?a??a?a??31a32a33??3111a32?a12a33?a13??010??100?????P00?, P2??010?，则必有 （ C ）。 1??1?001??101?????A.APPB.AP2PC.PP D.P2P12?B 1?B 12A?B 1A?B

?211???7.已知??(k,1,1)T是矩阵A??121?的特征向量，则k? （ B ）。

?112???A. 1或2 B.1或-2 C.-1或-2 D. -1或2

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暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

得分 评阅人 三、计算题（共4小题，每小题8分，共32分）

21111．设D?12111121，Aij (i,j?1,2,3,4)表示其第i行第j列元素的代数余子1112式，试求A11?A12?A13?A14。

解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

11111111 A12110100

11?A12?A13?A14?1121?0010?1 11120001

（该题也可直接利用代数余子式的方法求解）

??1?????1????0?????1?????2?2．设向量组??1???2?，?136?1???，?23???，?4??? ，?0??1??1??5???，求：

?0?????1?????1????2??1????4??1??（1）该向量组的秩；

（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。 解 作矩阵A???1?2?3?4?5?，对A作初等行变换，化A为阶梯形矩阵 A???1?2?3?4?5? ??1?10?1?2??1?10?1?2?r3?(?1)r2?1?0?1 ???12136?12 ????01124?1r2?r1?r4?r2??01?01124?~?01~?0000

?0?1?111???124??0?1?111????0003??10101/3?（1） 因此A的秩r(A)?3，

~?01102/3????00015/3?（2） 该向量组的极大无关组为?1,?2,?4，

?00000?? ?3??1??2 ?5?1/3?1?2/3?2?5/3?4

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?2?4??0?5??暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

223．将二次型f(x1,x2,x3)??x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3化为标准形，并写出相应的非退化（可逆）线性变换。 解 方法一（配方法）

22f(x1,x2,x3)??x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3

??(x1?2x2?2x3)2?3(x2?令

2252x3)?x3 33

?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2?2/3y3??22??，即所作非退化线性变换为?x2?y2?y3 ?y2?x2?x333?????y3?x3?x3?y3522?y3可将原二次型化为标准形f(y1,y2,y3)??y12?3y2 3方法二（正交变换法）

2???12??二次型所对应的二次型矩阵为A??2?1?2?，其特征方程为

?2?2?1????2????1?2?2?I?A???2??12?(??1)(??5)?0 ????22??1???因此A的特征值为?1??2?1, ?3??5

当?1??2?1时，(?I?A)x?0的基础解系为?1?(1,1,0)，?2?(1,0,1) 将其正交化、单位化后得?1?(22666,,0)，?2?(,?,) 22663当?3??5时，(?I?A)x?0的基础解系为?3?(?1,1,1) 单位化后得?3?(?令正交矩阵Q???1型化为标准形

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22 f(y1,y2,y3)?y12?y2?5y3333,,) 333?2?3?，则通过非退化的线性变换x?Qy，可将二次

暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

?123???4．已知矩阵A??212?，且A2?AB?I，求矩阵B。

?133???解 因为A2?AB?I，则

AB?A2?I

B?A?1(A2?I)?A?A?1

（注：A?1的求解可利用伴随矩阵法或初等变换法，以下利用伴随矩阵求解）

123123123

?3?4A?212?0?3?4?0?3?4??4?0,所以A可逆 10 133010010

2221 A?12??3,?A????4,A??5,111213331313

同理可求得A21?3,A22?0,A23??1,A31?1,A32?4,A33??3.

??331? ?A11A21A31??1 ?A?1?A?1?A12A22A32????404?.????4AA???A?

?5?1?3??13A23A33?

?7511?1?? 则B?A?A?1??1244?.

4????11315?

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暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

得分 评阅人 四、计算题（共2小题，每小题11分，共22分）

?310???1．已知实对称矩阵A??130?

?004???(1)求A的全部特征值和特征向量；

（2）求正交矩阵Q，使Q?1AQ为对角矩阵。 解（1）矩阵A的特征方程为

??3 ?I?A??10?100?(??4)(?2?6??8)?(??2)(??4)2?0.

??30??4因此A的全部特征值为?1??2?4, ?3?2

当?1??2?4时，(?I?A)x?0的基础解系为?1?(1,1,0)，?2?(0,0,1) 因此和特征值?1??2?4对应的全部特征向量为k1?1?k2?2（k1,k2不全为零） 当?3?2时，(?I?A)x?0的基础解系为?3?(?1,1,0) 因此和特征值?3?2对应的全部特征向量为k3?3（k3不为零） （2）

将?1?(1,1,0)，?2?(0,0,1)正交化、单位化后得

?1?(22,,0)，?2?(0,0,1) 2222,,0) 22将?3?(?1,1,0)单位化后得?3?(?????令正交矩阵Q?(?1, ?2, ?3)????????400? ?1??QAQ??040?

?002???222200?012??2?2??1?，则QAQ为对角矩阵，且 2?0????第 6 页 共 8 页

暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号：

?x1?x2?2x3?3x4?1?x?3x?6x?x?3?12342．当a取何值时，线性方程组?有解？在方程组有解时，

x?5x?10x?x?5234?1??3x1?5x2?10x3?7x4?a用其导出组的基础解系表示方程组的通解。

解 令线性方程组的矩阵形式为Ax?b，先对其增广矩阵进行行变换 1??11231??1123 ????13613024?22???? (Ab)???1510?15??048?44? ????35107a024?2a?3??? ? 1?1??1123?1123???? 024?22012?11?????? ?0000a?5??0000a?5? ????0000000000????

所以，当且仅当a?5时方程组有解，特解??(0,1,0,0)T，其导出组的基础解系为?1?(0,?2,1,0)T, ?2?(?4,1,0,1)T，原方程组的全部解为??c1?1?c2?2（c1,c2为任意常数）

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暨南大学《线性代数》试卷A 卷 考生姓名、学号： 得分 评阅人 五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）

1． 设A为三阶方阵，有三个不同的特征值?1,?2,?3，对应的特征向量?1,?2,?3，

令???1??2??3，证明向量组?,A?,A2?线性无关。 证明 由已知可得

A???1?1??2?2??3?3，A2???12?1??22?2??32?3，

因此为证明向量组?,A?,A2?线性无关，只需证明向量组?1??2??3，

222??11??2?2??3?3，?1?1??2?2??3?3线性无关。

设l1??l2A??l3A2??0，则有

222l1(?1??2??3)?l2(??11??2?2??3?3)?l3(?1?1??2?2??3?3)?0，

即

(l1?l2?1?l3?12)?1?(l1?l2?2?l3?22)?2?(l1?l2?3?l3?32)?2?0 而由于向量组?1,?2,?3线性无关，所以得方程组

?l1?l2?1?l?32?10? ?l1?l2?2?l?32?20

?2l?l??l??123330?因为?1,?2,?3互不相等，故得l1?l2?l3?0，从而向量组?,A?,A2?也线性无关。

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