数学分析 第四版 十二讲课件 高等教育出版社

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1 五、Γ函数与B 函数

Γ函数与B 函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．

（一）Γ函数（Gamma 函数）

函数

10()x x e dx αα+∞

--Γ=?

称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．

1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．

事实上，

1`111001()x x x x e dx x e dx x e dx αααα+∞+∞------Γ==+???．

12(0,),,ααα?∈+∞?使120ααα<≤≤．

111(0,1],x x x x e x e αα----?∈≤；211[1,),x x x x e x e αα----?∈+∞≤． 已知瑕积分111100x x e dx αα--<?（）与无穷积分211x x e dx α+∞--?都收敛，由M 判别法

知，无穷积分10x x e dx α+∞

--?在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1x x e α--在区域

12(0,)D x ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．

2．Γ函数在(0,)+∞内可导．

用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且

10()ln (0)x x e xdx ααα+∞

--'Γ=>?．

3．递推公式：0,α?>有(1)()αααΓ+=Γ．

0α?>，有

10000(1)()x x x x x e dx x de x e x e dx αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ???．

设1,n n n N α+<≤+∈，逐次应用递推公式，有

(1)()(1)(1)(1)()()n n ααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ- ，

而01n α<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，

的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给

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2 出的是[1,2)上的Γ函数的值．

例12 (3.65) 2.651.65(1.65)Γ=?Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得

(3.65) 2.651.65(1.65) 2.651.650.9001 3.9357Γ=?Γ=??≈．

若求(0.65)Γ，则

(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65) 1.38480.650.65

ΓΓ=ΓΓ==≈． 当,n n N α+=∈，有

(1)()(1)(1)(1)1(1)!n n n n n n n n n Γ+=Γ=-Γ-==-?Γ= ， 即

0(1)!n x n n x e dx +∞-Γ+==?

．

（二）B 函数

函数 1

110(,)(1)p q p q x x dx --B =-? 称为B 函数．

已知(,)p q B 的定义域为(0,0)D p q <<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。下面讨论(,)p q B 的三个性质：

1．对称性：(,)(,)p q q p B =B ．

事实上，设1,x t dx dt =-=-，有

101

111111010(,)(1)(1)(1)(,)p q p q q p p q x x dx t t dt t t dt q p ------B =-=--=-=B ???． 2．递推公式：0,1p q ?>>，有1(,)(,1)1

q p q p q p q -B =B -+-※． 事实上，由分部积分公式，0,1p q ?>>，有

1111100(,)(1)(1)()p p q q x p q x x dx x d p

---B =-=-?? 11120

01(1)(1)p q p q x q x x x dx p p ---=-+-?

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3 111201[(1)](1)p p q q x x x x dx p

----=---? 11121100

11(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx p p ------=---?? 1

1

(,1)(,)q q p q p q p p --=B --B ，

即

1

(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+-．

由对称性，1,0p q ?>>，又有

1

(,)(1,)1p p q p q p q -B =B -+-．

※ 1

1

(,)(,1)(1,)11q q p q p q q p p q p q --B =B -=B -+-+-

(1)(1)

(1,1)(1)(2)p q q p p q p q --=B --+-+- (1)(1)

(1,1)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --=B -->>+-+-．

※ 特别当1,q n n N +=>∈时，逐次应用递推公式，有

1(1)(2)

(,)(,1)(,2)

1(1)(2)n n n p n p n p n p n p n p n ---

B =B -=B -+-+-+- (1)(2)21

(,1)(1)(2)(1)n n p p n p n p --?==B +-+-+ ， 而1101

(,1)p p x dx p -B ==?，于是，有

(1)!

(,)(1)(1)n p n p p p n -B =++ －．

当1,1(,)p m q n m n N +=>=>∈时，有

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4 (1)!(1)!(1)!(,)(1)(1)(1)!

n n m m n m m m n m n ---B ==++-+- ， 或

()()(,)()

m n m n m n ΓΓB =Γ+． 这个公式表明，尽管B 函数与Γ函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系，这个公式可推广为：0,0p q ?>>有

()()(,)()

p q p q p q ΓΓB =Γ+． （10） 3．212120

0,0,(,)2cos sin p q p q p q d π

???--?>>B =?． 事实上，设2cos ,2sin cos x dx d ????==-，有 1101122102(,)(1)(cos )

(sin )(2sin cos )p p q q p q x x dx d π?????----B =-=-??

2121202c o s s i n p q d π

???--=?． （11）

由公式（10）、（11），有下面几个简单公式：0,0p q ?>>，有

21212

01()()c o s s i n (,)22()

p q p q d p q p q π

???--ΓΓ=B =Γ+? ． （12） 在公式（12）中，令11,,122

n q p n +=

=?>-，有 2011()()22sin 2(1)2

n n d n π??+ΓΓ=Γ+?． （13） 在公式（13）中，令0n =，有 22011()()1122[()]2(1)22d π

?ΓΓ==ΓΓ?，即21[()],2πΓ=即

1()2

Γ=． （14） 六、例（Ⅲ）

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5 例13 求概率积分20x e dx +∞-?与2

x e dx +∞--∞?．

解：设2,x t x dx ===，有

21200111()2222x t e dx t e dt +∞+∞---==Γ=?

?；

2202x x e dx e dx +∞+∞---∞==?

?

利用（14）可得：

22()2(,x a dx a σσ--+∞-∞?为常数，0)σ>

21t t e dt e dt +∞

+∞

---∞-∞===．

本例中，被积函数22()2()x a x σ?--=是概率论中的一个非常重要的函

数，称为“正态分布概率密度函数”，这里已证明它具有()1x dx ?+∞-∞

=?的重要性质．

例14 证明：若0,0,b a αβ>>>，有

111()()()()()()b a x a b x dx b a αβαβαβαβ--+-ΓΓ--=-Γ+?

． 证明：设,(),()(1)x a u x a b a u b x b a u b a -=

-=--=---，则()dx b a du =-，于是，有

111110

()()[()][()(1)]()b a x a b x dx b a u b a u b a du αβαβ------=----?? 111110()

(1)()(,)b a u u du b a αβαβαβαβ+---+-=--=-B ? 1()()()()

b a αβαβαβ+-ΓΓ=-Γ+． 例15 证明：勒让德公式：0a ?>，有

1()()(2)2a a a ΓΓ+=． 证明： 11

11100(,)(1)[(1)]a a a a a x x dx x x dx ---B =-=-??

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6

11

1

1210

2

[(1)][(1)]a a x x dx x x dx --=-+-??，

令1x t =-，则

11

1

1

12110

2

2

[(1)][(1)][(1)]a a a x x dx t t dt x x dx ----=--=-?

??，

111

21220

11

(,)2[(1)]2[()]42

a a a a x x dx x dx --B =-=--??．

令12x dx -==，有 1

1

12

212101

1

1(,)(1)(,)222

a a a a a u u du a -

---B =

-=

B ?． 由公式（10），有

211

()()

()()1

21(2)2()2

a a a a a a -ΓΓΓΓ=ΓΓ+，

已知1()2Γ=

，即：1()()(2)2a a a ΓΓ+=，特别地，令14a =，有

12

13

1()()()44

22

-ΓΓ==． 勒让德公式又称为加倍公式．

作业：练习题12.3（P303）：2（1），（2）；3（1），（3）；4；5；7；8；10（1）， （2）；16（1），（2），（3）（4）；18；23．

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