管理运筹学第三版习题答案（全）

第2章 线性规划的图解法

1．解： x2 5 `

A 1 B O 1 C 6 x1 (1) 可行域为OABC

(2) 等值线为图中虚线部分

(3) 由图可知，最优解为B点， 最优解：x1=2．解： x2 1

0.6

0.1 0 0.1 0.6 1 x1

(1) 由图解法可得有唯一解 (2) (3) (4) (5)

无可行解 无界解 无可行解 无穷多解

121569，x2?。最优目标函数值：

777x1?0.2x2?0.6，函数值为3.6。

369

20923(6) 有唯一解 ，函数值为。

83x2?3x1?3．解：

(1). 标准形式：

maxf?3x1?2x2?0s1?0s2?0s3 9x1?2x2?s1?30

3x1?2x2?s2?132x1?2x2?s3?9x1,x2,s1,s2,s3?0

(2). 标准形式：

minf?4x1?6x2?0s1?0s2 3x1?x2?s1?6x1?2x2?s2?107x1?6x2?4x1,x2,s1,s2?0 (3). 标准形式：

'''minf?x1'?2x2?2x2?0s1?0s2

'''?3x1?5x2?5x2?s1?70

'''2x1'?5x2?5x2?503x?2x?2x?s2?30'''x1',x2,x2,s1,s2?0'1'2''2

4．解：

标准形式：

maxz?10x1?5x2?0s1?0s2 3x1?4x2?s1?9 5x1?2x2?s2?8

x1,x2,s1,s2?0 松弛变量（0，0） 最优解为 x1=1，x2=3/2.

370

5．解：

标准形式：

minf?11x1?8x2?0s1?0s2?0s3 10x1?2x2?s1?20

3x1?3x2?s2?184x1?9x2?s3?36x1,x2,s1,s2,s3?0

剩余变量（0.0.13） 最优解为 x1=1，x2=5.

6．解：

(1) 最优解为 x1=3，x2=7. (2) 1?c1?3 (3) 2?c2?6 (4)

x1?6x2?4

(5) 最优解为 x1=8，x2=0. (6) 不变化。因为当斜率?1??

7．解：

模型：

c11??,最优解不变,变化后斜率为1,所以最优解不变. c23maxz?500x1?400x2

2x1?3003x2?5402x1?2x1?4401.2x1?1.5x2?300x1,x2?0(1) x1?150，x2?70，即目标函数最优值是103000 (2) 2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量.

(3) 50，0，200，0。

(4) 在?0,500?变化，最优解不变。在400到正无穷变化，最优解不变. (5) 因为?

c1450????1,所以原来的最优产品组合不变. c2430371

8．解：

(1) 模型：minf?8xa?3xb

50xa?100xb?1200000

5xa?4xb?60000100xb?300000xa,xb?0

基金a,b分别为4000，10000,回报率为60000。 (2) 模型变为：maxz?5xa?4xb

50xa?100xb?1200000 100xb?300000

xa,xb?0 推导出：x1?18000 x2?3000，故基金a投资90万，基金b投资30万。

372

第3章 线性规划问题的计算机求解

1．解：

(1) x1?150，x2?70。目标函数最优值103000。

(2) 1，3车间的加工工时已使用完；2，4车间的加工工时没用完；没用完的加工工时数为

2车间330小时,4车间15小时. (3) 50，0，200，0

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。 (4) 3车间，因为增加的利润最大。

(5) 在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。 (6) 不变 因为在?0,500?的范围内。

(7) 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值

在?200,440?变化，对偶价格仍为50（同理解释其它约束条件）。 (8) 总利润增加了100×50=5000,最优产品组合不变。 (9) 不能，因为对偶价格发生变化。

2550??100% 1001005060(11) 不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和??100%，其

140140(10) 不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

最大利润为103000+50×50－60×200=93500元。

2．解：

(1) 4000，10000，62000

(2) 约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057； 约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；

约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

(3) 约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1200000；约束条件2的剩余变量是0，

表示投资回报率正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投资B基金的投资额为370000。 (4) 当c2不变时，c1在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当c1不变时，c2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。

(5) 约束条件1的右边值在?780000,1500000?变化，对偶价格仍为0.057（其它同理）。 (6) 不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

分之一百法则。

373

42??100%，理由见百4.253.6

3．解：

(1) 18000，3000，102000，153000

(2) 总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金b的投资额的剩余变量为

0，表示投资B基金的投资额正好为300000； (3) 总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；

基金b的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。 (4) c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

(5) 约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。 (6)

600000300000??100% 故对偶价格不变。

900000900000

4．解：

(1) x1?8.5，x2?1.5，x3?0，x4?0，最优目标函数18.5。

(2) 约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函

数分别提高2和3.5。

(3) 第3个，此时最优目标函数值为22。

(4) 在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 (5) 在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

5．解：

(1) 约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622； (2) x2目标函数系数提高到0.703，最优解中x2的取值可以大于零；

(3) 根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

12??100%，所以最优解不变；

14.583?1565(4) 因为??100% 根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价

30?9.189111.25?15格是否有变化。

374

第4章 线性规划在工商管理中的应用

1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。

设按14种方案下料的原材料的根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，模型如下：

表4-1 各种下料方式

2640mm 1770mm 1650mm 1440mm 1 2 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 0 1 0 4 1 0 0 1 5 0 3 0 0 6 0 2 1 0 7 0 2 0 1 8 0 1 2 0 9 0 1 1 1 10 0 1 0 2 11 0 0 3 0 12 0 0 2 1 13 14 0 0 1 2 0 0 0 3 min f＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4 ?80

x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10 ?350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13 ?420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ?10

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14 ?0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0，x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为300。

2．解：

从上午11时到下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次安排的临时工的人数, 模型如下：

min f＝16（x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11）

s．t． x1＋1 ?9 x1＋x2＋1 ?9 x1＋x2＋x3＋2 ?9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ?3 x2＋x3＋x4＋x5＋1 ?3 x3＋x4＋x5＋x6＋2 ?3 x4＋x5＋x6＋x7＋1 ?6 x5＋x6＋x7＋x8＋2 ?12 x6＋x7＋x8＋x9＋2 ?12 x7＋x8＋x9＋x10＋1 ?7 x8＋x9＋x10＋x11＋1?7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11 ? 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0，x10＝0，x11＝0

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最优值为320。

(1) 在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14

时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。

(2) 这是付给临时工的工资总额为80元，一共需要安排20个临时工的班次。

约束 松弛/剩余变量 对偶价格

------- ------------- -------- 1 0 -4 2 0 0 3 2 0 4 9 0 5 0 -4 6 5 0 7 0 0 8 0 0 9 0 -4 10 0 0 11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数 min f＝16（x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8）＋12（y1＋ y2＋ y3＋ y4＋ y5＋ y6＋ y7＋ y8

＋ y9）

s．t． x1＋y1＋1 ?9

x1＋x2＋y1＋ y2＋1 ?9

x1＋x2＋x3＋y1＋ y2＋ y3＋2 ?9 x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋ y3＋ y4＋2 ?3 x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋ y4＋ y5＋1 ?3 x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋ y5＋ y6＋2 ?3 x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋ y6＋ y7＋1 ?6 x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋ y7＋ y8＋2 ?12 x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2 ?12 x7＋x8＋y8＋y9＋1 ?7 x8＋y9＋1?7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9? 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝0，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝0，x8＝6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0 最优值为264。 安排如下：

在11：00－12：00安排8个三小时的班，在13：00－14：00安排1个三小时的班，

376

在15：00－16：00安排1个三小时的班，在17：00－18：00安排4个三小时的班，在18：00－19：00安排6个四小时的班。

总成本最小为264元，能比第一问节省：320-264=56元。

3．解：设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的 数学模型：

max z＝10 x1＋12x2＋14x3

s.t. x1＋1.5x2＋4x3?2000 2x1＋1.2x2＋x3?1000

x1 ? 200

x2?250 x3 ?100

x1，x2，x3 ?0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： x1＝200，x2＝250，x3＝100，最优值为6400。

(1) 在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200件，B 250件，C 100件，可使生产

获利最多。

(2) A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格

均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

4．解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型：

min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s．t． x11＋x12＋x21＋x22 ?2000 x11＋x12 ＝ x21＋x22 x11＋x21 ? 700 x12＋x22 ? 450 x11,x12,x21,x22 ? 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000 最优值为47500。

(1) 白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，

晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1000户，可使总调查费用最小。

(2) 白天调查的有孩子的家庭的费用在20到26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的

无孩子的家庭的费用在19到25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20到25元之间，总调查方案不会变化。

(3) 发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；

377

有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间，对偶价格不会变化；

无孩子家庭的最少调查数在负无穷到 1300之间，对偶价格不会变化。

5．解：设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：

min f＝2800x11＋4500x12＋6000x13＋7300x14＋2800x21＋4500x22＋6000x23＋2800x31＋

4500x32＋2800x41

s．t．x11 ? 15

x12＋x21 ? 10 x13＋x22＋x31? 20

x14＋x23＋x32＋x41 ?12 xij ? 0，i，j＝1，2，3，4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x11＝15，x12＝0，x13＝0，x14＝0，x21＝10，x22＝0，x23＝0，x31＝20，x32＝0，x41＝12， 最优值为159600。即 在一月份租用1500平方米一个月，在二月份租用1000平方米一 个月，在三月份租用2000平方米一个月，四月份租用1200平方米一个月，可使所付的 租借费最小。

6．解：设xij表示第i种类型的鸡需要第j种饲料的量，可建立下面的数学模型：

max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5（x11＋x21

＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）

s．t． x11 ? 0.5（x11＋x12＋x13） x12 ?0.2（x11＋x12＋x13） x21 ?0.3（x21＋x22＋x23） x23 ? 0.3（x21＋x22＋x23） x33 ? 0.5（x31＋x32＋x33） x11＋x21＋x31 ?30 x12＋x22＋x32 ?30 x13＋x23＋x33 ? 30 xij ? 0，i，j＝1，2，3

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0，x32＝20，x33＝20， 最优值为335。即生产雏鸡饲料50吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料40吨。

7．设Xi为第i 个月生产的产品I数量 Yi为第i 个月生产的产品II数量

Zi，Wi分别为第i 个月末产品I、II库存数

S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则可以

建立如下模型：

Min z=

?(5xi?15i?8yi)??(4.5xi?7yi)??(S1i?S2i)

i?6i?11212 378

s.t X1-10000=Z1 X2+Z1-10000=Z2 X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9 X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11X12+Z11-100000=Z12Y1-50000=W1 Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8

Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10

379

Y11+W10-50000=W11 Y12+W11-50000=W12 S1i?15000 1?i?12 Xi+Yi?120000 1?i?12 0.2Zi+0.4Wi?S1i?S2i 31?i?12

Xi?0,Yi?0,Zi?0,Wi?0,S1i?0,S2i?0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： 最优值为4910500

X1?10000,X2=10000,X3=10000,X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1=50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000

Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10=60000, Z11=30000;

S18=3000,S19=15000,S110?12000,S111?6000;S29?3000; 其余变量都等于0

8．解：设第i 个车间生产第j种型号产品的数量为xij,可以建立下面的数学模型：

max?25(x11?x21?x31?x41?x51)?20(x12?x32?x42?x52)?17(x13?x23?x43?x53) +11(x14?x24?x44)

s.t x11?x21?x31?x41?x51?1400 x12?x32?x42?x52?300 x12?x32?x42?x52?800 x13?x23?x43?x53?8000 x14?x24?x44?700

380

5x11?7x12?6x13?5x14?18000 6x21?3x23?3x24?15000 4x31?3x32?14000

3x41?2x42?4x43?2x44?12000 2x51?4x52?5x53?10000 xij?0,i?1,2,3,4,5 j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

**********************最优解如下*************************

目标函数最优值为 : 279400

变量 最优解 相差值 ------- -------- -------- x11 0 11 x21 0 26.4 x31 1400 0 x41 0 16.5 x51 0 5.28 x12 0 15.4 x32 800 0 x42 0 11 x52 0 10.56 x13 1000 0 x23 5000 0 x43 0 8.8 x53 2000 0 x14 2400 0 x24 0 2.2 x44 6000 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------- ------------- -------- 1 0 25 2 500 0 3 0 20 4 0 3.8 5 7700 0 6 0 2.2 7 0 4.4 8 6000 0

381

9 0 5.5 10 0 2.64 目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 ------- -------- -------- -------- x11 无下限 25 36 x21 无下限 25 51.4 x31 19.72 25 无上限 x41 无下限 25 41.5 x51 无下限 25 30.28 x12 无下限 20 35.4 x32 9.44 20 无上限 x42 无下限 20 31 x52 无下限 20 30.56 x13 13.2 17 19.2 x23 14.8 17 无上限 x43 无下限 17 25.8 x53 3.8 17 无上限 x14 9.167 11 14.167 x24 无下限 11 13.2 x44 6.6 11 无上限 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 ------- -------- -------- -------- 1 0 1400 2900 2 无下限 300 800 3 300 800 2800 4 7000 8000 10000 5 无下限 700 8400 6 6000 18000 无上限 7 9000 15000 18000 8 8000 14000 无上限 9 0 12000 无上限 10 0 10000 15000 即

x11?0,x12?0,x13?1000,x14?2400,x21?0,x23?5000,x24?0,x31?1400,x32?800,x41?0,x42?0,x43?0,x44?6000,x51?0, x52?0,x53?2000最优值为279400

（2）对5个车间的可用生产时间做灵敏度分析可以照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。

9．解：设第一个月正常生产x1,加班生产x2,库存x3;第二个月正常生产x4,加班生产x5,

382

库存x6;第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9;第四个月正常生产x10,加班

生产x11,可以建立下面的数学模型：

Min f=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9) s.t x1?4000 x4?4000 x7?4000 x10?4000

x3?1000

x6?1000 x9?1000 x2?1000 x5?1000 x8?1000 x11?1000 x1?x2?x3?4500 x3?x4?x5?x6?3000 x6?x7?x8?x9?5500 x9?x10?x11?4500

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11?0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： 最优值为f=3710000元

x1=4000吨，x2 =500吨，x3=0吨，x4=4000吨, x5=0吨

x6=1000吨, x7=4000吨, x8=500吨, x9=0吨, x10=4000吨，x11=500吨。

383

第5章 单纯形法

1．解：表中a、c、e、f是可行解，a、b、f是基本解，a、f是基本可行解。

2．解：

(1) 该线性规划的标准型为： max 5x1＋9x2＋0s1+0s2+0s3 s.t. 0.5x1＋x2＋s1＝8 x1＋x2－s2＝10

0.25x1＋0.5x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3 ≥0

(2) 有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。 (3) (4，6，0，0，－2)T (4) (0，10，－2，0，－1)T

(5) 不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 (6) 略 3．解：(1) 迭代次数 基变量 CB 0 0 0 x1 6 x2 30 1 2 [1] 0 30 x3 25 0 1 -1 0 25 s1 0 1 0 0 0 0 s2 0 0 1 0 0 0 s3 0 0 0 1 0 0 b 40 50 20 0 s1 3 0 2 0 6 s2 0 s3 zj cj?zj

(2) 线性规划模型为： max 6x1＋30x2＋25x3 s.t. 3x1＋x2＋s1=40 2x2＋x3＋s2=50

2x1＋x 2－x3＋s3＝20

x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥ 0

(3) 初始解的基为（s1，s2，s3）T，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的目标函数

值为0。

(4) 第一次迭代时，入基变量时x2，出基变量为s3。

4．解：最优解为（2.25，0）T，最优值为9。

384

4x1?2x2?9x1?3x2?7

单纯形法： 迭代次数 基变量 CB x1 4 x2 1 3 2 0 1 2.5 0.5 2 -1 s1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 s2 0 0 1 0 b s1 0 0 1 [4] 0 4 7 9 s2 0 zj cj?zj 0 -0.25 0.25 1 -1 4.75 2.25 s1 x1 1 0 4 0 1 4 0 zj cj?zj

5．解：

(1) 最优解为（2，5，4）T，最优值为84。 (2) 最优解为（0，0，4）T，最优值为-4。

6．解：有无界解

385

7．解：

(1) 无可行解

(2) 最优解为（4，4）T，最优值为28。 (3) 有无界解

(4) 最优解为（4，0，0）T，最优值为8。

386

第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶

1．解：

(1) c1≤24 (2) c2≥6 (3) cs2≤8

2．解：

(1) c1≥-0.5 (2) -2≤c3≤0 (3) cs2≤0.5

3．解：

(1) b1≥250 (2) 0≤b2≤50 (3) 0≤b3≤150

4．解：

(1) b1≥-4 (2) 0≤b2≤10 (3) b3≥4

5．解：

(1) 利润变动范围c1≤3，故当c1=2时最优解不变 (2) 根据材料的对偶价格为1判断，此做法不利 (3) 0≤b2≤45

(4) 最优解不变，故不需要修改生产计划

(5) 此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-3小于零，对原生产计划没有影响。

6．解：

均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。

7．解：

(1) min f= 10y1+20y2.

s.t. y1+y2≥2 y1+5y2≥1 y1+y2≥1

y1,y2≥0

(2) max z= 100y1+200y2. s.t. 1/2y1+4y2≤4

387

2y1+6y2≤4 2y1+3y2≤2 y1,y2≥0

8. 解：

(1) min f= -10y1+50y2+20y3.

s.t. -2y1+3y2+y3≥1 -3y1+y2 ≥2 -y1+y2+y3 =5

y1,y2≥0,y3没有非负限制。

(2) max z= 6y1-3y2+2y3.

s.t. y1-y2-y3≤1 2y1+y2+y3 =3 -3y1+2y2-y3≤-2 y1,y2≥0,y3没有非负限制

9．解：

maxz??x1?2x2?3x3??4??x1?x2?x3?x4??x1?x2?2x3?x5?8 ??x2?x3?x6??2??xj?0,j?1,?,6?用对偶单纯形法解 迭代次数 基变量 CB 0 0 0 x1 -1 x2 -2 1 1 -1 0 -2 -1 2 x3 -3 -1 2 1 0 -3 1 1 s1 0 1 0 0 0 0 -1 1 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 s3 0 0 0 1 0 b -4 8 -2 s1 [-1] 1 0 0 -1 s2 0 s3 zj cj?zj 0 0 0 4 4 x1 1 -1 0 1 0 s2 388

s3 zj cj?zj 0 0 -1 0 [-1] 1 -3 0 0 1 -2 0 1 -1 -2 0 3 -1 2 -5 0 1 -1 -1 1 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -2 0 -1 2 -1 3 -3 6 0 2 x1 s2 2 -1 0 -2 1 0 0 -1 0 x2 zj cj?zj

最优解:x1=6,x2=2,x3=0，目标函数最优值为10。

389

第7章 运输问题

1．

（1）此问题为产销平衡问题 1分厂 2分厂 3分厂 销量 最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19800 此问题的另外的解如下： 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为: 19800

（2）如果2分厂产量提高到600，则为产销不平衡问题

最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0

此运输问题的成本或收益为：19050 注释：总供应量多出总需求量 200 第1产地的剩余 50 第3 个产地剩余 150

（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题

甲 21 10 23 400 乙 17 15 21 250 丙 23 30 20 350 丁 25 19 22 200 产量 300 400 500 1200 390

最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19600 注释：总需求量多出总供应量 150

第1 个销地未被满足，缺少 100 第4 个销地未被满足，缺少 50 2．

首先，计算本题的利润模型 甲 乙 丙 丁 Ⅰ 0.3 0.3 0.05 -0.2 Ⅰ’ 0.3 0.3 0.05 -0.2 Ⅱ 0.4 0.1 0.05 0.3 Ⅱ’ 0.4 0.1 0.05 0.3 Ⅲ 0.3 -0.4 0.15 0.1 Ⅳ 0.4 0.2 0.05 -0.1 Ⅴ 0.1 -0.2 -0.05 -0.1 Ⅵ 0.9 0.6 0.55 0.1 由于目标函数是“max”，将目标函数变为“min”则以上利润模型变为以下模型： 甲 乙 丙 丁 Ⅰ -0.3 -0.3 -0.05 0.2 Ⅰ’ -0.3 -0.3 -0.05 0.2 Ⅱ -0.4 -0.1 -0.05 -0.3 Ⅱ’ -0.4 -0.1 -0.05 -0.3 Ⅲ -0.3 0.4 -0.15 -0.1 Ⅳ -0.4 -0.2 -0.05 0.1 Ⅴ -0.1 0.2 0.05 0.1 Ⅵ -0.9 -0.6 -0.55 -0.1

由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负，则将上表中的所有数值均加上1，因此上表就变为了以下模型： 甲 乙 丙 丁 Ⅰ 0.7 0.7 0.95 1.2 Ⅰ’ 0.7 0.7 0.95 1.2 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 0.7 Ⅱ’ 0.6 0.9 0.95 0.7 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 0.9 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 1.1 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 1.1 Ⅵ 0.1 0.4 0.45 0.9

加入产销量变为运输模型如下： 甲 乙 丙 Ⅰ 0.7 0.7 0.95 Ⅰ’ 0.7 0.7 0.95 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 Ⅱ’ 0.6 0.9 0.95 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 Ⅵ 产量 0.1 300 0.4 500 0.45 400 391

丁 销量 150 1.2 150 1.2 150 0.7 100 0.7 350 0.9 200 1.1 250 1.1 150 0.9 100 由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊，产量为200，模型如下表所示： 甲 乙 丙 丁 戊 销量 M 150 Ⅰ 0.7 0.7 0.95 1.2 0 150 Ⅰ’ 0.7 0.7 0.95 1.2 M 150 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 0.7 0 100 Ⅱ’ 0.6 0.9 0.95 0.7 0 350 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 0.9 0 200 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 1.1 M 250 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 1.1 0 150 Ⅵ 产量 0.1 300 0.4 500 0.45 400 0.9 100 200 1500

用管理运筹学软件计算得出结果如下：

由于计算过程中将表中的所有数值均加上1，因此应将这部分加上的值去掉，所以

，因此此利润问题的结果为935?1300?1??365。又因为最初将目标函数变为了“min”

365。

3．解：建立的运输模型如下： 0 1 1’ 2 2’ 3 3’

1 60 600 600+600×10% M M M M 2 120 600+60 600+600×10%+60 700 700+700×10% M M 392

3 180 600+60×2 600+600×10%+60×2 700+60 700+700×10%+60 650 650+650×10% 2 3 3 4 2 2 3

5 5 6 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 1 0 1 2 3 0 3 1 1 4 0 4 5 0 0 6 0 0 7 0 0 此运输问题的成本或收益为: 9665

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2

此问题的另外的解如下：

起 至 销点

发点 1 2 -------- ----- ----- 1 2 0 2 3 0 3 0 2 4 0 3 5 0 0 6 0 0 7 0 0 此运输问题的成本或收益为: 9665

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2

此问题的另外的解如下：

起 至 销点

发点 1 2 -------- ----- -----

0 0 0 0 2 3 3 ----- 0 0 0 1 0 2 3 3 -----

393

1 2 0 0 2 3 0 0 3 0 1 1 4 0 4 0 5 0 0 0 6 0 0 2 7 0 0 3 此运输问题的成本或收益为: 9665

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2

4．解： 甲 乙 A B C D

最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1100 0 300 200 0 0 2 0 1100 0 0 600 0 3 0 0 1100 0 0 0 4 0 0 0 1100 0 0 5 0 0 0 0 1000 100 6 0 0 0 0 0 1100

此运输问题的成本或收益为130000。

甲 0 80 150 200 180 240 1100 乙 100 0 80 210 60 170 1100 A 150 80 0 70 110 90 1400 B 200 210 60 0 130 50 1300 C 180 60 110 140 0 85 1600 D 240 170 80 50 90 0 1200 1600 1700 1100 1100 1100 1100 5．解：

建立的运输模型如下 ：

min f = 54x11+49x12+52x13+64x14+57x21+73x22+69x23+65x24 s.t. x11+x12+x13+x14≤1100, x21+x22+x23+x24≤1000, x11,x12,x13,x14, x21,x22,x23,x24≥0.

394

A B

1 54 57 500 2 49 73 300 3 52 69 550 4 64 61 650 1100 1000 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 2 250 0 0 650 此运输问题的成本或收益为: 110700

注释：总供应量多出总需求量 100 第2个产地剩余 100

6. 解：

(1) 最小元素法的初始解如下： 甲 乙 1 丙 销量 (2) 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 0 0 15 2 20 5 0 此运输问题的成本或收益为: 145

注释：总需求量多出总供应量 10

2 8 10 10 20 10 0 0 3 10 0 10 3 7 5 0 20 5 0 5 0 15 4 产量 15 0 9 25 15 5 0 10 0 395

第2个销地未被满足，缺少 5 第3个销地未被满足，缺少 5

(3) 该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零 (4)

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 0 0 15 2 25 0 0 此运输问题的成本或收益为: 135

注释：总需求量多出总供应量 20 第1个销地未被满足，缺少 5 第2个销地未被满足，缺少 10 第3个销地未被满足，缺少 5

396

第8章 整 数 规 划

1．求解下列整数规划问题 a． max z=5x1+8x2

s.t. x1+x2?6， 5x1+9x2?45， x1, x2?0，且为整数

**目标函数最优解为：x1?0,x*2?5,z?40。 b． max z=3x1+2x2 s.t. 2x1+3x2?14， 2x1+x2?9，

x1, x2?0，且x1为整数

**目标函数最优解为：x1?3,x*2?2.6667,z?14.3334。 c． max z=7x1+9x2+3x3

s.t. –x1+3x2+x3?7， 7x1+x2+3x3?38， x1, x2, x3?0，且x1为整数，x3为0–1变量。

***目标函数最优解为：x1?5,x*2?3,x3?0,z?62。

2．解：设xi为装到船上的第i种货物的件数，i=1, 2, 3, 4, 5。则该船装载的货物取得最大价值目标函数的数学模型可写为：

max z=5x1+10x2+15x3+18x4+25x5 s.t. 20x1+5x2+10x3+12x4+25x5?400000， x1+2x2+3x3+4x4+5x5?50000， x1+4x4?10000 0.1x1+0.2x2+0.4x3+0.1x4+0.2x5?750, xi?0，且为整数，i=1, 2, 3, 4, 5。

*****目标函数最优解为：x1?0,x*2?0,x3?0,x4?2500,x5?2500,z?107500.

3．解：设xi为第i项工程，i=1, 2, 3, 4, 5，且xi为0–1变量，并规定，

?1,当第i项工程被选定时，

xi??

?0,当第i项工程没被选定时。根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为： max z=20x1+40x2+20x3+15x4+30x5

s.t. 5x1+4x2+3x3+7x4+8x5?25， x1+7x2+9x3+4x4+6x5?25， 8x1+10x2+2x3+x4+10x5?25， xi为0–1变量，i=1, 2, 3, 4, 5。

*****?1,x*目标函数最优解为：x12?1,x3?1,x4?1,x5?0,z?95

397

4．解：这是一个混合整数规划问题

设x1、x2、x3分别为利用A、B、C设备生产的产品的件数，生产准备费只有在利用该设备时才投入，为了说明固定费用的性质，设

?1,

yi??

?0,

故其目标函数为：

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3

为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产，必须加以下的约束条件，M为充分大的数。

x1?y1M， x2?y2M， x3?y3M， 设M=1000000

a．该目标函数的数学模型为：

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=2000， 0.5x1+1.8x2+1.0x3?2000， x1?800， x2?1200， x3?1400， x1?y1M， x2?y2M， x3?y3M， x1, x2, x3?0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为：x1=370, x*2=231, x3 =1399, y1=1, y2=1, y3=1, z*=10647

b．该目标函数的数学模型为：

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=2000， 0.5x1+1.8x2+1.0x3?2500， x1?800，

x2?1200， x3?1400， x1?y1M， x2?y2M， x3?y3M，

x1, x2, x3?0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

***目标函数最优解为：x1=0, x*2=625, x3 =1375, y1=0, y2=1, y3=1, z =8625 c．该目标函数的数学模型为： min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2000， 0.5x1+1.8x2+1.0x3?2800，

398

x1?800， x2?1200， x3?1400， x1?y1M， x2?y2M， x3?y3M，

x1, x2, x3?0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为：x1=0, x*2=1000, x3=1000, y1=0, y2=1, y3=1, z*=7500 d．该目标函数的数学模型为： min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2000， x1?800， x2?1200， x3?1400， x1?y1M， x2?y2M， x3?y3M，

x1, x2, x3?0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

目标函数最优解为：x1*=0, x2*=1200, x3*=800, y1=0, y2=1, y3=1, z*=6900

5．解：设xij为从Di地运往Ri地的运输量，i=1, 2, 3, 4，j=1, 2, 3分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数，并规定，

?1,当i地被选设库房，

yi??

?0,当i地没被选设库房。

该目标函数的数学模型为：

minz=45000y1+50000y2+70000y3+40000y4+200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+400x23+ 600x31+350x32+300x33+350x41+150x42+350x43

s.t.

x11+x21+x31+x41=500, x12+x22+x32+x42=800, x13+x23+x33+x43=700, x11+x12+x13?1000y1, x21+x22+x23?1000y2,

x31+x32+x33?1000y3, x41+x42+x43?1000y4, y2?y4,

y1+y2+y3+y4?2, y3+y4?1,

xij?0，且为整数，yi为0-1变量，i=1,2,3,4。 目标函数最优解为 ********x11=500, x12=0, x13=500, x*21=0, x22=0, x23=0, x31=0, x32=0, x33=0,***x*41=0, x42=800, x43=200, y1=1, y2=0, y3=0, y4=1, z=625000

399

也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货500件，武汉向华中发货800件，向华南发货200件就能满足要求，即这就是最优解。

1，当指派第i人去完成第j项工作时， 6．解：引入0-1变量xij，并令xij=

0，当不指派第i人去完成第j项工作时。 a. 为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为：

minz=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41

+ 20x42+24x43+19x44

s.t.

x11+x12+x13+x14=1, x21+x22+x23+x24=1, x31+x32+x33+x34=1, x41+x42+x43+x44=1, x11+x21+x31+x41=1,

x12+x22+x32+x42=1, x13+x23+x33+x43=1, x14+x24+x34+x44=1,

xij为0-1变量，i=1,2,3,4, j=1,2,3,4 目标函数最优解为：

***********x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x*21=1, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,****x*41=0, x42=0, x43=0, x44=1, z=71

或

x=0, x=1, x=0, x=0, x=0, x=0, x=0, x=1, x=0, x=0, x=1, x=0,****x*41=1, x42=0, x43=0, x44=0, z=71

*12*13*14*21*22*23*24*31*32*33*34*11即安排甲做B项工作，乙做A项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，或者是安排甲做B项工作，乙做D项工作，丙做C项工作，丁做A项工作，最少时间为71分钟。也可用管理运筹学2.5软件的整数规划中的指派问题子程序直接求得。

b. 为使总收益最大的目标函数的数学模型为： 将a中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为：

***********x11=0, x12=0, x13=0, x14=1, x*21=0, x22=1, x23=0, x24=0, x31=1, x32=0, x33=0, x34=0,****x*41=0, x42=0, x43=1, x44=0, z=102

即安排甲做D项工作，乙做C项工作，丙做A项工作，丁做B项工作，最大收益为102。

c. 由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作所需的时间均为0，该问题就变为安排5个人去做5项不同的工作的问题了，其目标函数的数学模型为：

minz=20x11+19x12+20x13+28x14+17x15+18x21+24x22+27x23+20x24+20x25+26x31+16x32+15x33

+ 18x34+15x35+17x41+20x42+24x43+19x44+16x45

s.t.

x11+x12+x13+x14+x15=1, x21+x22+x23+x24+x25=1, x31+x32+x33+x34+x35=1, x41+x42+x43+x44+x45=1, x51+x52+x53+x54+x55=1,

400

x11+x21+x31+x41+x51=1, x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1,

x14+x24+x34+x44+x54=1, x15+x25+x35+x45+x55=1,

xij为0-1变量，i=1,2,3,4,5, j=1,2,3,4,5。

目标函数最优解为： ***********x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x15=0, x*=1, x=0, x=0, x=0, x=0， x=0, x=0, 21222324253132********x*33=1, x34=0, x35=0, x41=0, x42=0, x43=0, x44=0, x45=1, z=68

即安排甲做B项工作，乙做A项工作，丙做C项工作，丁做E项工作，最少时间为68 分钟。

d. 该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为：

minz=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41

+ 20x42+24x43+19x44+16x51+17x52+20x53+21x54

s.t.

x11+x12+x13+x14?1, x21+x22+x23+x24?1, x31+x32+x33+x34?1, x41+x42+x43+x44?1,

x51+x52+x53+x54?1, x11+x21+x31+x41+x51=1,

x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1, x14+x24+x34+x44+x54=1,

xij为0-1变量，i=1,2,3,4, j=1,2,3,4,5。 目标函数最优解为： ***********x11=0, x12=0, x13=0, x14=0, x*21=0, x22=0, x23=0, x24=1, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,

********x*41=1, x42=0, x43=0, x44=0, x51=0, x52=1, x53=0, x54=0, z=69

或

***********x11=0, x12=0, x13=0, x14=0, x*21=1, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0, ********x*41=0, x42=0, x43=0, x44=1, x51=0, x52=1, x53=0, x54=0, z=69

或

***********x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x*21=0, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0, ********x*41=0, x42=0, x43=0, x44=1, x51=1, x52=0, x53=0, x54=0, z=69

即安排乙做D项工作，丙做C项工作，丁做A项工作，戊做B项工作；或安排乙做A项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，戊做B项工作；或安排甲做B项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，戊做A项工作，最少时间为69分钟。

7．解：设飞机停留一小时的损失为a元，则停留两小时损失为4a元，停留3小时损失为9a元，依次类推，对A、B、C三个城市建立的指派问题的效率矩阵分别如下表所示：

401

城市A 起起飞 到 飞 到达达 106 107 108 109 110

解得最优解为： 起 到 达 106 107 108 109 110

城市B 起 起飞到 飞 到达 达101 102 103 113 114 101 256a 225a 100a 64a 256a 102 529a 484a 289a 225a 529a 103 9a 4a 441a 361a 9a 104 625a 576a 361a 289a 625a 105 36a 25a 576a 484a 36a 飞 101 0 0 0 0 1 102 1 0 0 0 0 103 0 0 0 1 0 104 0 1 0 0 0 105 0 0 1 0 0 101 4a 361a 225a 484a 196a 102 9a 400a 256a 529a 225a 103 64a 625a 441a 16a 400a 104 169a 36a 4a 81a 625a 105 225a 64a 16a 121a 9a 解得最优解为： 起 起飞到 到达 飞 达 106 107 108 109 110 或为：

101 0 1 0 0 0 102 0 0 1 0 0 103 1 0 0 0 0 104 0 0 0 1 0 105 0 0 0 0 1 402

起起飞到 飞 到达 达 106 107 108 109 110

101 0 1 0 0 0 102 0 0 1 0 0 103 0 0 0 0 1 104 0 0 0 1 0 105 1 0 0 0 0 城市C 到 达 104 105 111 112 解得最优解为： 起 到 飞 达 104 105 111 112 或为： 到 达 104 105 111 112

403

起 飞 109 49a 25a 169a 64a 110 225a 169a 441a 256a 113 225a 169a 441a 256a 114 49a 25a 169a 64a 109 0 0 1 0 110 1 0 0 0 113 0 1 0 0 114 0 0 0 1 起 飞 109 0 0 1 0 110 0 1 0 0 113 1 0 0 0 114 0 0 0 1

或为： 起 到 达 104 105 111 112 或为： 到 达 104 105 111 112

起 飞 109 0 0 0 1 110 0 1 0 0 113 1 0 0 0 114 0 0 1 0 飞 109 0 0 0 1 110 1 0 0 0 113 0 1 0 0 114 0 0 1 0 404

第9章 目标规划

1.解：

某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两台设备加工。已知产品A 和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于5 千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到1 万元。试建立多目标规划模型并求解。 设备 单位加工时间 产品 A B 4 3 2 5 8 6 5 5 可用时间 45 30 100 50 甲 乙 销售良好时的预期利润(百元／件) 销售较差时的预期利润(百元／件) 解：设工厂生产A产品x1件，生产B产品x2件。按照生产要求，建立如下目标规划模型：

min??P(d)?P(d1122)?4x1?3x2?45??2x1?5x2?30 ???5x?5x?d?d?50?1211???8x?6x?d?d?1001222??x,x,d?,d??0,i?1,2?12ii由管理运筹学软件求解得：x1?11.25,x2?0,d1?0,d2?10,d1?6.25,d2?0 由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有无穷多个，为线段?(135/14,15/7)?(1??)(45/4,0),??[0,1]上的任一点。

2.解：

设食品厂商在电视上发布广告x1次，在报纸上发布广告x2次，在广播中发布广告x3次。目标规划模型为：

???? 405

min????P1(d1)?P2(d2)?P3(d3)?P4(d4)?x1?10?x?20?2?x3?15???20x?10x?5x?d?d?400 ?12311????0.7x?0.3x?0.3x?d?d?012322???0.2x?0.2x?0.8x?d??d??012333????2.5x1?0.5x2?0.3x3?d4?d4?20?????x1,x2,x3,di,di?0,i?1,2,3,4用管理运筹学软件先求下述问题：

mind1??x1?10?x?20?2?x3?15???20x?10x?5x?d?d?400 ?12311????0.7x?0.3x?0.3x?d?d?012322???0.2x?0.2x?0.8x?d??d??012333????2.5x1?0.5x2?0.3x3?d4?d4?20?????x1,x2,x3,di,di?0,i?1,2,3,4得：d1?0，将其作为约束条件求解下述问题：

?mind2??x1?10??x2?20?x?15?3?20x1?10x2?5x3?d1??d1??400 ???0.7x?0.3x?0.3x?d?d?0?12322????0.2x?0.2x?0.8x?d?d?012333??2.5x?0.5x?0.3x?d??d??2012344??d1??0????x1,x2,x3,di,di?0,i?1,2,3,4得最优值d2?0，将其作为约束条件计算下述问题：

? 406

mind3??x1?10?x?20?2?x3?15????20x1?10x2?5x3?d1?d1?400???0.7x?0.3x?0.3x?d?d?0 12322?????0.2x?0.2x?0.8x?d?d12333?0??2.5x?0.5x?0.3x?d??d??2012344??d1??0???d2?0?x,x,x,d?,d??0,i?1,2,3,4?123ii得最优值d3?0，将其作为约束条件计算下述问题：

?mind4??x1?10??x2?20?x?15?3?20x1?10x2?5x3?d1??d1??400????0.7x1?0.3x2?0.3x3?d2?d2?0 ?????0.2x1?0.2x2?0.8x3?d3?d3?0???2.5x?0.5x?0.3x?d?d?2012344??d??0?1??0?d2???d3?0?x,x,x,d?,d??0,i?1,2,3,4?123ii得：

??x1?9.474,x2?20,x3?2.105,d1??0,d1??0,d2?0,d2?0????d3?0,d3?4.211,d4?14.316,d4?0

所以食品厂商为了依次达到4个活动目标，需在电视上发布广告9.474次，报纸上发布广告20次，广播中发布广告2.105次。（使用管理运筹学软件2.5 可一次求解上述问题）

3．解：

（1）设该化工厂生产x1升粘合剂A和x2升粘合剂B。则根据工厂要求，建立以下目标规划模型：

407

min?????P1(d1?d2)?P2(d3?d4)?P3(d5)5?1??x?x?d?d?801211?312??1x?5x?d??d??10022?31122 ????x1?d3?d3?100????x2?d4?d4?120???x?x?d?d?3001255??x,x,x,d?,d??0,i?1,2,3,4,5?123ii（2）

+ 300 d5 -+ d4 d4 -d5 200

+d3

A

+- 100 d1 d3

+d2 -- d1 d2 0 100 200 300

图1 图解法求解

图解法求解如图1：目标1，2可以达到，目标3达不到，所以有满意解为A点（150，120）。

4．解：

设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品Ax1件，生产产品Bx2件。 （1）目标规划模型为：

min???P1(d1?d2)?P2(d3)1?1??x?x?d?d?601211?66??1x?5x?d??d??180

22?3162????4x1?3x2?d3?d3?1300???x,x,x,d,d?123ii?0,i?1,2,3 408

用图解法求解：

500 400 300 200 100 d2+ d2- d1- d1+ d3+ d3- B A D C 0 100 200 400 500 600 300

如图所示，所示解为区域ABCD，有无穷多解。

（2）由上图可知，如果不考虑目标1和目标2，仅仅把它们加工时间的最大限度分别为60和180小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为C点（360，0），即生产产品A360件，最大利润为1420元。结果与（a）是不相同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于1300元。

（3）如果设目标3的优先权为P1，目标1和目标2的优先权为P2，则由上图可知，满意解的区域依然是ABCD，有无穷多解，与（a）的解是相同的，原因是（a）和（c）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。

5．在环境污染日益得到重视的今天，越来越多的企业开始注重工业废水污水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为300 元／吨，每吨纸产生的工业废水的处理费用为30 元；生产某种特种纸张的利润为500 元／吨，每吨特种纸产生的工业废水的处理费用为40 元。

该纸张制造厂近期目标如下： 目标1：纸张利润不少于15万；

目标2：工业废水的处理费用不超过1万元。

（1）设目标1的优先权为P1，目标2 的优先权为P2，P1>P2，建立目标规划模型并用图解法求解。

（2）若目标2的优先权为P1，目标1 的优先权为P2，建立目标规划模型并求解。所得的解是否与a 中的解相同？

（3）若目标2 的罚数权重为5，目标1 的罚数权重为2，建立加权目标规划模型求解。 解：

设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张x1吨，生产特种纸张x2吨。 （1）目标规划模型为：

409

min??P1(d1)?P2(d2)?300x1?500x2?d1??d1??150000 ????30x1?40x2?d2?d2?10000???x,x,d,d?0,i?1,212ii?图解法略，求解得x1?0,x2?300,d1?0,d2?0,d1?0,d2?2000 (2) 目标规划模型为：

????min??P(d)?P(d1221)?300x1?500x2?d1??d1??150000 ????30x1?40x2?d2?d2?10000???x,x,d,d?0,i?1,212ii?图解法略，求解得x1?0,x2?250,d1?25000,d2?0,d1?0,d2?0 由此可见，所得结果与(a)中的解是不相同的。

????(3) 加权目标规划模型为：

min??P1(5d2?2d1)?300x1?500x2?d1??d1??150000 ????30x1?40x2?d2?d2?10000???x,x,d,d?0,i?1,212ii?求解得

??x1?0,x2?300,d1??0,d2?0,d1??0,d2?2000 410

第10章 动态规划

1．解：

最优解：A―B2―C1―D1―E；A―B3―C1―D1―E；A―B3―C2―D2―E 最优值：13

2．解：

最优解：项目A：300万元、项目B：0万元、项目C：100万元、 最优值：z=71+49+70=190万元

3．解：

设每个月的产量是xi百台（i=1、2、3、4）， 最优解：x1=4，x2＝0，x3＝4，x4＝3。

即第一个月生产4百台，第二个月生产0台，第三个月生产4百台，第四个月生产3百台。

最优值：z=252000元

4．解：

最优解：运送第一种产品5件， 最优值：z=500元。

5．解：

最大利润2790万元。最优安排如下表： 年度 1 2 3 4 5 年初完好设备 125 100 80 64 32 高负荷工作设备数 0 0 0 64 32 低负荷工作设备数 125 100 80 0 0 6．解：

最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100，300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为134万。

7．解：

在一区建3个分店，在二区建2个分店，不在三区建立分店。最大总利润为32。

8．解：

最优解为：第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使用，第五年继续使用，总成本＝450000元。

411

9．解：

最优采购策略为：若第一、二、三周原料价格为500元，则立即采购设备，否则在以后的几周内再采购。若第四周原料价格为500元或550元，则立即采购设备，否则等第五周再采购。而第五周时无论当时价格为多少都必须采购。期望的采购价格为517元。

10．解：

最优解为第一批投产3台，如果无合格品，第二批再投产3台，如果仍全部不合格，第三批投产4台。总研制费用最小为796元。

11．解： 月份 1 2 3 4 最大利润为13500。

12．解；

最优策略为（1,2,3）或者（2,1,3），即该厂应订购6套设备，可分别分给三个厂1,2,3套或者2,1,3套。每年利润最大为18万元。

采购量 900 900 900 0 待销数量 200 900 900 900 412

第11章 图与网络模型

1．解：

这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v7配送的最短距离。用Dijkstra 算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为：计算而得出最终结果为：

从节点 1到节点7的最短路 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 4 2 3 12 3 5 6 5 7 5

解为27。即：配送路线为：v1?v2?v3?v5?v7。

2．解：

这是一个最短路的问题，用Dijkstra 算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。 最优更新策略为：第一年末不更新

第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器

我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。

3．解：

此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树，结果为：

最小生成树如下：

************************* 起点 终点 距离

---- ---- ---- 1 3 2 3 4 2 1 2 4 2 5 2 5 7 3 7 8 2 7 6 3 解为18。

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