怎样证明线段成比例

怎样证明线段成比例

【知识要点】

本章节中，所要介绍的线段成比例的证明方法，主要有以下几种：

（1）利用相似三角形的对应边成比例法证。思路是：把待证的四条线段视为两个三角形的边，从而把问题转化为证两个三角形相似。

（2）用等线代换法证：若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边，可把比例式中的线段换成与它相等的线段，这四条线段都在两个三角形中，证这两个三角形相似。 （3）用等比代换法去证：若a,b,c,d是四条线段，欲证

ab?cd，可先证得

ab?ef（e,f是两条线段）然后证

ef?cd，这里把

ef叫做中间比。

【典型例题】

例1 如图，在?ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连DE并延长交BA延长线于F，且ED=FE，AD∥FD交BC于G，DH∥BA交AC于H，求证：GD:CD=DH:FB。

A 3

E 2 H 1 C

F

B G D

例2 如图，已知Rt?ABC中，?ACB?90?,CD?AB于D，E是BC的中点，连结ED并延长交CA的延长线于F，求证：

A 1 2 F E 3 B

P D

4 C

C ACDF?BCCF。

B E 2 1 D 3 A F 例3 已知，如图，在?ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F。求证：BP2?PE?PF。

例4 如图，?ABC中，AD?BD,?BDE??DAC，求证：

AEEB?BDDC。

A P E B

D

C

【经典练习】

1．如图，已知AD为?ABC的角平分线，E为DC上的一点，EF∥AD交AC于F，交BA延长线于G，求证：BE:CE=GB:FC。

2．如图，AD为?ABC的角平分线，由D向?ACB的外角平分线作垂线与AC的延长线交于F点，由D作?ABC的平分线的垂线与AB交于E，垂足分别为N，M。求证：AD2G A F

B D

E

C

?AE?AF。

A E

M D N F C B 怎样用比例法证线段相等

【知识要点】

证明两条线段相等的题目，若比例条件充足，常用比例法证明。如：要证a?b，先列出含有a,b的比例式即可得a?b

axx1?m1n1,bx2?m2n2，而后证明

m1n1?m2n2，得到

ax1?bx2，再证x1?x2，

【典型例题】

例1 如图，在?ABC中，?CAB?90?，分别以AB、AC为边向形外作正方形ABCD、ACFG，设CD交AB于N，BF交AC于M，求证：AM=AN。

E D

G F C M A N B

例2 已知：如图，AD、CG是?ABC的高，在AB上取一点E，使AE=AD，作EF∥BC交AC于F，求证：EF=CG。

B

D

E G ECA

例3 如图所示，在?ABC中，?C?90?，D为BC边上一点，连结DA，在?ABC外作

?BAE??DAC，且BE?AB，作EF?BC交CB的延长线于F，求证：DC=BF。

A E C D D B

【经典练习】

1．如图，在?ABC的各边上作等腰相似三角形，求证：DF=EC。 ?ABD∽?BCE∽?ACF。

2．如图，等腰Rt?ABC斜边BC上一点P，PD?AB于D，PE?AC于E，连结DC、BE分别交PE于M，交PD于N，求证：PM=PN。

3．已知，在?ABC中，?C?90?，BE是?B的平分线，CD?AB，过BE、CD的交点O作FG∥AB，交CA于F，交BC于G，求证：AF=CE。

B D N P M C

A E B E D G F C

4．如图，?ABC中，AB=3AC，AD是?BAC的平分线，BE?AD，交AD延长线于E点。求证：AD=DE。

E D C

B A

怎样用比例法证线段倍分问题

【知识要点】

证一线段是另一线段的几倍或几分之一，基本思路是把它们转化为证线段比的问题，方法是多样的，利用比例法的方法如下： 若欲证a?nmb(m,n均为正整数），即证

ab?nm，可证明

ab?cd，且

cd?nm，可得结论。

【典型例题】

例1 如图，已知：在Rt?ABC中，?BAC?90?,AB?AC,E为AC的中点，AF?BE于F，并延长交BC于D，求证：BD=2DC。

例2．如图所示，已知□ABCD中，E为AB的中点，AF?AG?15AC

12A F B D P

DF,EF交AC于G，求证：

E C

D F G A E H B C

例3 如图所示，?ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE延长线于P。若AD=2DE，求证：AP=3AB。

P G M

B A KDE

C

怎样用比例法证明线段的和差问题

【知识要点】

设a,b,c均为线段，欲证a?b?c，只需证式，令两式相加整理得到1

ac?bc?1，利用比例法证出含

ab,的比例cc【典型例题】

例1 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC,若P是BC上任一点,PE∥DC,PF∥AB,AB=CD,求证:PE+PF=AB.

例2 已知:如图所示,在?ABC中,D\\E是BC上的点,且BD=CE,过D,E作AB的平行线DF,EG,分别交AC于F,G。求证：DF+EG=AB。

例3 已知：如图，?ABC中，AB=AC，AE?BC于E，D为底边上任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N，求证：DM+DN=2AE。

B E A M D C

B

D

E A F G C

B

P

C

A E D F N 【经典练习】

1．已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，CD是高，P是BC上任意一点，PE?AB于E，PF?AC于F，求证：PE+PF=CD。

D E B

P

F C

A 2．已知?ACD中，?D?90?,AD?CD,?CAE??DAE，EB?AC于B，求证：AD+DE=AC（如图）。

3．如图所示，?ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且AE：EB=CF：AF，过E、A、F作直线EQ∥AP∥FR，分别交BC于Q、P、R。求证：AP=EQ+FR。

4．已知：AM是?ABC的中线，P为BM上一点，过P作PR∥AM，交AB于Q，交CA的延长线于R，求证：PQ+PR=2AM。

B

Q P

F R C

E A B C

A D E

2．已知?ACD中，?D?90?,AD?CD,?CAE??DAE，EB?AC于B，求证：AD+DE=AC（如图）。

3．如图所示，?ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且AE：EB=CF：AF，过E、A、F作直线EQ∥AP∥FR，分别交BC于Q、P、R。求证：AP=EQ+FR。

4．已知：AM是?ABC的中线，P为BM上一点，过P作PR∥AM，交AB于Q，交CA的延长线于R，求证：PQ+PR=2AM。

B

Q P

F R C

E A B C

A D E

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